Математическое моделирование работы систем массового обслуживания

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА

Математическое моделирование работы систем массового обслуживания

Задание

Вариант 1. Газозаправочная станция для автомобилей располагает двумя газовыми насосами. В очереди, ведущей к насосам, могут расположиться не более пяти автомашин, включая те, которые обслуживаются. Если уже нет места, прибывающие автомобили уезжают искать другую заправку. Распределение прибывающих автомобилей является пуассоновским с математическим ожиданием 20 автомобилей в час. Время обслуживания клиентов имеет экспоненциальное распределение с математическим ожиданием 6 минут.

На основе расчета функциональных характеристик СМО определить:

— процент автомобилей, которые будут искать другую заправку;

— процент времени, когда используется только один из насосов;

— процент времени использования двух насосов;

— вероятность того, что прибывающий автомобиль найдет свободное место в очереди;

— среднее время пребывания автомобиля на газозаправочной станции.

массовый обслуживание транспорт автомобильный Функциональные характеристики СМО

Интерпретация полученных результатов.

— процент автомобилей, которые будут искать другую заправку = p_c+m = p₇ = 13,33%

— процент времени, когда используется только один из насосов = p₁ = 13,33%

— процент времени использования двух насосов = p₂ + … +p₇ = 80%

— вероятность того, что прибывающий автомобиль найдет свободное место в очереди = 1 — p₇ = 86,67%

— среднее время пребывания автомобиля на газозаправочной станции = W_s = 0,21 538 ч. = 13 минут Контрольные вопросы:

1. Из каких основных компонентов состоит СМО?

Системы массового обслуживания (СМО) — это такие системы, в которые в случайные моменты времени поступают заявки на обслуживание, которые удовлетворяются с помощью имеющихся в распоряжении системы каналов обслуживания (сервисов).

Основными компонентами СМО являются два потока событий:

1) входной поток заявок (требований на обслуживание), характеризующийся своей интенсивностью (средним количеством клиентов, поступающих в систему в единицу времени) или средним интервалом времени между их последовательными поступлениями t_пост;

2) выходной поток заявок, описываемый интенсивностью обслуживания (средним количеством обслуженных заявок в единицу времени) или средней продолжительностью обслуживания t_обсл.

Для СМО разомкнутого типа, у которых входной и выходной потоки подчинены распределению Пуассона, в качестве исходных данных для расчета функциональных характеристик используются:

· интенсивность входного потока заявок ;

· интенсивность обслуживания ;

· количеством параллельно работающих однородных сервисов (обслуживающих каналов) с;

· максимальная емкость очереди m;

· мощность источника заявок f.

2. Какие бывают СМО?

Состоянием системы называется число находящихся в данный момент в СМО заявок n. Поступающие заявки могут сразу попасть на обслуживание (если сервис свободен) или ожидать в очереди.

Если максимально допустимое число мест в очереди m конечно, то в СМО могут происходить отказы в предоставлении сервиса (система с отказами). Отклоняются от обслуживания те заявки, в момент прихода которых все места в очереди случайно оказались занятыми или при m = 0 (система без очереди) все каналы обслуживания оказались занятыми. В СМО с неограниченной длиной очереди (m =) пришедшая заявка при невозможности немедленного обслуживания ожидает обслуживания при любой длине очереди и продолжительности времени ожидания.

По способу отбора из очереди заявок для обслуживания различают следующие виды дисциплины очереди:

1) первым пришел — первым обслуживается (FCFS);

2) последним пришел — первым обслуживается (LCFS);

3) случайный отбор заявок (SIRO);

4) ограничено время пребывания заявки в очереди;

5) с приоритетами, при которой некоторые находящиеся в очереди заявки имеют право первоочередного обслуживания (например, срочные работы выполняются раньше обычных).

По числу каналов обслуживания c различают одноканальные и многоканальные СМО. Многоканальные СМО разделяют:

· по характеристикам каналов — на однородные и неоднородные СМО;

· по расположению каналов — на СМО с параллельным и последовательным расположением сервисов.

В некоторых СМО интенсивность входного потока может зависеть от числа заявок, уже находящихся в системе (СМО замкнутого типа). В такой системе конечность очереди является следствием ограниченности мощности источника, создающего заявки на обслуживание. В СМО с источником бесконечной мощности (СМО разомкнутого типа) интенсивность входного потока практически не зависит от состояния системы.

3. Как определить основные функциональные характеристики СМО?

Наиболее употребляемыми функциональными характеристиками стационарных СМО являются следующие:

· p_отк — вероятность отказа в обслуживании (средняя доля заявок, получивших отказ в обслуживании):

— для СМО с отказами

;

— для СМО с неограниченной очередью

p_отк = 0;

· q — относительная пропускная способность системы (средняя доля обслуженных заявок; вероятность обслуживания)

q = 1 — p_отк;

· - относительная нагрузка на систему

= / ;

_{· эфф} — эффективная интенсивность поступления заявок в систему (абсолютная пропускная способность системы; среднее число заявок, обслуживаемых системой в единицу времени)

· L_q — среднее число заявок в очереди (средняя длина очереди):

— для СМО без очереди

L_q = 0;

— для СМО с ограниченной очередью

— для СМО с неограниченной очередью

;

· L_s — среднее число находящихся в системе заявок

· W_q — среднее время (средняя продолжительность) пребывания заявки в очереди

· W_s — среднее время (средняя продолжительность) пребывания заявки в системе

_· - среднее количество занятых средств обслуживания

;

· p_n — вероятность того, что в системе находится n заявок

— для СМО с отказами

; ;

— для СМО с неограниченной очередью

;

В ходе работы я научилась определять количественные показатели качества функционирования системы массового обслуживания.