Методика изучения числовых выражений

В методической литературе методике изучения числовых выражений уделяется достаточно внимания [1, 5, 6, 9, 20, 21,48, 50].

В математике под выражением понимают построенную по определённым правилам последовательность математических символов, обозначающих числа и действия над ними.

Выражения вида: 6; 3+2; 8:4+(7−3) — числовые выражения; вида: 8-а; 30: в; 5+(3+с) — буквенные выражения (выражения с переменной).

Задачи изучения темы.

• 1) Научить учащихся читать и записывать выражения, предусмотренные программой.
• 2) Ознакомить учащихся с правилами порядка выполнения арифметических действий.
• 3) Научить находить числовые значения выражений.
• 4) Ознакомить с тождественными преобразованиями выражений на основе свойств арифметических действий.

Решение поставленных задач осуществляется на протяжении всех лет обучения в начальных классах, начиная с первых дней пребывания ребёнка в школе.

В методике работы над числовыми выражениями методисты [1, 2, 6,46, 50] выделяют три этапа: на первом этапе — формирование понятий о простейших выражениях (сумма, разность, произведение, частное двух чисел); на втором этапе — о выражениях, содержащих два и более арифметических действия одной ступени; на третьем этапе — о выражениях, содержащих два и более арифметических действия разных ступеней.

С простейшими выражениями — суммой и разностью — учащихся знакомят в первом классе, с произведением и частным — во втором классе (с термином «произведение» — во 2 классе, с термином «частное» — в третьем классе).

Рассмотрим методику изучения числовых выражений.

Выполняя операции над множествами, дети, прежде всего, усваивают конкретный смысл сложения и вычитания, поэтому в записях вида 3+2, 7−1 знаки действий осознаются ими как краткое обозначение слов «прибавить», «вычесть» (к 3 прибавить 2). В дальнейшем понятия о действиях углубляются: учащиеся узнают, что, прибавляя (вычитая) несколько единиц, мы увеличиваем (уменьшаем) число на столько же единиц (чтение: 3 увеличить на 2), затем дети узнают название знаков действий «плюс» (чтение: 3 плюс 2), «минус» [45].

В теме «Сложение и вычитание в пределах 20» детей знакомят с понятиями «сумма», «разность» как названиями математических выражений и как названием результата арифметических действий сложения и вычитания.

Умение читать и записывать выражения, находить их значения с помощью соответствующего арифметического действия вырабатывается с помощью многократных упражнений.

Рассмотрим фрагмент урока (2 кл.).

На доску с помощью воды прикрепить 5 красных и 2 жёлтых круга:

ООООО ОО.

• 5 2
• — Сколько красных кругов? (Записать число 5.)
• — Сколько жёлтых кругов? (Записать число 2.)
• — Какое действие над записанными числами 5 и 2 нужно выполнить, чтобы узнать, сколько красных и сколько жёлтых кругов вместе? (появляется запись: 5+2).
• — Скажите, не считая, сколько всего кругов?
• — Такое выражение в математике, когда между числами стоит знак «+», называют суммой (Скажем вместе: сумма) и читают так: сумма пяти и двух.
• — А теперь узнаем, чему же равна сумма чисел 5 и 2 (дают полный ответ).

Аналогично про разность.

При изучении сложения и вычитания в пределах 10 включаются выражения, состоящие из 3 и более чисел, соединённых одинаковыми и разными знаками арифметических действий: 3+1+2, 4−1-1, 7−4+3 и т. д. Раскрывая смысл таких выражений, учитель показывает способ их чтения. Вычисляя значения этих выражений, дети практически овладевают правилом о порядке арифметических действий в выражениях без скобок, хотя и не формулируют его: 10−3+2=7+2=9. Такие записи являются первым шагом в выполнении тождественных преобразований.

Методика ознакомления с выражениями со скобками может быть различной.

Умение составлять и находить значение выражения используется детьми при решении арифметических задач, вместе с тем здесь происходит дальнейшее овладение понятием «выражение», усваивается конкретный смысл выражений в записях решения задач [1,2].

Представляет интерес вид работы, предложенный латвийским методистом Я. Я. Менцисом.

Даётся текст, например, такой: «У мальчика было 24 р., пирожное стоит 6 р., конфета 2 р.», предлагается:

• а) составить все виды выражений по этому тексту и объяснить, что они показывают;
• б) объяснить, что показывают выражения:
  • 2 кл. 3 кл.
  • 24−6 6+2 6+2*3
  • 24−2 24 — (6+2) 24:6 24−6*3
  • 6:2

В 3 классе наряду с выражениями, рассмотренными ранее, включают выражения, состоящие из двух простых выражений (37+6) — (42+1), а также состоящие из числа и произведения или частного двух чисел. Например: 75−50:25+2. Там, где порядок выполнения действий не совпадает с порядком их записи, используют скобки: 16−6: (8−5). Дети должны научиться правильно читать и записывать эти выражения, находить их значения.

Термины «выражение», «значение выражения» вводятся без определений. Для того, чтобы детям облегчить работу по чтению и нахождению значения сложных выражений, методисты рекомендуют использовать схему, которая составляется коллективно и используется при чтении выражений [1]:

• 1) Установлю, какое действие выполняется последним.
• 2) Подумаю, как называются числа при выполнении это действия.
• 3) Прочитаю, чем выражены эти числа.

Правила порядка выполнения действий в сложных выражениях изучаются в 3 классе, но практически некоторые из них дети используют в первом и втором классах.

Первым рассматривается правило о порядке выполнения действий в выражениях без скобок, когда над числами производят либо только сложение и вычитание, либо умножение и деление (3 кл.). Цель работы на данном этапе — опираясь на практические умения учащихся, приобретённые ранее, обратить внимание на порядок выполнения действий в таких выражениях и сформулировать правило.

Подведение детей к формулировке правила, осознание его может быть различным. Главная опора на имеющийся опыт, максимально возможная самостоятельность, создание ситуации поиска и открытия, доказательности.

Можно использовать методический приём Ш. А. Амонашвили «ошибка учителя».

Например. Учитель сообщает, что при нахождении значения следующих выражений у него получились ответы, в правильности которых он уверен (ответы закрыты).

• 31−24+7= 0
• 12+23−3=32
• 36:2*6=6 и т. д.

Предлагает детям самим найти значения выражений, а затем сопоставить ответы с ответами, полученными учителем (к этому моменту результаты арифметических действий открываются). Дети доказывают, что учителем допущены ошибки и на основе изучения частных фактов формулируют правило (см. учебник математики, 3 кл.).

Аналогично можно ввести остальные правила порядка выполнения действий: когда в выражениях без скобок содержатся действия 1 и 2 ступени, в выражениях со скобками. Важно, чтобы дети осознали, что изменение порядка выполнения арифметических действий приводит к изменению результата, в связи с чем математики решили договориться и сформулировали правила, которые необходимо строго соблюдать.

Преобразование выражения — замена данного выражения другим с тем же числовым значением. Учащиеся выполняют такие преобразования выражений, опираясь на свойства арифметических действий и следствия из них ([1], с. 249−250).

При изучении каждого свойства учащиеся убеждаются в том, что в выражениях определенного вида можно выполнять действия по-разному, но значение выражения при этом не изменяется. В дальнейшем знания свойств действий учащиеся применяют для преобразования заданных выражений в тождественные выражения. Например, предлагаются задания вида: продолжить запись так, чтобы знак «=» сохранился:

• 76 — (20 + 4) =76−20… (10 + 7) -5= 10−5…
• 60: (2*10) =60:10…

Выполняя первое задание, учащиеся рассуждают так: слева из 76 вычитают сумму чисел 20 и 4, справа из 76 вычли 20; чтобы справа получилось столько же, сколько слева, надо справа еще вычесть 4. Аналогично преобразуются другие выражения, т. е., прочитав выражение, ученик вспоминает соответствующее правило. И, выполняя действия по правилу, получает преобразованное выражение. Чтобы убедиться в правильности преобразования, дети вычисляют значения заданного и преобразованного выражений и сравнивают их.

Применяя знания свойств действий для обоснования приемов вычислений, учащиеся I-IV классов выполняют преобразования выражений вида:

72:3= (60+12):3 = 60:3+12:3 = 24 1830= 18(310) = (183) 10=540.

Здесь также необходимо, чтобы учащиеся не только поясняли, на основе чего получают каждое последующее выражение, но и понимали, что все эти выражения соединены знаком «=», потому что имеют одинаковые значения. Для этого изредка следует предлагать детям вычислять значения выражений и сравнивать их. Это предупреждает ошибки вида: 75 — 30 = 70 — 30 = 40+5 = 45, 24*12= (10 + 2) =24*10+24*2 = 288.

Учащиеся II-IV классов выполняют преобразование выражений не только на основе свойств действии, но и на основе их конкретного смысла. Например, сумму одинаковых слагаемых заменяют произведением: (6+ 6 + 6 = 6*3, и наоборот: 9*4 = = 9 + 9 + 9 + 9). Опираясь также на смысл действия умножения, преобразуют более сложные выражения: 8*4 + 8 = 8*5, 7*6−7=7 *5.

На основе вычислений и анализа специально подобранных выражений учащихся IV класса подводят к выводу о том, что если в выражениях со скобками скобки не влияют на порядок действий, то их можно не ставить. В дальнейшем, используя изученные свойства действий и правила порядка действий, учащиеся упражняются в преобразовании выражений со скобками в тождественные им выражения без скобок [46]. Например, предлагается записать данные выражения без скобок так, чтобы их значения не изменились:

• (65 + 30) — 20 (20 + 4) *3
• 96 — (16 + 30) (40 + 24): 4

Так, первое из заданных выражений дети заменяют выражениями: 65 + 30−20, 65−20+30, поясняя порядок выполнения действий в них. Таким образом, учащиеся убеждаются, что значение выражения не меняется при изменении порядка действий только в том случае, если при этом применяются свойства действий.