Метод координат

Плоскости, и называются координатными плоскостями. Они делят все пространство на восемь частей, называемых октанами.

Цилиндрические и сферические координаты.

В пространстве обобщением полярных систем координат являются цилиндрические и сферические системы координат. И для тех, и для других фигура, относительно которой определяется положение точки, состоит из точки, луча, исходящего из, и вектора, равного по длине единице и перпендикулярного к. Через точку мы можем провести плоскость, перпендикулярную вектору .

Пусть дана некоторая точка. Опустим из нее перпендикуляр на плоскость (рис. 11).

Рис. 11 Определение цилиндрических координат

Цилиндрические координаты точки — это три числа. Числа — полярные координаты точки по отношению к полюсу и полярной оси, a — компонента вектора по вектору .

С координатами цилиндрические координаты связаны формулами:

Сферические координаты точка — три числа. Они определяются так:, как и для цилиндрических координат — угол вектора с лучом, а — угол вектора с плоскостью, причем (рис. 10).

Рис. 11 Определение сферических координат

Декартовы координаты точки выразятся через ее сферические координаты так:

Задание фигур в пространстве Так же как на плоскости, координаты в пространстве дают возможность задавать с помощью чисел и числовых соотношений не только точки, но и линии, поверхности и другие множества точек.

В качестве примера рассмотрим уравнение

(12)

Поскольку расстояние от точки от начала координат задается выражением, то ясно, что в переводе на геометрический язык соотношение (12) означает, что точка с координатами, удовлетворяющими этому соотношению, находится на расстоянии от начала координат. Значит, множество всех точек, для которых выполняется соотношение (12), это поверхность шара — сфера с центром в начале координат и радиусом .

Определим какое множество точек задается уравнением

.

Рассмотрим сначала только точки плоскости, удовлетворяющие этому соотношению, т. е. точки, для которых. Тогда уравнение (12) задает окружность с центром в начале координат и радиусом, равным. У каждой точки этой окружности координата равна нулю, а координаты и удовлетворяют соотношению (12). Из каждой точки данной окружности, лежащей на плоскости, мы можем получить множество точек, удовлетворяющих уравнению (12). Для этого проведем через эту точку окружности прямую, параллельную оси. Все точки этой прямой будут иметь и такие же, как и у точки окружности, а может быть любым числом, т. е. это будут точки вида .

Но поскольку в уравнение () не входит, а числа уравнению удовлетворяют, то и числа тоже удовлетворяют уравнению (12). Ясно, что таким образом можно получить всякую точку, удовлетворяющую уравнению (12).

Рис. 12 Цилиндрическая поверхность Итак, множество точек, определяемое уравнением (12), получается следующим образом: берем на плоскости окружность с центром в начале координат и с радиусом, равным, и через каждую точку этой окружности проводим прямую, параллельную оси. Мы получим так называемую цилиндрическую поверхность.

Заключение

Применение алгебры к изучению свойств геометрических фигур разрослось в самостоятельную науку — аналитическую геометрию. Возникновение аналитической геометрии связано с открытием метода координат, являющегося основным её методом.

Характерной особенностью метода координат является определение геометрических фигур уравнениями.

Придавая геометрическим исследованиям алгебраический характер, метод координат переносит в геометрию наиболее важную особенность алгебры — единообразие способов решения задач. Если в элементарной геометрии приходится, как правило, искать для каждой задачи особый путь решения, то в алгебре и аналитической геометрии решения проводятся по общему для всех задач плану, легко приспособляемому к любой задаче. Можно сказать, что аналитическая геометрия занимает такое же положение по отношению к элементарной геометрии, какое алгебра занимает относительно арифметики. Перенесение в геометрию свойственных алгебре и поэтому обладающих большой общностью способов решения задач составляет главную ценность метода координат.

Другое достоинство метода координат состоит в том, что его применение избавляет от необходимости прибегать к наглядному представлению сложных пространственных конфигураций.

Метод координат важен также и тем, что он позволяет решение геометрических задач, исследование геометрических объектов и соотношений реализовать с помощью современных компьютерных технологий.

Александров П. С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. — М.: Наука, 1979, 512 с.

Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. — М.: Высшая школа, 1998, 320 с.

Бугров Я. С., Никольский С. М. Высшая математика. Элементы линейной и аналитической геометрии. — М.: Наука, 1980, 176 с.

Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математики. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1989, 280 с.

Гельфанд И. М., Глаголева Е. Г., Кириллов А. А. Метод координат. — М.: Наука, 1973, 88 с.

Ефимов Н. В. Краткий курс аналитической геометрии. — М.: Физматлит, 1967, 272 с.

Зельдович Я. Б., Яглом И. М. Высшая математика для начинающих физиков и техников. — М.: Наука, 1982, 520 с.

Ильин В. А. Позняк Э. Г. Аналитическая геометрия: Учеб. Пособие: Для вузов. — М.: Наука, 1999, 224 с.

Канатников А. Н., Крищенко А. П. Аналитическая геометрия. — М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2000, 387 с.

Красильщик И. С., Радковский Г. Н., Самохин А. В. Алгебра и аналитическая геометрия: Учеб. Пособие: Для вузов. — М.: МГТУ ГА, 2006, 132 с.

Постников М. М. Аналитическая геометрия. — М.: Наука, 1973, 755 с.

Привалов И. И. Аналитическая геометрия. — М.: Наука, 1966, 272 с.

Смогоржевский А. С. Метод координат. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1952, 40 с.

Умнов А. Е. Аналитическая геометрия и линейная алгебра: Учеб. Пособие: Для вузов — М.О.: Издание ЗАО «Оптимизационные системы и технологии», 2004, 368 с.

Шипачев В. С. Высшая математика. — М.: Высшая школа, 1990, 479 с.

Энциклопедия элементарной математики. Книга четвертая — Геометрия. — М.: Физматгиз, 1963, 568 с.

Ефимов Н. В. Краткий курс аналитической геометрии. — М., 1967, с.9

Ильин В. А. Аналитическая геометрия. — М., 1999, с.12

Ефимов Н. В. Краткий курс аналитической геометрии. — М., 1967, с.10

Ильин В. А. Аналитическая геометрия. — М., 1999, с.13

Ильин В. А. Аналитическая геометрия. — М., 1999, с.13

Гельфанд И. М. Метод координат. — М., 1973, с.9

Ильин В. А. Аналитическая геометрия. — М., 1999, с. 14

Гельфанд И. М. Метод координат. — М., 1973, с.12

Ильин В. А. Аналитическая геометрия. — М., 1999, с. 15

Привалов И. И. Аналитическая геометрия. — М., 1966, с.15

Привалов И. И. Аналитическая геометрия. — М., 1966, с.16

Привалов И. И. Аналитическая геометрия. — М., 1966, с.16

Ильин В. А. Аналитическая геометрия. — М., 1999, с.16

Смогоржевский А. С. Метод координат. — М., 1952, с. 9

там же с.11

Смогоржевский А. С. Метод координат. — М., 1952, с.12

Смогоржевский А. С. Метод координат. — М., 1952, с.13

Умнов А. Е. Аналитическая геометрия и линейная алгебра. — М.О., 2004, с. 62

Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. — М., 1998, с. 17

Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. — М., 1998, с. 17

там же

Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. — М., 1998, с. 17

там же. 18

Смогоржевский А. С. Метод координат. — М., 1952, с.20

там же с.21

Смогоржевский А. С. Метод координат. — М., 1952, с.21

Энциклопедия элементарной математики. Книга четвертая — Геометрия. — М., 1963, с.72

Энциклопедия элементарной математики. Книга четвертая — Геометрия. — М., 1963, с.73

Шипачев В. С. Высшая математика. — М., 1990, с.222

Шипачев В. С. Высшая математика. — М., 1990, с.222

Шипачев В. С. Высшая математика. — М., 1990, с.223

Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. — М., 1998, с. 18

Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. — М., 1998, с. 18

Постников М. М. Аналитическая геометрия. — М., 1973, с.177

Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. — М., 1998, с. 19

Постников М. М. Аналитическая геометрия. — М., 1973, с.177

Гельфанд И. М. Метод координат. — М., 1973, с.56

Гельфанд И. М. Метод координат. — М., 1973, с.57