Интегрирование тригонометрических функций

Вначале рассмотрим два достаточно часто встречающихся интеграла.

В общем случае интегралы вида, где — рациональная функция вычисляются с помощью универсальной тригонометрической подстановки:, тогда,. Довольно часто такая подстановка приводит к очень громоздким рациональным функциям, поэтому существует множество частных случаев, когда замена зависит от степеней тригонометрических функций.

3. .

. ?

4. .

Преобразуем знаменатель подынтегральной дроби, используя формулы понижения степени.

.

Исходный интеграл примет вид:

. ?

5. .

Выполним замену переменной, тогда. Значит,, откуда. В итоге данный интеграл преобразуется следующим образом:

.

6. .

Представим подынтегральную дробь в виде суммы целого числа и дроби. Данный интеграл равен сумме двух интегралов, первый из которых найдем методом интегрирования по частям.

. ?

7. .

Применим метод интегрирования по частям, учитывая, что.

.

. ?

8. .

Воспользуемся методом подстановки. Пусть, тогда .

. ?

9. .

Выполним подстановку, откуда, ,. Получаем:

.

Воспользуемся еще одной заменой:

.

.

где. ?

10. .

.

Упростим дробь под знаком интеграла:

.

Учтем также, что. Тогда интеграл преобразуется к виду:

где .

11. Вывести формулу понижения для интеграла (n — натуральное число).

.

Учтем, что, тогда получим:

.

Заметим, что. Тогда, пользуясь методом интегрирования по частям, получим:

.

Подставим все преобразования в .

.

Прибавим и вычтем из правой части последнего равенства.

.

В сокращенной записи последнее равенство принимает вид:

при. ?

12. .

Воспользуемся следующим разложением: .

интеграл иррациональный бином.

где. ?

13. .

. ?

14. .

Применим универсальную тригонометрическую подстановку, тогда.

и .

.

Вычислим каждый из интегралов отдельно.

.

.

Последний интеграл вычислим, пользуясь рекуррентной формулой:

.

.

В итоге получим ответ.

=.

где .