Множества. 
Элементы множества

Одним из фундаментальных понятий математики является понятие множества. Оно обычно принимается за первоначальное и поэтому не определяется через другие. Создатель теории множеств Георг Кантор определил множество как «многое, мыслимое нами как единое целое». Иногда даётся следующее определение множества.

Объекты, из которых состоит множество, называют его элементами. Множества обычно обозначаются большими буквами А, В, Х и т. д., а их элементы малыми а, b, c и т. д. Если элемент, а принадлежит множеству М, то пишут, а М.

Например, мы говорим о множестве решений уравнения до того, как узнаём, сколько оно имеет решений. Когда уравнение не имеет решений мы говорим, что множество решений уравнения х2+1=0 — пустое.

Отношения между множествами Включение Наглядно это отношение между множествами изображается ограниченными замкнутыми кривыми. Такое изображение называется диаграммой Венна (кругами Эйлера).

На рис. дана диаграмма Венна для случая, когда АВ.

Например, множество прямоугольников включается в множество параллелограммов (всякий прямоугольник — параллелограмм).

Из определения подмножества следует, что любое множество является подмножеством самого себя, т. е. справедливо утверждение, А А. Если в множестве В найдется хотя бы один элемент, не принадлежащий множеству А, то В не является подмножеством множества А. В, А Полагают также, что пустое множество является подмножеством любого множества. Это вполне естественно, т.к. пустое множество не содержит ни одного элемента и, следовательно, в нём нет элемента, который не принадлежал бы любому другому множеству.

Например, А = {1, 2}; В = {2,1} А = В Числовые множества.

В математике чаще всего приходится иметь дело со множествами, элементами которых являются числа. Такие множества называются числовыми. Различают конечные и бесконечные множества. Например, множество всех двузначных чисел — конечное, а множество отрицательных чисел — бесконечное.

Для числовых множеств удобно ввести специальные обозначения. Мы будем пользоваться следующими:

Натуральные числа — это числа, возникающие в результате счёта предметов. N = {1, 2, 3, …}.

Целые числа — это натуральные числа, им противоположные и ноль. Z = {…-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}. Таким образом N Z.

Рациональные числа - это числа вида a/b. Всякое рациональное число может быть представлено либо в виде конечной, либо в виде бесконечной десятичной дроби. Любое целое число является рациональным, т.к. его можно представить в виде a/1 = a. Таким образом N Z Q.

Множество действительных чисел является расширением множества рациональных чисел. Оно включает в себя числа, которые нельзя представить в виде конечной или периодической дроби, например, v2. Их называют иррациональными. Таким образом N Z Q R.

Множество всех подмножеств данного множества Множество всех подмножеств некоторого множества М обозначается символом Р (М). Р — первая буква латинского слова parties (части).

Например, если М = {a, b, c}, то Р (М) = {, {а}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}.

Рассмотрим задачу определения числа всевозможных подмножеств конечного множества. Пусть М — множество, состоящее из n элементов. Будем говорить «n-элементное» множество. Определим, сколько всего подмножеств можно образовать из элементов множества М. Задачу решим методом математической индукции, который основан на следующем принципе:

Выражение А (n) считается истинным для всех натуральных значений переменной, если выполнены условия:

Выражение А (n) истинно для n=1.

Из предположения, что А (n) истинно для n=k, (где k произвольное натуральное число) следует, что А (n) истинно и для следующего значения.

n=k+1.

• 1) Пусть М — пустое множество, тогда Р (М) = {}, т. е. Р (М) = 1
• 2) Пусть М = {a}, тогда Р (М) = {, {a}}, т. е. Р (М) = 2
• 3) Пусть М = {a, b}, тогда Р (М) = {, {a}, {b}, {a, b}}, т. е. Р (М) = 4
• 4) Пусть М = {a, b, c}, тогда Р (М) = {, {a}, {b}, {a, b}, {c}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}, т. е. Р (М) = 8

Из этих частных случаев можно заключить, что число всевозможных частей «n-элементного» множества равно 2n.

Если множество состоит из n элементов, то число всех его подмножеств равно 2n. Операции над множествами. Объединение множеств Объединением множеств, А и В называется множество, элементы которого принадлежат либо множеству А, либо множеству В. Объединение множеств, А и В обозначается, А U В.

Это определение можно записать кратко так:

А U В = {x|xA или xB}.

На диаграмме заштриховано объединение.

Пусть, А = {a, b, c, d}, B = {x, y, z}.

Согласно определения.

А U В = {a, b, c, d, x, y, z}.

При решении неравенств часто приходится образовывать объединение множеств. Пусть, например, требуется решить неравенство |х-2| >1 на множестве R (xR).

А U В = (-?, 1) U (3, +?).

Пересечение множеств Пересечением двух множеств, А и B называется такое множество, элементы которого принадлежат и множеству, А и множеству В, т. е. их общая часть. Пересечение множеств обозначаются: А? В Это определение можно записать кратко так:

А?В = {x|xA и xB}.

На диаграмме заштриховано пересечение.

Рассмотрим два множества:

Х={a, b, c, d}, Y={a, b, f, k}.

Элементы, а и b принадлежит обоим множествам, т.о. множество {a, b} является пересечением рассмотренных множеств Х и Y:

X?Y = {a, b, c, d}?{a, b, f, k}= {a, b}.

При решении неравенств часто приходится образовывать пересечение множеств. Пусть, например, требуется решить неравенство |х-2| <1 на множестве R (xR).

А?В = (-?, 3) ?(1, +?) = (1, 3).

Если множества, А и В не имеют общих элементов, то их пересечением является пустое множество А? В=.

Например, пересечением множества четных чисел со множеством нечетных чисел — пустое. Пересечение любого множества с пустым множеством есть пустое множество. А?=.

Разность множеств.

Разностью множеств, А и В называют множество всех тех элементов множества А, которые не входят в множество В. Разность обозначается: АВ.

А={1,2,3}, B={1,2} AB={3}.

Это определение можно записать кратко так:

АВ = {x|xA и xB}.

Симметрическая разность Симметрической разностью множеств, А и В называют множество, представляющее собой объединение множеств AB и BA. Симметрическая разность обозначается:

АДВ =(АВ) U (ВА).

На диаграмме симметрическую разность представляют так:

Например, А={1,3,5,7,9,11,13}, B={1,2,3,4,5,6,7}.

AДB={2,4,6,9,11,12,13}.

2 способа решения задач.

Задача 1. Из 40 студентов курса 32 изучают английский язык, 21 — немецкий язык, а 15 — английский и немецкий языки. Сколько студентов курса не изучает ни английский, ни немецкий языки?

Решение. Пусть, А — множество студентов курса, изучающих английский язык, В — множество студентов курса, изучающих немецкий язык, С — множество всех студентов курса. По условию задачи: п (А) = = 32, п (В) = 21, п (А?В) = 15, п© = 40. Требуется найти число студентов курса, не изучающих ни английского, ни немецкого языка.

• 1 способ.
• 1) Найдем число элементов в объединении данных множеств, А и В.

Для этого воспользуемся формулой (2):

п (А U В) = п (А) + п (В) — п (А? В) = 32 + 21 — 15 = 38.

• 2) Найдем число студентов курса, которые не изучают ни английский, ни немецкий языки: 40 — 38 = 2.
• 2 способ.
• 1) Изобразим данные множества при помощи кругов Эйлера и определим число элементов в каждом из непересекающихся подмножеств. Так как в пересечении множеств, А и В содержится 15 элементов, то студентов, изучающих только английский язык, будет 17 (32 — 15 = 17), а студентов, изучающих только немецкий, — 6 (21 — 15 = 6). Тогда п (А U B) = 17 + 15 + 6 = 38, и, следовательно, число студентов курса, которые не изучают ни английский, ни немецкий языки, будет 40 — 38 = 2.