Метод Винера-Хопфа и его приложения в физических задачах

Метод Винера-Хопфа и его приложения в физических задачах.

Демидов Р.А., ФТФ, 2105

Указанный метод подходит для решения интегральных уравнений на полубесконечном промежутке с ядром, зависящим от разности аргументов — речь идет об уравнениях вида

.

Этот метод был предложен в совместной работе Н. Винера и Э. Хопфа в 1931 году, и находит разнообразные применения в теории дифференциальных и интегральных уравнений, а также в их приложениях в физических задачах.

В своей работе я опишу сам метод Винера-Хопфа, а также приведу его применение к решению краевых задач матфизики.

1. Метод

1.1 Случай бесконечного промежутка

Метод Винера-Хопфа основан на специальном виде ядра интегрального уравнения — оно зависит от разности аргументов, а не от самого аргумента. Собственно, для начала рассмотрим уравнение вида

⁽¹⁾

— это уравнение с бесконечным промежутком и тем же самым ядром. Решение его существует, если выполняются 2 условия:

а также условие сходимости нормы u (x):

.

Эти условия работают при действительных л. Мы рассмотрим два способа решения этого уравнения — один, использующий свойство свертки напрямую, другой — с помощью резольвенты. Итак,первый.Заметим, что в случае именно бесконечного промежутка интеграл представляет собой свертку ядра и функции u (x). Вспомнив, что Фурье-образы функций u (x), f (x), g (x) выглядят как, воспользуемся свойством образа свертки двух функций — «образ свертки есть свертка образов».Тогда для функций U (k), V (k), F (k) — образов соответствующих функций, получаем алгебраическое уравнение:

⁽²⁾

Данное свойство образа свертки доказывается «в лоб», а именно — домножением равенства (1) на и интегрированием по всей действительной оси:

Делая замену во втором интеграле (x-s)=t, получаем

что и требовалось доказать.

Видим, что мы свели исходную задачу к алгебраическому уравнению относительно образа исходной функции u (x). Выражая его через образы ядра и f (x), производя обратное преобразование Фурье, получаем в качестве искомого решения:

=>

=> ⁽³⁾

Второй способ: вычисляем резольвенту уравнения как

⁽⁴⁾

В виде Фурье — образов это равенство выглядит так:

где G (k) вычисляется как

⁽⁵⁾

V (k) — Фурье-образ исходного ядра v (x) уравнения (1).То есть для решения исходного уравнения необходимо найти функцию g (x), применив обратное преобразование Фурье к (5), и подставить его в (4). Этот способ не требует вычисления каждый раз интегралов для F (k) при смене функции f, она подставляется в самом конце один раз, поэтому такой способ быстрее.

На примере этой задачи мы поняли, как решать уравнение с бесконечным промежутком интегрирования. На этом примере мы будем строить решение уравнения с полубесконечным промежутком — и опишем метод Винера-Хопфа.

1.2 Полубесконечный промежуток

Понятно, что в случае, если интегрирование идет не с -?, а с 0, переходя к образам, мы не можем воспринимать наш интеграл как свертку — а значит, и не можем написать наше уравнение. Запишем некоторые свойства преобразования Фурье, связанные с полубесконечными промежутками, которые нам понадобятся в дальнейшем. Итак, в случае разбиения функции f (x) на два куска — f₊(x) и f_-(x), (f (x)= f₊(x) + f_-(x))представляющих собой правый и левый концы следующим образом:

выражения для прямых и обратных преобразований Фурье для них будет выглядеть так:

f₊^:,

при причем здесь — комплексная переменная, и выполняется неравенство Im (k)=ф > ф_— . Причем

Обратное преобразование выглядит так:

и здесь мы интегрируем по любой прямой Im (k)=ф > ф_- .

f_-^: При для прямого преобразования Фурье имеем

к здесь та же к.п., это верно в области с Im (k)=ф < ф_{+ .} Обратное преобразование для f_- выглядит аналогично:

Интегрирование идет по той же прямой с Im (k)=ф < ф₊

При ф_- < ф₊ образ F (k) задаётся уравнением как раз в полосе ф_- < Im (ф) < ф_{+ .} При ф_- < 0, ф₊ > 0 функция полоса Im (ф)=0 попадает в границы интегрирования, и интеграл можно взять вещественным, выбрав мнимую часть ф нулем.

Применим эти соображения к решению искомого уравнения. (6)

⁽⁶⁾

Разложим неизвестную функцию u (x) на составляющие u₊, u_- :

При подстановке этих функций в уравнение (6) мы получаем два уравнения на каждую часть u (x).Факт существование решения мы примем без доказательств. Мы ищем решения, удовлетворяющие следующим условиям:

µ<�ф₊.

При их выполнении в полосе µ < Im (k) < ф₊ функции u₊, u_- являются аналитическими.

Переходя по формулам преобразования Фурье к уравнению для образов, аналогично проделанному в § 1,мы имеем право пользоваться теми же свойствами, по причине именно такого выбора функций u₊, u_— .Итак, получаем:

что видно из представления u (x)= u₊(x)+u_-(x), U (k)=U₊(k)+U_-(k) и уравнения (6).Перенося все в левую часть, видим, что

если так задать функцию L (k).

Мы подошли к сути метода Винера-Хопфа: путем преобразования Фурье свели наше уравнение к алгебраическому, но уже относительно образов функции. Однако в нашем случае, в отличие от § 1,неизвестныхфункций в нем две, и обе нам нужны. Грубо говоря, нам позволено найти решение, но оно не будет однозначным, и данный метод работает лишь для определенного вида функций. Пусть мы нашу функцию L (k) можем представить как частное функций L₊(k), L_-(k), уравнение принимает при этом вид

и известно следующее — «плюсовая» часть есть аналитическая функция к.п. в области, «минусовая» часть аналитическая функция в области ,µ <�ф₊, а значит, в полосе (которая непуста) существует единственная общая функция U (k), совпадающая с U₊, U_- в соответствующих областях. Если дополнительно задать, что функции L₊, L_- растут не быстрее степенной функции kⁿ, то функции можем считать определенными, и приравнять правую и левую часть в общем случае многочлену P_n(k) (это получается, если учесть стремление U₊, U_- к нулю по |к|-> ?.Теперь у нас неопределенности нет, и в общем виде это выглядит так:

Если степень роста функций L есть единица (растут не быстрее линейной функции), то мы имеем для кусков функции L (k) следующее:

и в итоговом решении будет присутствовать произвольная константа C. Приведу пример последнего случая с n=0. Пример.

— интегральное уравнение с полубесконечным промежутком и нулевой f для простоты. Решим его м.В.-Х.

Как видим, мы имеем дело с ядром вида exp (-|x|).Найдем его Фурье-образ, и далее, функцию L (k):

— является аналитической в области -1 < Im (k) < 1. Разложим ее как частное двух так:

При 0 < л < 0.5 условия одновременной аналитичности выполняются в полосе µ < Im (k) < 1, при л > 0.5 условия выполняются в полосе 0 < Im (k) < 1. Эти выводы получаются из изучения особых точек функций L₊(k), L_-(k). Далее — обе функции растут на бесконечности к по модулю не быстрее многочленов первой степени. Наш полином в числителе — это константа, полином нулевой степени, иначе не выполняется условие сходимости произведения L₊U₊, L_-U_- .Значит

и, применяя обратное преобразование Фурье, находим u₊(x):

что верно для Решение в квадратурах найдено, этот интеграл подлежит простому подсчету. На выходе получим:

Как видим, решение получено с точностью до константы.

1.3 В общем виде

Изложим метод Винера-Хопфа в общем виде. Возьмем обобщенное уравнение и поставим задачу: найти функции Ш₁, Ш₂, удовлетворяющие нашему уравнению в полосе, стремящихся к нулю при .A, B, C — аналитические в нашей полосе функции, для ограничения вырожденного случая A, B не равны в полосе нулю. Идею решения такого уравнения мы в основном уже излагали, здесь она немного расширена. Итак, представляем A/B как частное функций L₊, L_- ,

причем L₊ аналитическая в области Im (k) > ф_-, L_- аналитическая в области Im (k) < ф₊ .Подставляя это в уравнение, и приводя к общему знаменателю, получаем:

Теперь, если удается разбить слагаемое, не содержащее Ш, на два, как

что будет верно в некоторой подполосе нашей полосы, и сгруппировать идентичные слагаемые, то получаем:

— это чуть более общее равенство, чем-то, что мы получали ранее для частного случая. Как и ранее — из сходимости обоих пси к нулю при стремлении k по модулю к бесконечности, сходимости L₊ L_- не быстрее многочлена степени n, а также учитывая, что существует единственная пси в нашей полосе, составленная из Ш₁, Ш₂, мы получаем следующие соотношения:

Р_n(k) — многочлен, коэффициенты которого определяются из доп.условий. Далее — решение будет равно обратному преобразованию Фурье от суммы Ш₁, Ш_2.

Что осталось выяснить, так это саму возможность так раскладывать функции. Приведем нескольку лемм, обосновывающих возможность такой работы с нашими функциями.

Лемма1: Пусть образ F (k) аналитический в полосе, F (k) равномерно стремится к 0 при |k|->? Тогда в этой полосе возможно разбиение функции F как, F₊(k) аналитическая в Im (k)>ф_-, F_-(k) аналитическая в Im (k)<�ф₊ .

Доказательство: Рассмотрим систему отсчета так, как это изображено на картинке. Посчитаем значение F (k₀) — в точке, лежащей внутри прямоугольного контура abcd. По формуле Коши расписали в интеграл по контуру. Перейдем к пределу A ->?, и устремим контур к полосе.

Тогда в пределе получаем

где эти части есть

Каждая функция задана в своей области, а на их пересечении в нашей полосе мы имеем равенство. Что и требовалось доказать, в общем то. Очевидно, что из их сходимости следует и ограниченность F₊(k), F_-(k) в рассматриваемой полосе.

Лемма2:Пусть функция Ф (k) является аналитической и не равной нулю в полосе, причем Ф (k) равномерно стремится к 1 при |k|->?.Тогда, где функции Ф₊, Ф_- соответственно аналитические в

и

Доказательство:

Заметим, что для функции выполнены условия леммы1, значит, мы имеем право ее представить суммой F₊, F_-, а Ф — произведением:

Ф=Ф₊*Ф_- .

Условия на границы по мнимой оси для функций Ф₊, Ф_- сохранятся => лемма доказана.

Теперь сделаем еще одно обобщение — покажем, как в общих чертах работает этот метод для неоднородного уравнения

⁽⁷⁾

Проводя аналогичные рассуждения, разбивая u (x) на две вспомогательные функции, замечаем, что при выполнении условий для модуля в полосе мы можем переходить к образам функций и мы получим

предварительно разбив F на две. Принимая за функцию L (x) ф-ю

аналитическую в стандартной полосе и равномерно стремящуюся к 1 при наше алгебраическое уравнение перепишется как Далее, точно также разделяем L на две части как

И L₊ — аналитическая в, L_- — аналитическая в. По аналогии приводя к общему знаменателю, получаем уравнение на U₊, U_- :

При успешном разложении последнего члена как

где по все той же аналогии D₊ и D_- аналитические в областях соответственно, мы записываем решения в виде

.

При этом мы воспользовались той же сходимостью — L₊, L_- растут не быстрее чем kⁿ, а значит, для выполнения условий необходим полином в числителе.

Как видим, и эта, неоднородная задача, успешно решилась методом Винера-Хопфа. Как таковой, метод основан на некой аналогии разделения переменных — мы разделяем одну функцию на сумму двух, каждая из которых закрывает свою зону комплексной плоскости, и с каждой половиной работаем отдельно.

Метод мы рассмотрели, поняли, как он работает, теперь рассмотрим его конкретное применение — в краевых задачах математической физики.

2. Применение метода Винера-Хопфа

До этого мы рассматривали наш метод для решения интегральных уравнений, однородных и неоднородных, с специальным ядром. Сейчас же рассмотрим уравнение Лапласа и краевую задачу на нем, тем самым обобщив м. В.-Х. и на дифференциальные уравнения в частных производных.

Итак, задача: в верхней полуплоскости найти гармоническую функцию, удовлетворяющую следующим условиям:

Для этого решим к. задачу на уравнении,, и перейдем уже в решении к пределу в нуле по каппа.

Разделяя переменные, и применяя метод Фурье, в общем виде находим решение:

где f (k) — произвольная функция комплексного параметра k,

Для удовлетворения функции u граничным условиям должны выполняться 2 условия на f (очевидно из представления u):

Решение строится, если L (k) аналитическая в полосе ф_- < Im (k) < ф₊, если при этом ф_- < 0, ф₊ > 0. Тогда

где L₊ аналитическая в верхней полуплоскости ф_- < Im (k), L_- аналитическая в нижней п. п Im (k) < ф₊.Если мы так представили L, несложно убедится в истинности решения

где константа определяется как

Эти результаты мы получаем, замыкая контур интегрирования и пользуясь леммами Жордана об интегрировании по верхней/нижней полуплоскости. Убеждаемся, что вид функции L

нам подходит. Подставляя его в предыдущие равенства, получаем

и

что решает задачу. Теперь, как мы в самом начале говорили, перейдем к пределу по каппа к нулю и в пределе получаем гармоническую функцию:

вычисляя интеграл, получаем

Дальнейшие вычисления приводят нас к следующему результату:

;

если вводим вспомогательную функцию так, то

z=x+iy.

Получили ответ задачи.

Вывод

В работе мы рассмотрели метод на примере интегральных уравнений, и обосновали его правильность. После мы применили его к решению краевой задачи матфизики, используя представления о методе Винера-Хопфа из области специальных интегральных уравнений.

В общем то, мы применили небанальный переход, когда устремляли каппа к 0, и получали гармоническое уравнение.

В общем и целом, метод Винера-Хопфа, хоть и является достаточно узким методом, направленным на решение конкретного И.У. с определенным ядром, позволяет решать многие математические задачи помимо своего прямого предназначения.

Список использованной литературы

1. Б.Нобл. «Применение Метода Винера-Хопфа для решения дифференциальных уравнений в частных производных.»

2. Свешников, Тихонов, «Теория функций комплексного переменного.»