Помощь в написании студенческих работ
Антистрессовый сервис

Приближенные методы и алгоритмы численного исследования задачи о бифуркации периодических решений в негладких динамических системах

Диссертация: Приближенные методы и алгоритмы численного исследования задачи о бифуркации периодических решений в негладких динамических системах
ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

Доказана теорема об обмене устойчивостью между нулевым стационарным решением и рождающимися периодическими решениями. На основе теоремы разработан новый численный алгоритм исследования устойчивости периодических колебаний при бифуркации Андронова-Хопфа для широкого класса гладких и негладких динамических систем. Алгоритм программно реализован в среде MATLAB. Методом вычислительного эксперимента… Читать ещё >

Приближенные методы и алгоритмы численного исследования задачи о бифуркации периодических решений в негладких динамических системах (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Содержание

  • 0. 1. Введение
  • 1. Бифуркации в гладких динамических системах
    • 1. 1. Динамические системы: вводные сведения
      • 1. 1. 1. Понятие динамической системы
      • 1. 1. 2. Непрерывные динамические системы
    • 1. 2. Локальные бифуркации в динамических системах
      • 1. 2. 1. Бифуркации в динамических системах
      • 1. 2. 2. Бифуркация стационарных решений
      • 1. 2. 3. Бифуркация Андронова-Хопфа
      • 1. 2. 4. Теорема о центральном многообразии
    • 1. 3. Приближенное исследование задачи о бифуркации
      • 1. 3. 1. Приближенное исследование бифуркации стационарных решений
      • 1. 3. 2. Приближенное исследование бифуркации Андронова-Хопфа
    • 1. 4. Алгоритм исследования устойчивости решений в задаче о бифуркации Андронова-Хопфа
      • 1. 4. 1. Описание алгоритма
  • 2. Приближенное исследование бифуркаций в системах с негладкими нелинейностями
    • 2. 1. Динамические системы с негладкими нелинейностями
      • 2. 1. 1. М-системы
      • 2. 1. 2. Примеры М-систем
      • 2. 1. 3. Пример: груз на транспортере
    • 2. 2. Локальные бифуркации в негладких динамических системах
      • 2. 2. 1. Бифуркация стационарных решений
      • 2. 2. 2. Бифуркация Андронова-Хопфа
    • 2. 3. Бифуркация периодических решений в двумерных негладких системах
      • 2. 3. 1. Модельный пример
      • 2. 3. 2. Пример: модель управления ориентацией деформируемого космического аппарата (ДКА)
  • 3. Алгоритмы исследования устойчивости
    • 3. 1. Основные результаты об устойчивости
      • 3. 1. 1. Основные утверждения
      • 3. 1. 2. Алгоритм исследования устойчивости бифурцирующих решений в задаче о бифуркации Андронова-Хопфа
      • 3. 1. 3. Пример: система Лэнгфорда
      • 3. 1. 4. Пример: система Лоренца
      • 3. 1. 5. Пример: модель Льенара
    • 3. 2. Доказательства теорем 3.2 и
      • 3. 2. 1. Вспомогательные утверждения
  • 4. Моделирование бифуркационных явлений конусного типа
    • 4. 1. Постановка задачи и основное утверждение
    • 4. 2. Схема доказательства теоремы
      • 4. 2. 1. Переход к интегральному уравнению
      • 4. 2. 2. Свойства интегрального оператора (4.5)
      • 4. 2. 3. Фуикционализация параметра
      • 4. 2. 4. Переход к вспомогательному уравнению
      • 4. 2. 5. Оценка норм компонентов решений

    • Актуальность темы

    Математические модели многих динамических систем приводят к дифференциальным или разностным уравнениям, содержащим негладкие, разрывные или многозначные функции. Таковыми являются системы, содержащие нелинейности типа идеальных или неидеальных реле, гистерезисные звенья различных видов, системы с зонами нечувствительности или насыщения, ударные механизмы и др. К указанным моделям приводят многие задачи механики, физики, биологии, экологии, экономики и т. д. При этом негладкость может присутствовать и как возмущения исходной гладкой системы, и как принципиальный элемент модели. В диссертации для простоты такие модели называются негладкими динамическими системами.

    Одной из наиболее интересных и в то же время важной с теоретической и практической точек зрения является задача о локальных бифуркациях динамических систем, в частности, задача о качественных перестройках фазового портрета системы в окрестностях стационарных состояний при изменении параметров системы. Такие бифуркации могут сопровождаться возникновением новых стационарных состояний, периодических колебаний малой ампплитуды и др. Теория локальных бифуркаций детально разработана для гладких динамических систем. Исследованию таких систем посвящена обширная литература, для них предложен ряд эффективных качественных и приближенных методов исследования. Существенный вклад в развитие указанной теории внесли А. А. Андронов, В. И. Арнольд, Р. И. Богданов, Дж. Гукенхеймер, Ф. Такенс, Ф. Холмс, Е. Хопф, Л. П. Шильников pi др.

    Сравнительно меньше исследованы вопросы о локальных бифуркациях для динамических систем, содержащих неаналитические или разрывные нелинейности, хотя и здесь, конечно, известен ряд эффективных методов исследования таких, как метод точечных отображений, методы теории многозначных отображений и дифференциальных включений, методы математической теории систем с гистерезисом. Методы негладкой теории разрабатывались в трудах А. А. Андронова, Б. Д. Гельмана, М. А. Красносельского, К. Куратовского, А. Ласоты, А. Д. Мышкиса, Ю. И. Неймарка, В. В. Обуховского, А. В. Покровского, Я. З. Цыпкина, А. Ф. Филиппова и др.

    Многие негладкие динамические системы характеризуются тем, что свойства гладкости (непрерывности) входящих в математическую модель функций могут нарушаться на некоторых многообразиях фазового пространства системы, коразмерность которых равна единице. При этом в задаче о локальных бифуркациях в окрестности стационарного состояния системы указанные многообразия могут либо содержать стационарное состояние, либо располагаться «вблизи» него. Такие динамические системы для простоты в диссертации названы М-системами. В частности, многие задачи о локальных бифуркациях для систем, содержащих релейные или гистерезисные нелинейности, приводят к М-системам. При исследовании математических моделей М-систем возникают следующие вопросы:

    1. При каких условиях на М-системы могут быть получены аналоги I известных в теории гладких динамических систем достаточных признаков локальных бифуркаций?

    2. Каковы основные сценарии бифуркационного поведения М-систем? В частности, каковы свойства бифурцирующих решений при достижении ими многообразий нарушения гладкости?

    3. Задачи исследования локальных бифуркаций достаточно сложны для. теоретического исследования даже для гладких динамических систем. Поэтому при их исследовании часто используются численные методыособенно эффективны здесь итерационные методы построения решений. Возникают естественные вопросы о разработке схем приближенного построения бифурцирующих решений для М-систем и, в частности, вопросы о разработке алгоритмов и программ численного исследования задачи.

    4. Одним из наиболее важных в теории локальных бифуркаций является вопрос об устойчивости бифурцирующих решений. Существующие алгоритмы исследования этого вопроса в большинстве своем сложны и низкоэффективны. Представляется важным провести детальный анализ таких алгоритмов и разработать на их основе новые алгоритмы исследования устойчивости, эффективные как для гладких динамических систем, так и для М-систем.

    Изучение указанных вопросов имеет как теоретическую, так и практическую значимость. Эти вопросы определяют актуальность темы настоящего исследования по разработке методов качественного и приближенного исследования локальных бифуркаций динамических систем, м атем ати ческие модели которых содержат негладкие или разрывные функции.

    Целью исследования является разработка качественных и приближенных методов анализа бифуркационных явлений в системах, математические модели которых содержат разрывные или негладкие нелинейности. Для достижения поставленной цели в работе решаются следующие задачи:

    1. Конструирование семейств операторных уравнений, определяющих основные сценарии бифуркационного поведения решений широкого класса негладких динамических систем;

    2. Разработка итерационных процедур приближенного исследования операторных уравнений и получение на их основе асимптотических формул для бифурцирующих решений;

    3. Разработка pi обоснование схемы исследования устойчивости решений в задаче о бифуркации Андронова-Хопфа, приводящей к эффективным алгоритмам анализа устойчивости;

    4. Разработка программ компьютерного моделирования бифуркационного поведения системы.

    Методы исследования. Использованы общие методы качественной теории дифференциальных уравнений, нелинейного анализа, методы приближенного решения операторных уравнений, метод Ньютона-Канторовича, методы теории Флоке и малого параметра исследования устойчивости, метод функционализации параметра исследования бифуркационных задач.

    Научная новизна определяется впервые проведенными исследованиями, в результате которых разработан математический аппарат для анализа бифуркационных явлений в динамических системах, математические модели которых содержат разрывные или негладкие нелинейности. При этом получены следующие новые научные результаты:

    1. Разработана новая схема конструирования операторных уравнений, определяющих основные сценарии бифуркационного поведения решений широкого класса негладких динамических систем;

    2. Предложена новая схема аналитического исследования бифуркации стационарных решений и бифуркации Андронова-Хопфа в системах с негладкими правыми частями, получены новые количественные признаки бифуркации и асимтотические формулы для бифурцирующих решений;

    3. Разработаны итерационные процедуры приближенного исследования задач о локальных бифуркациях в системах с негладкими правыми частями;

    4. Предложена и обоснована новая схема исследования устойчивости решений в задаче о бифуркации Андронова-Хопфа, являющаяся новой как для гладких, так и негладких динамических системразработай алгоритм численного исследования устойчивости;

    5. Разработаны программы компьютерного моделирования бифуркационного поведения динамических систем с гладкими и негладкими нелинейностями.

    Основные положения, выносимые на защиту:

    1. Схема конструирования операторных уравнений, определяющих основные сценарии бифуркационного поведения решений широкого класса негладких динамических систем;

    2. Схема аналитического исследования локальных бифуркаций в негладких динамических системах, приводящей к асимтотическим формулам для бифурцирующих решений;

    3. Итерационная процедура приближенного исследования задач о локальных бифуркациях в негладких динамических системах;

    4. Схема и алгоритм исследования устойчивости решений в задаче о бифуркации Андронова-Хопфа для широкого класса гладких и негладких динамических систем.

    Практическая и теоретическая значимость. В работе предложены и обоснованы аналитический и приближенный методы исследования задач о локальных бифуркациях в динамических системах, математические модели которых содержат разрывные или негладкие нелинейности. Предлагаемые методы могут быть использованы при построении математического аппарата для анализа бифуркационных явлений в системах, содержащих нелинейности типа идеальных или неидеальных реле, гистерезисные звенья различных видов, ударные механизмы и т. п.

    Полученные результаты доведены до расчетных формул и алгоритмов, составлены и отлажены соответствующие программы в среде MAT-LAB. Предложенные схемы, процедуры и программы апробированы при решении ряда практических задач: моделирование динамики сложного поведения жидкостей и газов, автоматическое управление ориентацией деформируемого космического аппарата, моделирование движения груза на движущемся транспортере и др.

    Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на Региональной школе-конференции для студентов, аспирантов pi молодых ученых по математике и физике (г. Уфа, БГУ, 30−31 октября 2003 г.), на Второй Всероссийской научной конференции.

    Проектирование инженерных и научных приложений в среде MATLAB" (г. Москва, Институт проблем управления РАН, 25−26 мая 2004 г.), на Десятом Международном семинаре им. Е. С. Пятницкого «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» (г. Москва, Институт проблем управления РАН, 3−6 июня 2008 г.), на Международной научной конференции «Дифференциальные уравнения и смежные проблемы» (г. Стерлитамак, 24−28 июня 2008 г.), на научных семинарах кафедры дифференциальных уравнений Башгосуниверситета (руководитель — д.ф.-м.н., профессор Султанаев Я.Т.), кафедры алгебры и геометрии Магнитогорского госуниверситета (руководитель — д.ф.-м.н., профессор Смолин Ю.Н.), кафедры математического анализа Стерлитамакской государственной педагогической академии (руководитель — д.ф.-м.н., профессор Калиев И.А.).

    Публикации. Основные результаты опубликованы в работах [96]— [103], при этом статьи [98], [102], [103] опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК.

    Личный вклад соискателя. Постановки основных задач принадлежат научному руководителю. Основные результаты диссертации получены автором самостоятельно. При выполнении работ [97] и [102], опубликованных в соавторстве, соискатель принимал участие в обосновании предлагаемых алгоритмов исследования устойчивости и разработке соответствующих программ.

    Объем и структура диссертации. Работа состоит из введения, четырех глав, одиннадцати параграфов, заключения и Приложения А. Общий объем диссертации составляет 140 страниц, включая 17 иллюстраций и Приложение А. Библиография содержит 103 наименования.

    Заключение

    .

    В настоящей диссертационной работе исследованы следующие задачи:

    1. Конструирование семейств операторных уравнений, определяющих основные сценарии бифуркационного поведения решений широкого класса негладких динамических систем;

    2. Разработка итерационных процедур приближенного исследования операторных уравнений и получение на их основе асимптотических формул для бифурцирующих решений;

    3. Разработка и обоснование схемы исследования устойчивости решений в задаче о бифуркации Андронова-Хопфа, приводящей к эффективным алгоритмам анализа устойчивости;

    4. Разработка программ компьютерного моделирования бифуркационного поведения системы.

    Получены следующие основные результаты:

    1. Предложены новые схемы построения операторных уравнений, определяющих основные сценарии бифуркационного поведения решений широкого класса негладких динамических систем.

    2. С помощью сконструированных семейств операторных уравнений установлены количественные признаки бифуркации и формулы асимптотического представления бифурцирующих решений в динамических системах с негладкими правыми частями. Доказаны теоремы о типе бифуркации в негладких динамических системах.

    3. Разработана итерационная процедура приближенного исследования задач о локальных бифуркациях в динамических системах с негладкими правыми частями, позволившая получить асимптотические формулы для рождающихся периодических решений и для их периодов.

    4. Доказана теорема об обмене устойчивостью между нулевым стационарным решением и рождающимися периодическими решениями. На основе теоремы разработан новый численный алгоритм исследования устойчивости периодических колебаний при бифуркации Андронова-Хопфа для широкого класса гладких и негладких динамических систем. Алгоритм программно реализован в среде MATLAB. Методом вычислительного эксперимента построены фазовые портреты некоторых негладких динамических системах, а также рассчитаны числовые характеристики, определяющие тип бифуркации и устойчивость бифурцирующих решений.

    Показать весь текст

    Список литературы

    1. А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э. Теория колебаний. — М.: Физматгиз, 1959. — 560 с.
    2. А. А., Леонтович Е. А., Гордон И. И., Майер А. Г. Теория бифуркаций динамических систем на плоскости. — М.: Наука, 1967.488 с.
    3. А. А., Понтрягин Л. С. Грубые системы. // ДАН СССР.1937. Т.14. — № 5. — С. 72−78.
    4. В. И. Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. — Ижевск: Редакция журнала «Регулярная и хаотическая динамика», 2000. — 400 с.
    5. В. И., Афраймович В. С., Ильяшенко Ю. С., Шильников Л. П. Теория бифуркаций. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 5. Динамические системы V. // М.: ВИНИТИ, 1986. — С. 5−218.
    6. В. В. Бифуркация положения равновесия в системах с нулевыми корнями характеристического уравнения // Математические заметки. — 2004. — Т.75. № 3. — С. 323−341.
    7. Д. Введение в теорию динамических систем с дискретным временем. — Москва-Ижевск: Редакция журнала 11 Регулярная и хаотическая динамика", Институт компьютерных исследований, 2006.360 с.
    8. Р. И. Версальная деформация особой точки векторного поля на плоскости в случае нулевых собственных чисел. // Труды семинаров им. И. Г. Петровского. — 1976. — Вып.2. — С. 37−65.
    9. Ю. Г., Гельман Б. Д., Мышкис А. Д., Обуховский В. В. Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений. — М.: КомКнига, 2005. — 216 с.
    10. А. В., Перов А. И. Лекции по обыкновенным дифференциальным уравнениям. — Москва-Ижевск: Редакция журнала «Регулярная и хаотическая динамика», 2004. — 540 с.
    11. X. В., Дюмортъе Ф., Стрин С., Такенс Ф. Структуры в динамике. Конечномерные детерминированные системы. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. — 336 с.
    12. С. П., Меньшенина А. В. Бифуркация, приводящая к хаотическим движениям в динамических системах с ударными взаимодействиями. // Дифференциальные уравнения. — 2005. — Т.41. № 8. — С. 1046−1052.
    13. Гукенхеймер Дою., Холмс Ф. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. — 560 с.
    14. А. М., Дементьев С. Н. Об устойчивости положения равновесия автономной системы ОДУ. // Вестник Воронежского ГТУ. 2004. — Сер.10. — № 1. С. 30−31.
    15. JI. С. Приближенные методы исследования бифуркационных задач с простым вырождением / / Вестник Башгосуниверситета. — 2006. — № 2. — С. 15−20.
    16. Л. С. Об итерационных методах исследования бифуркационных задач с простым вырождением / / Известия РАЕН. Математика. Математическое моделирование. Информатика и управление. 2005. — Т.9. — № 3−4. — С. 15−26.
    17. ., Джозеф Д. Элементарная теория устойчивости и бифуркаций. — М.: Мир, 1983. — 304 с.
    18. Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1977. — 742 с.
    19. Т. Теория возмущений линейных операторов. — М.: Мир, 1975.- 740 с.
    20. А. БХасселблат Б. Введение в теорию динамических систем. М.: МЦНМОб, 2005. — 464 с.
    21. В. С., Красносельский М. А. Метод функционализации параметра в задаче о точках бифуркации // Доклады АН СССР. — 1980. Т.254. — № 5. — С. 1061−1064.
    22. А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука, 1981. — 543 с.
    23. М. А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1966. — 332 с.
    24. М. А., Забрейко П. П. Геометрические методы нелинейного анализа. — М.: Наука, 1975. — 512 с.
    25. М. А., Вайникко Г. М. Забрейко П. П., Рутицкий Я. В., Стеценко В. Я. Приближенное решение операторных уравнений.- М.: Наука, 1969. — 456 с.
    26. А. М., Красносельский М. А. Циклы больших амплитуд в автономных системах с гистерезисом // Доклады АН СССР. 1985. — Т.283. — № 1. — С. 23−26.
    27. А. М., Кузнецов Н. А., Рачинский Д. И. Нелинейная бифуркация Хопфа // Доклады РАН. — 2000. — Т.372 — № 4. — С. 455−458.
    28. М. А., Кузнецов Н. А., Юмагулов М. Г. Функционализация параметра и асимптотика циклов в бифуркации Хопфа // Автоматика и телемеханика. — 1996. — № 11. — С. 22−28.
    29. М.А., Кузнецов Н. А., Юмагулов М. Г. Операторный метод анализа устойчивости циклов при бифуркации Хопфа. // Автоматика и Телемеханика. — 1996. — № 12. — С. 24−30.
    30. М. А., Юмагулов М. Г. Метод функционализации параметра в проблеме собственных значений // ДАН России. — 1999.- Т.365. № 2. — С. 162−164.
    31. Н. А., Юмагулов М. Г., Матвеенко П. И. Признаки суб- и суперкритичности в задаче о бифуркации Хопфа и задачи односторонней бифуркации. // Автоматика и телемеханика. — 1998.12. С. 51−59.
    32. Л. Г., Юдович В. И. О бифуркациях равновесий при разрушении кососимметрии динамической системы // Сибирский математический журнал. — 2004. — Т.45. — № 2. — С. 356−374.
    33. А. М. Собрание сочинений. — M.-JL: Гостехиздат, 1956. — Т.2. 542 с.
    34. Н. А., Сидоров С. В. Новые методы хаотической динамики. — М.: Едиториал УРСС, 2004. — 336 с.
    35. Ма, липецкий Г. Г., Потапов А. Б. Современные проблемы нелинейной динамики. — М.: Эдиториал УРСС, 2000. — 336 с.
    36. И. Г. Теория устойчивости движения. —М.: Едиториал УРСС, 2004. 432 с.
    37. Мардсен Дж.} Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. — М.: Мир, 1980. — 362 с.
    38. А.И. О затягивании потери устойчивости при динамических бифуркациях I, И. // Дифференциальные уравнения.- 1987. Т.23. — Вып. 12. — С. 2060−2067- - 1988. — Т.24. — Вып.2.- С. 226−233.
    39. И. Д., Ю магу лов М. Г. Приближенное исследование малых периодических колебаний систем автоматического регулирования. // Автоматика и телемеханика. — 1993. — № 3. — С. 101−108.
    40. И. Д., Юмагулов М. Г. Импульсно-частотные характеристики в бифуркационных задачах. // Автоматика и телемеханика. — 2002.- № 5. С. 34−40.
    41. В.А. Анализ устойчивости и управляемости динамических систем методами теории катастроф. — М.: Высшая школа, 2005. — 380 с.
    42. А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. M.-JL: ГИТТЛ, 1947. — 392 с.
    43. Д. И. О бифуркации устойчивых циклов большой амплитуды для уравнений с гистерезисом. / / Автоматика и телемеханика. — 2004. — Ш12. — С. 62−84.
    44. М. Нелинейные колебания и теория устойчивости. — М.: Наука, 1971. 288 с.
    45. К., Смейл С., Шенсине А. и др. Современные проблемы хаоса и нелинейности. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. — 431 с.
    46. М. Т. Ненулевые периодические решения нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с особенной матрицей при производных // Дифференциальные уравнения. — 2003. — Т.39. № 12. — С. 1645−1653.
    47. Дж. Неустойчивости и катастрофы в науке и технике. — М.: Мир, 1985. 254 с.
    48. К. Вычислительные методы в динамике жидкостей. Пер. с англ. — М.: Мир, 1991. — 504 с.
    49. В., Казаринов Н., Вэн И. Теория и приложения бифуркации рождения цикла. — М.: Мир, 1985. — 280 с.
    50. JI. П. и др. Методы качественной теории в нелинейной динамике. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. 416 с.
    51. В. И. Об устойчивости вынужденных колебаний жидкости. // ДАН СССР. 1970. — т. — С. 292−295.
    52. В. И. Об устойчивости автоколебаний жидкости // ДАН СССР. 1970. — № 3. — С. 314−318.
    53. М. Г. Метод функционализации параметра в задаче приближенного расчета малых автоколебательных режимов // Автоматика и телемеханика. — 1988. — № 10. — С. 76−84.
    54. М. Г., Ибрагимова Л. С. Функционализация параметра и ее приложения в задаче о локальных бифуркациях динамических систем. // Автоматика и телемеханика. — 2007. — № 4. — С. 3−12.
    55. М. Г., Ибрагимова Л. С., Музафаров С. М., Нуров И. Д. Бифуркация Андронова-Хопфа со слабоосциллирующими параметрами. // Автоматика и телемеханика. — 2008. — № 1. — С. 36−41.
    56. И. В. Правильные точки бифуркации периодических решений дифференциальных уравнений. Труды региональной школы конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике. 30−31 октября 2003 г., Уфа, БГУ, с. 50−52.
    57. И. В. Бифуркации периодических решений в конусных окрестностях. // Вестник Башкирского университета. —2005. № 4. — Уфа, БГУ. — С. 11−14.
    58. И. В. Об одном алгоритме исследования циклов при бифуркации Андронова-Хопфа. // Вестник Магнитогорского государственного университета. — 2006. № 4. — Магнитогорск. — С. 141−145.
    59. И. В. Обмен устойчивостью при бифуркации Андронова-Хопфа. Труды международной научной конференции «Дифференциальные уравнения и смежные проблемы», г. Стерлитамак, 24−28 июня 2008 г. Стерлитамак, изд-во СГПА, с. 98−102.
    60. Н. А., Юмагулов М. Г., Шарафутдинов И. В. Алгоритм исследования устойчивости периодических колебаний в задаче о бифуркации Андронова-Хопфа. // Автоматика и телемеханика. — 2008. — № 12. — С. 47−52.
    61. И. В. Бифуркация Андронова-Хопфа в системах с негладкими нелинейностями. // Вестник Тамбовского университета. 2009. — Том 14, вып. 4. — С. 835−837.
    62. Alsholm Preben Existence of limit cycles for generalized Lienard equations // J. Math. Anal, and Appl. — 1992. 171, 1 — P. 242−255.
    63. Bhattacharya Rakhi, Bandyopadhyay Malay, Banerjee Sandip Stability and bifurcation in a difusive prey-predator system. Non-linear bifurcation analysis. // J.Appl. Math. And Comput. — 2002. T.10. № 1−2. — P. 1726.
    64. Chen Haibo, Liu Yirong, Zeng Xianwu Center conditions and bifurcation of limit cycles at degenerate singular points in a quintic polynomial differential system. // Bull. sci. math. — 2005. — 129. № 2. — P. 127−138.
    65. Cicogna G. J. Resonant bifurcation // Nonlinear Anal. Theory, Meth. and Appl. 2000. — 241. № 2. — P. 151−180.
    66. Dancer E. N. Bifurcation theory in Real Banach Space. // Proc. London Math. Soc. 1971. — (3)23. — P. 699−734.
    67. Diamond P., Rachinskiy D. I., Yumagulov M. G. Stability of large cycles in a nonsmooth problem with Hopf bifurcation at infinity. // Nonlinear Anal. 2000. — 42. № 6. — P. 1017−1031.
    68. Doedel E., Keller H. and Kernevez J. Numerical analysis and control of bifurcation problems. Bifurcation in finite dimensions, Int. // J. Bifurcation and chaos. 1991. — Vol. 1. — P. 493−520.
    69. Garcia Isaac A. Transcendental limit cycles via the structure of arbitrary degree invariant algebraic curves of polynomial planar vector fields. // Rocky Mount. J. Math. 2005. — 35. № 2. — P. 501−515. '
    70. Guckenheimer J. and Worfolk P. Dinamical systems: some computational problems. Bifurcations and Periodic orbits of Vector Fields. // Kluwer Academic Publishers. Dordrecht etc. 1993. — P. 241−278.
    71. He Xiangian Hopf bifurcation at infinity with discontinuons nonlinearities //J. Austral. Math. Soc. B. — 1991. — 33. № 2. — P. 133−148.
    72. Hirsch M. W. and Sm, ale S. Differential Equation. Dynamical Systems and Linear Algebra. Academic Press. New York (1974).
    73. Holden L. J., Erneux T. Slow passage through a Hopf Bifurcation: From oscillatory to steady state solutions. // SIAM J. Appl. Math. — 1993. — V. 53. № 4. P. 1045−1058.
    74. Izydorek M., Rybicki S. Bifurcations of bounded solutions of 1-parameter ODE’s. // J. Differ.Equat. 1996. — 130. — P. 267−276.
    75. J и P. Leung A. J. T. The simplest normal form of Hopf bifurcation // Nonlineavity. 2003. — 16. № 1. — P. 277−300.
    76. Krasnosel’skii A. M., Rachinskii D. I. Small periodic solutions generated by sublinear terms // J. Differ. Equat. — 2002. — 179. — P. 97−132.
    77. Krasnosel’skii A. M. Asimptotics of nonlinearities and operator equations. // Monography, series «Operator Theory», 76, Basel-Boston, Birkhauser, 1995, 1−278.
    78. Krasnosel’skii A. M., Rachinskii D. I. Hopf bifurcations from infinity, generated by bounded nonlinear terms. // Functional Differential Equa-tios. 1999. — № 6. — P. 357−374.
    79. Krasnosel’skii A. M., Rachinskii D. I., Schneider K. Hopf bifurcations in resonans 2:1. // Nonlinear Analysis. Theory, Methods Applications. —2003. 52. № 3. — P. 943−960.
    80. Krasnosel’skii A. M., Rachinskii D. I. Subharmonic bifurcation at infinity. // Journal of Differential Equations. — 2006. — 226. № 1. — P. 30−53.
    81. Kuznetsov Yu. A. Elements of Applied Bifurcation Theory. // Applied Mathematical Sciences (V. 112). Springer-Verlag, New-York etc. 1995.
    82. Liu Yirong, Huang Wentao A cubic system with twelve small amplitude limit cycles. // Bull. sci. math. — 2005. — 129. № 2. — P. 83−98.
    83. Liu Xingbo, Zhu Deming Bifurcation of resonant invariant torus in singular perturbation system. // Shuxue niankan. A=Chin. Ann. Math. A. —2004. 25. № 5. — P. 637−644.
    84. Liu Xingguo Limit cycles in a class of 2n + 1 order planar system. // Shuxue lilun yu yingyong=Math. Theor. and Appl. — 2004. — 24. № 3.- P. 94−96.
    85. Llibre Jaume, Pantazi Chara Counterexample to a conjecture on the algebraic limit cycles of polinomial vector fields. // Geom. dedic. — 2005.110. P. 213−219.
    86. Morassi P. Bifurcation of harmonic solution for periodically perturbed autonomous differential equations from a manifold of equilibria // Nonlinear Anal. Theory, Meth. and Appl. — 1998. — 32. № 2. — P. 145−161.
    87. Murray Russel H. Rotational analysis of phase plane curves: complex and pure imaginary eigenvalues. // Math, and Comput. Educ. — 2005. — 39. № 1. P. 63−68.
    88. Panazzolo D., Roussarie R. Bifurcations of cuspidal loops preserving nilpotent singularities. // Moscow Math. J. — 2005. — 5. № 1. — P. 207−244.
    89. Rachinskii D., Schneider K. Dynamic Hopf bifurcations generated by nonlinear terms. //J. Different. Equat. — 2005. — V. 210. — P. 65−86.
    90. Saha Tapan, Bandyopadhyay Malay Dynamical analysis of a plant-herbivore model: Bifurcation and global stability. //J. Appl. Math, and Comput. 2005. — 19. № 1. — P. 327−344.
    91. Shilnikov L. Bifurcations and strange attractors. // Proceedings of the International Congress of Mathematicans, Beijing, Aug. 20−28. — 2002.- Vol.3, Invited Lectures. Beijing: Higher Educ. Press. — 2002. — P. 349−372.
    92. Sparrow C. The Lorenz Equations: Bifurcations, Chaos, and Strange Attractors // Applied Mathematical Sciences (V. 41). Springer-Verlag, 1982.
    93. Suqie Jitsuro The global centre for the Lienard system // Nonlinear Analysis, Theory, Meth. and Appl. — 1991. — 17. № 4. — P. 333−345.
    94. Wu Cheng-qiang Limit cycles of a kind of predator-prey system with functional response. // Fuzhou daxue xuebao. Ziran kexue ban=J. Fuzhou Univ. Natur. Sci. Ed. 2004. — 32. № 4. — P. 410−412.
    95. Yumagulov M. G. Operator approach for the studi of periodic solutions to Lienard equation. // Adv. in Math. Sci. Appl., Gakkotosho, Tokyo. — 1997. Vol. 7. № 2. — P. 569−578.
    96. Yu Shu-Xiang. Bifurcations of bounded solutions of ordinary differential equations depending on a parameter // Rocky Mount. Y. Math. — 2004.- 34. № 3. P. 1191−1196.
    97. Zang Hong, Chen Wen-cheng, Zhang Tong-hua The Hopf bifurcation for a kind of Hamiltonian system. // Shandong keji daxue xuebao. Ziran kexue ban=J. Shandong Univ. Sci. and Technol. Natur. Sci. — 2003. — 22. № 2.- P. 24−26.
    98. Zhang Ruihai, Chen Haibo The existence and uniqueness of limit cycles for a class of cubic systems. // Shuxue lilun yu yingyong=Math. Theor. and Appl. 2004. — 24. № 3. — P. 32−35.
    Заполнить форму текущей работой

    Сессия? Спокойно!