Метод наименьших квадратов для однофакторной линейной регрессии
Уравнение вида Y = а + bx позволяет по заданным значениям фактора x иметь теоретические значения результативного признака, подставляя в него фактические значения фактора X. На графике теоретические значения представляют линию регрессии. Убыточность выращивания овощей в сельскохозяйственных предприятиях и уровни факторов (сбор овощей с 1 га, ц и затраты труда, человеко-часов на 1 ц… Читать ещё >
Метод наименьших квадратов для однофакторной линейной регрессии (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ
КАФЕДРА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
ПО ДИСЦИПЛИНЕ
«ЭКОНОМЕТРИКА»
Задания к контрольной работе:
1. Метод наименьших квадратов для однофакторной линейной регрессии
2. Найти коэффициент эластичности для указанной модели в заданной точке X. Сделать экономический анализ.
Модель: Y = (2/X) + 5; X = 0;
3. Убыточность выращивания овощей в сельскохозяйственных предприятиях и уровни факторов (сбор овощей с 1 га, ц и затраты труда, человеко-часов на 1 ц), ее формирующих, характеризуются следующими данными за год:
№ района | Фактор | Уровень убыточности, % | ||
Сбор овощей с 1 га, ц | Затраты труда, человеко-часов на 1 ц | |||
93,2 | 2,3 | 8,8 | ||
65,9 | 26,8 | 39,4 | ||
44,6 | 22,8 | 26,2 | ||
18,7 | 56,6 | 78,8 | ||
64,6 | 16,4 | |||
25,6 | 26,5 | 47,6 | ||
47,2 | 43,7 | |||
48,2 | 12,4 | 23,6 | ||
64,1 | 19,9 | |||
30,3 | 41,7 | |||
28,4 | 47,9 | 63,1 | ||
47,8 | 32,4 | 44,2 | ||
101,3 | 20,2 | 11,2 | ||
31,4 | 39,6 | 52,8 | ||
67,6 | 18,4 | 20,2 | ||
Нелинейную зависимость принять
1. Метод наименьших квадратов для однофакторной линейной регрессии
Линейная регрессия находит широкое применение в эконометрике в виде четкой эконометрической интерпретации ее параметров. Линейная регрессия сводится к нахождению уравнения вида:
Y = а + bx или Y = a + bx + ?;
Уравнение вида Y = а + bx позволяет по заданным значениям фактора x иметь теоретические значения результативного признака, подставляя в него фактические значения фактора X. На графике теоретические значения представляют линию регрессии.
Рисунок 1 — Графическая оценка параметров линейной регрессии Построение линейной регрессии сводится к оценке ее параметров — а и b. Оценки параметров линейной регрессии могут быть найдены разными методами. Можно обратится к полю корреляции и, выбрав на графике две точки, провести через них прямую линию. Далее по графику можно определить значения параметров. Параметр a определим как точку пересечения линии регрессии с осью OY, а параметр b оценим, исходя из угла наклона линии регрессии, как dy/dx, где dy — приращение результата y, а dx — приращение фактора x, т. е. Y = а + bx.
Классический подход к оцениванию параметров линейной регрессии основан на методе наименьших квадратов (МНК).
МНК позволяет получить такие оценки параметров a и b, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака (y) от расчетных (теоретических) минимальна:
?(Yi — Y xi)2 > min
Иными словами, из всего множества линий линия регрессии на графике выбирается так, чтобы сумма квадратов расстояний по вертикали между точками и этой линией была бы минимальной.
?i = Yi — Y xi.
следовательно ??i2 > min
Рисунок 2 — Линия регрессии с минимальной дисперсией остатков Чтобы найти минимум функции, надо вычислить частные производные по каждому из параметров a и b и приравнять их к нулю.
Обозначим ??i2 через S, тогда
S =? (YY xi)2 =?(Y-a-bx)2;
Дифференцируем данное выражение, решаем систему нормальных уравнений, получаем следующую формулу расчета оценки параметра b:
b = (ух — у*x)/(x2-x2).
Параметр b называется коэффициентом регрессии. Его величина показывает среднее изменение результата с изменением фактора на одну единицу. Например, если в функции издержек Y = 3000 + 2x (где x — количество единиц продукции, у — издержки, тыс. грн.) с увеличением объема продукции на 1 ед. издержки производства возрастают в среднем на 2 тыс. грн., т. е. дополнительный прирост продукции на ед. потребует увеличения затрат в среднем на 2 тыс. грн.
Возможность четкой экономической интерпретации коэффициента регрессии сделала линейное уравнение регрессии достаточно распространенным в эконометрических исследованиях.
2. Найти коэффициент эластичности для указанной модели в заданной точке X. Сделать экономический анализ.
Модель: Y = (2/X) + 5; X = 0;
Известно, что коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов изменится в среднем результат, если фактор изменится на 1%. Формула расчета коэффициента эластичности:
Э = f?(x) X/Y,
где f?(x) — первая производная, характеризующая соотношение прироста результата и фактора для соответствующей формы связи.
Y = (2/X) + 5,
f?(x) = -2/x2;
Следовательно получим следующее математическое выражение Э = =
При заданном значении X = 0 получим, что коэффициент эластичности равен Э = -1.
Допустим, что заданная функция Y = (2/X) + 5 определяет зависимость спроса от цены. В этом случае с ростом цены на 1% спрос снижается в среднем на 1%.
3. Убыточность выращивания овощей в сельскохозяйственных предприятиях и уровни факторов (сбор овощей с 1 га, ц и затраты труда, человеко-часов на 1 ц), ее формирующих, характеризуются следующими данными за год:
№ района | Фактор | Уровень убыточности, % | ||
Сбор овощей с 1 га, ц | Затраты труда, человеко-часов на 1 ц | |||
93,2 | 2,3 | 8,8 | ||
65,9 | 26,8 | 39,4 | ||
44,6 | 22,8 | 26,2 | ||
18,7 | 56,6 | 78,8 | ||
64,6 | 16,4 | |||
25,6 | 26,5 | 47,6 | ||
47,2 | 43,7 | |||
48,2 | 12,4 | 23,6 | ||
64,1 | 19,9 | |||
30,3 | 41,7 | |||
28,4 | 47,9 | 63,1 | ||
47,8 | 32,4 | 44,2 | ||
101,3 | 20,2 | 11,2 | ||
31,4 | 39,6 | 52,8 | ||
67,6 | 18,4 | 20,2 | ||
Нелинейную зависимость принять Задание № 1
Построим линейную зависимость показателя от первого фактора.
Обозначим: сбор овощей с 1 Га как X1, а уровень убыточности как Y.
Сбор овощей с 1 га, ц | Уровень убыточности, % | |
X1 | Y | |
93,2 | 8,8 | |
65,9 | 39,4 | |
44,6 | 26,2 | |
18,7 | 78,8 | |
64,6 | ||
25,6 | 47,6 | |
47,2 | 43,7 | |
48,2 | 23,6 | |
64,1 | 19,9 | |
30,3 | ||
28,4 | 63,1 | |
47,8 | 44,2 | |
101,3 | 11,2 | |
31,4 | 52,8 | |
67,6 | 20,2 | |
Найдем основные числовые характеристики.
1. Объем выборки n = 15 — суммарное число наблюдений.
2. Минимальное значение величины сбора овощей Х=18,7;
Максимальное значение сбора овощей Х=101,3;
Минимальное значение величины уровня убыточности Y=8,8;
Максимальное значение величины уровня убыточности Y=78,8;
3. Среднее значение:
X = ?xi.
Среднее значение величины сбора овощей X = 778,9/15 = 51,926.
Среднее значение величины уровня убыточности Y = 563,5/15 = 37,566.
4. Дисперсия
D (X) =? (Xi — X)2 = 588.35 D (Y) = ?(Yi — Y)2 = 385,57.
5. Среднеквадратическое отклонение:
?x=v588.35 = 24.25, значит среднее сбора овощей в среднем от среднего значения составляет 24,25%.
?y=v385.17 = 19.63, значит среднее уровня убыточности всей сельскохозяйственной продукции в среднем от среднего значения составляет 19,63%.
Для начала нужно определить, связаны ли X1 и Y между собой, и, если да, то определить формулу связи. По таблице строим корреляционное поле (диаграмму рассеивания). Точка с координатами (X, Y) = (51,926; 37,566) называется центром рассеяния. По виде корреляционного поля можно предположить, что зависимость между X1 и Y линейная (стр.). Для определения тесноты линейной связи найдем коэффициент корреляции:
?(Xi — X) (Yi — Y)
rxy = = 403.64 / 24.25×19,63 = 0,856;
Так как 0,6? rxy <0,9 то линейная связь между X1 и Y — достаточная. Попытаемся описать связь между X1 и Y зависимостью Y=b0+b1X. Параметры b0, b1 найдем по МНК.
b1 = rxy ?x ?y = -0,856×19,63. 24,25 = -0,696;
b0 = y — b1X = 37.566 + 0.696×51.92 = 73.70
Так как b1 < 0, то зависимость между X1 и Y обратная: с ростом сбора овощей уровень убыточности сельскохозяйственной продукции падает. Проверим значимость коэффициентов b0, b1.
Значимость коэффициентов b может быть проверена с помощью критерия Стьюдента:
tнабл = b0/?b0 = 73.70/6.53 = 11.28;
Значимость tнабл равна 0,7, т. е. 0,7%. Так как это значение меньше 5%, то коэффициент b0 статистически значим.
tнабл = b1/?b1 = -0,696/0,1146 = -6,0716;
Значимость tнабл равна 0,39, т. е. 0,0039%. Так как это значение меньше 5%, то коэффициент b1 статистически значим.
Получили модель связи сбора овощей и уровня убыточности сельскохозяйственной продукции:
Y = 73.70 — 0.6960X
После того, как была построена модель, необходимо проверить ее на адекватность.
Разброс данных, объясняемый регрессией SSR = ?(?-y)2 = 3990,5;
Остатки, необъясненный разброс SSЕ = ?(?-yi)2 = 1407,25;
Общий разброс данных SSY = ?(yi-y)2 = 5397,85;
Для анализа общего качества оценной линейной регрессии найдем коэффициент детерминации: R2 = SSR/SSY = 0.7192;
Разброс данных объясняется линейной моделью на 72% и на 28% - случайными ошибками.
Вывод: Качество модели хорошее Проверим с помощью критерия Фишера. Для проверки этой гипотезы сравниваются между собой величины:
MSR = SSR / K1 = 3990.5946/ K1 = 3990.5946. Отсюда K1 = 1.
MSE = SSE / K2 = 1407.25 / K2 = 108.25. Отсюда K2 = 13.
Находим наблюдаемое значение критерия Фишера Fнабл= MSR/MSE.
Значимость этого значения? = 0,4, т. е. процент ошибки равен 0,004%. Так как это значение меньше 5%, то найденная модель считается адекватной.
Найдем прогноз на основании линейной регрессии. Выберем произвольную точку из области прогноза [18.7; 101.3]. Допустим это точка X1 = 50.
Рассчитываем прогнозные значения по модели для всех точек выборки и для точки прогноза Y(х = 50) = 73.7085 — 0.6960×50 = 38.9.
Найдем полуширину доверительного интервала в каждой точке выборки Xпр
Отсюда получим, что? = 23,22.
В приведенной формуле:
?е = MSE = 108.25 = 10.40 — среднеквадратичное отклонение выборочных точек от линии регрессии.
ty = 2,16 — критическая точка распределения Стъюдента для надежности? = 0,95 и K2 = 13 при n = 15.
SX = ?(xi-x)2 или
SX = (n — 1) х D (X) = 14×588×39 = 8237,46;
Прогнозируемый доверительный интервал для любого X1 такой (? — ?;? + ?).
Совокупность доверительных интервалов для всех X1 из области прогнозов образует доверительную область, которая представляет область заключения между двумя гиперболами. Наиболее узкое место в точке X.
Прогноз для Х1 составит от 15,7 до 62,1 с гарантией 95%. То есть можно сказать, что при сборе овощей 50 центнеров с 1 га уровень убыточности сельскохозяйственной продукции можно спрогнозировать на уровне 15,7% - 62,1%.
Найдем эластичность Y = 73.70 — 0.6960X.
В нашем случае (для линейной модели) Ex = -0.6960X/(73.70 — 0.6960X).
В численном выражении это составит:
Eх=50 = -0,6960?50 / (73.70 — 0.6960?50) = - 0,8946;
Коэффициент эластичности показывает, что при изменении величины Х1 на 1% показатель Y уменьшается на 0,8946%.
Например, если Х1 = 50,5 (т.е. увеличился на 1%), то Y = 38.9 + 38.9?(-0,8 946) = 38,5 520 006.
Проверим и Yх =50,5 = 73.70 — 0.6960X = 73.70 — 0.6960? 50,50 = 38,552.
Задание № 2
Построим нелинейную зависимость показателя от второго фактора.
Обозначим: затраты труда, человеко-часов на 1 ц — X2, а уровень убыточности как Y.
Затраты труда, человеко-часов на 1 ц | Уровень убыточности | |
X2 | Y | |
2,3 | 8,8 | |
26,8 | 39,4 | |
22,8 | 26,2 | |
56,6 | 78,8 | |
16,4 | ||
26,5 | 47,6 | |
43,7 | ||
12,4 | 23,6 | |
19,9 | ||
41,7 | ||
47,9 | 63,1 | |
32,4 | 44,2 | |
20,2 | 11,2 | |
39,6 | 52,8 | |
18,4 | 20,2 | |
Найдем основные числовые характеристики.
6. Объем выборки n = 15 — суммарное число наблюдений.
7. Минимальное значение величины трудоемкости Х2=2,3;
Максимальное значение трудоемкости Х2=56,6;
Минимальное значение величины уровня убыточности Y=8,8;
Максимальное значение величины уровня убыточности Y=78,8;
8. Среднее значение:
X = ?xi.
Среднее значение величины трудоемкости X2 = 321,8/15 = 26,816.
Среднее значение величины уровня убыточности Y = 563,5/15 = 37,566.
9. Дисперсия
D (X) =? (Xi — X)2 = 254,66 D (Y) = ?(Yi — Y)2 = 385,56
10. Среднеквадратическое отклонение:
?x=v254,66 = 15,95 значит среднее трудоемкости в среднем от среднего значения составляет 15,95%.
?y=v385.17 = 19.63, значит среднее уровня убыточности всей сельскохозяйственной продукции в среднем от среднего значения составляет 19,63%.
Для начала нужно определить, связаны ли X1 и Y между собой, и, если да, то определить формулу связи. По таблице строим корреляционное поле (диаграмму рассеивания). Точка с координатами (X, Y) = (26,816; 37,566) называется центром рассеяния. По виде корреляционного поля можно предположить, что зависимость между X1 и Y нелинейная (стр.), а именно имеет зависимость .
Путем преобразования нелинейную зависимость приведем к линейной V = b0 + b1U.
Для начала заменим переменные U = x, а V = ln (Y).
Найдем конкретные значения V и U (стр.), затем строим корреляционное поле (стр.) и находим результаты регрессивной статистики.
Для определения тесноты линейной связи V = b0 + b1U найдем коэффициент корреляции:
?(Ui — U) (Vi — V)
rvu = = 403.64 / 24.25×19,63 = 0,856;
Так как 0,6? rxy <0,9 то линейная связь между X1 и Y — достаточная. Попытаемся описать связь между X1 и Y зависимостью Y=b0+b1X. Параметры b0, b1 найдем по МНК.
b1 = rvu ?v ?u = -0,856×19,63. 24,25 = -0,696;
b0 = y — b1X = 37.566 + 0.696×51.92 = 73.70
Так как b1 < 0, то зависимость между X1 и Y обратная: с ростом сбора овощей уровень убыточности сельскохозяйственной продукции падает. Проверим значимость коэффициентов b0, b1.
Значимость коэффициентов b может быть проверена с помощью критерия Стьюдента:
tнабл = b0/?b0 = 73.70/6.53 = 11.28;
Значимость tнабл равна 0,7, т. е. 0,7%. Так как это значение меньше 5%, то коэффициент b0 статистически значим.
tнабл = b1/?b1 = -0,696/0,1146 = -6,0716;
Значимость tнабл равна 0,39, т. е. 0,0039%. Так как это значение меньше 5%, то коэффициент b1 статистически значим.
Получили модель связи сбора овощей и уровня убыточности сельскохозяйственной продукции:
Y = 73.70 — 0.6960X
После того, как была построена модель, необходимо проверить ее на адекватность.
Разброс данных, объясняемый регрессией SSR = ?(?-y)2 = 3990,5;
Остатки, необъясненный разброс SSЕ = ?(?-yi)2 = 1407,25;
Общий разброс данных SSY = ?(yi-y)2 = 5397,85;
Для анализа общего качества оценной линейной регрессии найдем коэффициент детерминации: R2 = SSR/SSY = 0.7192;
Разброс данных объясняется линейной моделью на 72% и на 28% - случайными ошибками.
Вывод: Качество модели хорошее Проверим с помощью критерия Фишера. Для проверки этой гипотезы сравниваются между собой величины:
MSR = SSR / K1 = 3990.5946/ K1 = 3990.5946. Отсюда K1 = 1.
MSE = SSE / K2 = 1407.25 / K2 = 108.25. Отсюда K2 = 13.
Находим наблюдаемое значение критерия Фишера Fнабл= MSR/MSE.
Значимость этого значения? = 0,4, т. е. процент ошибки равен 0,004%. Так как это значение меньше 5%, то найденная модель считается адекватной.
Найдем прогноз на основании линейной регрессии. Выберем произвольную точку из области прогноза [18.7; 101.3]. Допустим это точка X1 = 50.
Рассчитываем прогнозные значения по модели для всех точек выборки и для точки прогноза Y(х = 50) = 73.7085 — 0.6960×50 = 38.9.
Найдем полуширину доверительного интервала в каждой точке выборки Xпр
Отсюда получим, что? = 23,20.
В приведенной формуле:
?е = MSE = 108.25 = 10.40 — среднеквадратичное отклонение выборочных точек от линии регрессии.
ty = 2,16 — критическая точка распределения Стъюдента для надежности? = 0,95 и K2 = 13 при n = 15.
SX = ?(xi-x)2 или
SX = (n — 1) х D (X) = 14×588×39 = 8237,46;
Прогнозируемый доверительный интервал для любого X1 такой (? — ?;? + ?).
Совокупность доверительных интервалов для всех X1 из области прогнозов образует доверительную область, которая представляет область заключения между двумя гиперболами. Наиболее узкое место в точке X.
Прогноз для Х1 составит от 15,7 до 62,1 с гарантией 95%. То есть можно сказать, что при сборе овощей 50 центнеров с 1 га уровень убыточности сельскохозяйственной продукции можно спрогнозировать на уровне 15,7% - 62,1%.
Найдем эластичность Y = 73.70 — 0.6960X.
В нашем случае (для линейной модели) Ex = -0.6960X/(73.70 — 0.6960X).
В численном выражении это составит:
Eх=50 = -0,6960?50 / (73.70 — 0.6960?50) = - 0,8946;
Коэффициент эластичности показывает, что при изменении величины Х1 на 1% показатель Y уменьшается на 0,8946%.
Например, если Х1 = 50,5 (т.е. увеличился на 1%), то Y = 38.9 + 38.9?(-0,8 946) = 38,5 520 006.
Проверим и Yх =50,5 = 73.70 — 0.6960X = 73.70 — 0.6960? 50,50 = 38,552.
Задание № 3
Сбор овощей с 1 га, ц | Затраты труда, человеко-часов на 1 ц | Уровень убыточности | |
X1 | X2 | Y | |
93,2 | 2,3 | 8,8 | |
65,9 | 26,8 | 39,4 | |
44,6 | 22,8 | 26,2 | |
18,7 | 56,6 | 78,8 | |
64,6 | 16,4 | ||
25,6 | 26,5 | 47,6 | |
47,2 | 43,7 | ||
48,2 | 12,4 | 23,6 | |
64,1 | 19,9 | ||
30,3 | 41,7 | ||
28,4 | 47,9 | 63,1 | |
47,8 | 32,4 | 44,2 | |
101,3 | 20,2 | 11,2 | |
31,4 | 39,6 | 52,8 | |
67,6 | 18,4 | 20,2 | |
Построим линейную зависимость показателя от двух факторов.
Обозначим: сбор овощей с 1 га как X1, затраты труда, человеко-часов на 1 ц — X2, а уровень убыточности как Y.
Найдем основные числовые характеристики.
1. Объем выборки n = 15 — суммарное число наблюдений
2. Минимальное значение величины сбора овощей Х1=18,7;
Максимальное значение сбора овощей Х1=101,3;
Минимальное значение величины трудоемкости Х2=2,3;
Максимальное значение трудоемкости Х2=56,6;
Минимальное значение величины уровня убыточности Y=8,8;
Максимальное значение величины уровня убыточности Y=78,8;
3. Среднее значение:
X = ?xi.
Среднее значение величины сбора овощей X = 778,9/15 = 51,926.
Среднее значение величины трудоемкости X2 = 321,8/15 = 26,816.
Среднее значение величины уровня убыточности Y = 563,5/15 = 37,566.
4. Дисперсия
D (X) =? (Xi — X)2 = 254,66 D (Y) = ?(Yi — Y)2 = 385,56
5. Среднеквадратическое отклонение:
?x=v254,66 = 15,95 значит среднее трудоемкости в среднем от среднего значения составляет 15,95%.
?y=v385.17 = 19.63, значит среднее уровня убыточности всей сельскохозяйственной продукции в среднем от среднего значения составляет 19,63%.
Для начала нужно определить, связаны ли X1 и Y между собой, и, если да, то определить формулу связи. По таблице строим корреляционное поле (диаграмму рассеивания). Точка с координатами (X, Y) = (26,816; 37,566) называется центром рассеяния. По виде корреляционного поля можно предположить, что зависимость между X1 и Y нелинейная (стр.), а именно имеет зависимость .
Путем преобразования нелинейную зависимость приведем к линейной V = b0 + b1U.
Для начала заменим переменные U = x, а V = ln (Y).
Найдем конкретные значения V и U (стр.), затем строим корреляционное поле (стр.) и находим результаты регрессивной статистики.
Для определения тесноты линейной связи V = b0 + b1U найдем коэффициент корреляции:
?(Ui — U) (Vi — V)
rvu = = 403.64 / 24.25×19,63 = 0,856;
Так как 0,6? rxy <0,9 то линейная связь между X1 и Y — достаточная. Попытаемся описать связь между X1 и Y зависимостью Y=b0+b1X. Параметры b0, b1 найдем по МНК.
и1 = кчн ?н. ?ч = -0,856×19,63. 24,25 = -0,696;
b0 = y — b1X = 37.566 + 0.696×51.92 = 73.70
Так как b1 < 0, то зависимость между X1 и Y обратная: с ростом сбора овощей уровень убыточности сельскохозяйственной продукции падает. Проверим значимость коэффициентов b0, b1.
Значимость коэффициентов b может быть проверена с помощью критерия Стьюдента:
tнабл = b0/?b0 = 73.70/6.53 = 11.28;
tнабл = b1/?b1 = -0,696/0,1146 = -6,0716;
Значимость tнабл равна 0,39, т. е. 0,0039%. Так как это значение меньше 5%, то коэффициент b1 статистически значим.
Получили модель связи сбора овощей и уровня убыточности сельскохозяйственной продукции:
Y = 73.70 — 0.6960X
После того, как была построена модель, необходимо проверить ее на адекватность.
Разброс данных, объясняемый регрессией SSR = ?(?-y)2 = 3990,5;
Остатки, необъясненный разброс SSЕ = ?(?-yi)2 = 1407,25;
Общий разброс данных SSY = ?(yi-y)2 = 5397,85;
Для анализа общего качества оценной линейной регрессии найдем коэффициент детерминации: R2 = SSR/SSY = 0.7192;
Разброс данных объясняется линейной моделью на 72% и на 28% - случайными ошибками.
Вывод: Качество модели хорошее Проверим с помощью критерия Фишера. Для проверки этой гипотезы сравниваются между собой величины:
MSR = SSR / K1 = 3990.5946/ K1 = 3990.5946. Отсюда K1 = 1.
MSE = SSE / K2 = 1407.25 / K2 = 108.25. Отсюда K2 = 13.
Находим наблюдаемое значение критерия Фишера Fнабл= MSR/MSE.
Значимость этого значения? = 0,4, т. е. процент ошибки равен 0,004%. Так как это значение меньше 5%, то найденная модель считается адекватной.
Найдем прогноз на основании линейной регрессии. Выберем произвольную точку из области прогноза [18.7; 101.3]. Допустим это точка X1 = 50.
Рассчитываем прогнозные значения по модели для всех точек выборки и для точки прогноза Y(х = 50) = 73.7085 — 0.6960×50 = 38.9.
Найдем полуширину доверительного интервала в каждой точке выборки Xпр
? = ?е ty 1 + + = 10.4? 2.016 1 + +
Отсюда получим, что? = 23,20.
В приведенной формуле:
?е = MSE = 108.25 = 10.40 — среднеквадратичное отклонение выборочных точек от линии регрессии.
ty = 2,16 — критическая точка распределения Стъюдента для надежности? = 0,95 и K2 = 13 при n = 15.
SX = ?(xi-x)2 или
SX = (n — 1) х D (X) = 14×588×39 = 8237,46;
Прогнозируемый доверительный интервал для любого X1 такой (? — ?;? + ?).
Совокупность доверительных интервалов для всех X1 из области прогнозов образует доверительную область, которая представляет область заключения между двумя гиперболами. Наиболее узкое место в точке X.
Прогноз для Х1 составит от 15,7 до 62,1 с гарантией 95%. То есть можно сказать, что при сборе овощей 50 центнеров с 1 га уровень убыточности сельскохозяйственной продукции можно спрогнозировать на уровне 15,7% - 62,1%.
Найдем эластичность Y = 73.70 — 0.6960X.
В нашем случае (для линейной модели) Ex = -0.6960X/(73.70 — 0.6960X).
В численном выражении это составит:
Eх=50 = -0,6960?50 / (73.70 — 0.6960?50) = - 0,8946;
Коэффициент эластичности показывает, что при изменении величины Х1 на 1% показатель Y уменьшается на 0,8946%.
Например, если Х1 = 50,5 (т.е. увеличился на 1%), то Y = 38.9 + 38.9?(-0,8 946) = 38,5 520 006.
Проверим и Yх =50,5 = 73.70 — 0.6960X = 73.70 — 0.6960? 50,50 = 38,552.