Теория барометрического высотомера

Барометрический метод измерения высоты полета базируется на зависимости абсолютного давления р от высоты Н, т. е. р=f1(Н). При выводе градуировочных формул высотомера нам понадобятся также зависимости весовой плотности г и абсолютной температуры Т от высоты Н, т. е. г=f2(Н) и Т=f3(Н). На рис. 13.2 даны зависимости р=f1(Н), г=f2(Н), Т=f3(Н) по стандартной атмосфере (сплошные кривые). Эти зависимости являются статистическими, а не функциональными. Дело в том, что давление, плотность и температура воздуха на одной и той же высоте не остаются постоянными, а испытывают значительные случайные вариации, зависящие от времени суток и года, облачности, солнечной активности и т. д. На том же рисунке пунктиром указаны вариации величин р, г и Т, которые могут быть значительными. Так, например, среднеквадратичные значения вариации давления на средних высотах достигают 3−4%, что соответствует погрешностям в измерении высоты порядка 200—300 м.

На величины р, г и Т, даваемые в таблицах стандартной атмосферы, следует смотреть как на математические ожидания Рн=М{ f1(Н)}, г=М{f2(Н)} и Тн=М{f3(Н)}.

Следует указать, что изобары (поверхности равных давлений) в первом приближении эквидистанты не рельефу земной поверхности (возвышения, горы, впадины), а воображаемом шаровой поверхности, образованной уровнем мирового океана даже вблизи поверхности земли и изобары не коррелированны с рельефом местности. Это обстоятельство указывает на своеобразие барометрического метода измерения на возможность измерения только абсолютной и относительной высот.

Для вывода зависимости между параметрами атмосферы и высотой Н рассмотрим цилиндрический столбик воздуха площадью 5 на высоте Н (рис.2). Из условия равновесия сил, действующих на столбик, находим.

или (1).

Если воспользоваться уравнением состояния.

(2).

Рис2 К выводу гипсометрической формул

Рис. 3. Зависимость p=f1(H);

г=f2(H); T=f3(H).

где R — газовая постоянная, то получим вместо (1).

(3).

Установлено, что средняя температура в атмосфере до высоты 11 км является линейной функцией высоты вида.

(4).

где Т0 — средняя абсолютная температура на уровне моря, равная 288°K.

град км-1-температурный градиент.

Температура Т на высоте 11 км равна 216,5° К (-56,5°С). .На высотах от 11 до 33 км средняя температура остается неизменной. Учитывая это, можем написать общее выражение для средней температуры Т (математического ожидания):

(5).

Подставим значения Т из (4) в (3) интегрируя его, получим.

(6).

где р0 — 760 мл. рт. ст.- среднее давление на уровни моря.

Формула (6) называется барометрической. Если решить зависимость (13.6) относительно Н, то получим формулу, называемою гипсометрической:

(7).

Формулы (6) и (7) справедливы до высоты 11 км. На больших высотах в уравнение (13.3) вместо температуры Тн необходимо подставить Т11 = 216,50 К. Выполнив это и проинтегрировав полученное выполнение найдём.

(8).

где р11−169,58 мл рт. ст. — среднее давление на высоте 11 км.

Если решить уравнение (8) относительно Н, то получим гипсометрическую формулу для высоты Н>11км:

где.

Не редко в место барометрических формул (6) и (8) используются приближенные формулы Лапласа, в которых температура Тн=f3(Н) заменяется средней температурой столба воздуха на высоте полёта (до Н=11км) Тн и у земли Т0 т. е.

(10).

Для высот Н>11км средняя температура будет.

(11).

Представляя значения Тср из (10) и (11) в уравнение (3), получим после интегрирования барометрические формулы Лапласа:

(12).

(13).

Если выражения (11) и (13) решить относительно Н, то получим гипсометрические формулы Лапласа.

(14).

(15).

причём в последнем выражении высота выражена неявной.

Расчёты показывают, что разность значений высот, вычисленным по стандартным барометрическим формулам и формулам Лапласа, не превышает 1%.