Интегрирование подстановкой. 
Математический анализ

Если заданный интеграл с помощью алгебраических преобразований трудно или невозможно свести к одному или нескольким табличным интегралам, то для его отыскания применяют особые способы, одним из которых является способ подстановки (замены переменной).

Способ подстановки заключается в следующем: новой переменной заменяют такую часть подынтегральной функции, при дифференцировании которой получается оставшаяся часть подынтегрального выражения (не считая постоянного множителя, который всегда можно вынести за интеграл).

Выбор удачной формулы (подстановки) для замены переменной имеет большое значение. Вместе с тем дать одно общее правило для выбора хорошей подстановки невозможно. Однако можно посоветовать в качестве потенциальной подстановки рассматривать наиболее сложную часть подынтегральной функции.

Пример 1: Найти интеграл.

Решение:

Полагаем; дифференцируя обе части, получаем. Далее подставляем эти выражения в исходный интеграл и возвращаемся к заданной переменной x.

Пример 2: Найти интеграл Решение:

Пример 3: Найти интеграл Решение:

Пример 4: Найти интеграл Решение:

Пример 5: Найти интеграл Решение: