Формирование сигнала в измерительной катушке

Решение прямой задачи индукционных методов состоит в получении зависимости измеряемой эдс электромагнитного поля от электропроводности среды, ее геометрии и параметров зонда. Приближенная теория низкочастотного индукционного метода впервые была разработана Х-Г. Доллем в 1949 г. затем получила развитие в работах С. М. Аксельрода, Ю. Н. Антонова и других исследователей. В основе приближенной теории Долля лежат два допущения: 1) все индуцированные в окружающей среде вихревые токи имеют одну и ту же фазу, сдвинутую относительно фазы тока в генераторной катушке на 90°; это означает, что взаимодействие вихревых токов отсутствует, т. е. при решении прямой задачи явление скин — эффекта не принимается во внимание; 2) амплитуда плотности тока в любой точке среды рассчитывается, но упрощенной формуле и определяется только пространственным фактором и удельной электропроводностью участка среды. Эти допущения справедливы лишь тогда, когда частота тока питания и электропроводность среды сравнительно невелики. При высокой частоте тока или большой электропроводности пород явление скин-эффекта существенно изменяет характер распространения электромагнитного поля, н в этом случае при решении прямой задачи необходимо использовать строгую теорию.

Приближенная теория низкочастотных индукционных методов позволяет сравнительно просто установить зависимость эффективной удельной электропроводности изучаемого пространства от электропроводности отдельных сред, их размеров и положения относительно индукционного зонда, а также наглядно представить физическую сущность этого метода. С помощью приближенной теории можно путем элементарных расчетов решить прямую задачу описываемых методов для плоских и цилиндрических поверхностей раздела между средами. Формулы, полученные на основании этой теории, следует рассматривать как асимптотические, справедливые при электромагнитных волнах, очень длинных по сравнению с радиусом скважины, мощностью пласта и диаметром зоны проникновения фильтрата промывочной жидкости.

Итак, имеем однородную изотропную среду удельной электропроводности а, абсолютной диэлектрической проницаемости у и магнитной проницаемости. На оси скважины расположен двухкатушечный индукционный зонд. Диаметр скважины. Центры генераторной и измерительной катушек расположены на обшей оси на расстоянии одна от другой. Ось генераторной катушки совпадает с осью скважины. Генераторная и измерительная катушки имеют соответственно высоты и, число витков и, радиусы которых и; плошали каждого витка.

.

;

общие плошали витков.

и.

Условимся считать, что размеры катушек значительно меньше расстояния. Это допущение позволяет рассматривать катушки как точечные. Генераторную катушку можно заменить для упрощения расчетов магнитным диполем с переменным моментом. Генераторная катушка питается переменным током с амплитудой мгновенное значение которого.

(1).

где ф — время;

— угловая частота; — циклическая частота.

Упомянутый выше магнитный диполь, ось которого совпадает с осью генераторной катушки, создаст в окружающем пространстве электромагнитное поле. Необходимо определить величину эдс, которая наводится вихревыми токами в изучаемой среде, и установить связь между наведенной эдс и удельной электропроводностью однородной среды, частотой поля и параметрами зонда. Для решения задачи введем цилиндрическую систему координат, начало которой расположим в точке О, являющейся серединой расстояния между центрами генераторной и измерительной катушек. Разобьем все изучаемое пространство на элементарные тороиды. представляющие собой участки породы с горизонтальными поверхностями. Единичный тороид — это горизонтальное кольцо радиуса с центром на оси скважины. Он назван X. Г. Доллем элементарным кольцом.

С учетом (1) магнитный момент магнитного диполя.

(2).

Магнитный диполь создаст в окружающем пространстве магнитное поле напряженностью.

(3).

Где.

— расстояние от центра генераторной катушки до рассматриваемой точки среды.

Как известно, величина магнитного потока, пронизывающего замкнутую поверхность.

(4).

Где.

— вектор магнитной индукции;

ц — угол между нормалью к элементарной площадке и силовыми линиями магнитного ноля;

ds — площадь сечения элементарной площадки.

Для элементарного кольца с радиусом, площадь которого магнитные силовые линии пересекают под углом 90(ц = 0), формула (4) имеет вид.

(5).

Подставив (3) в (5) и проведя интегрирование, получим.

(6).

Изменение магнитного потока Ф во времени создает эдс. электромагнитной индукции е в элементарном кольце.

Согласно закону электромагнитной индукции Фарадея величина.

(7).

Знак минус в формуле (7) соответствует закону Ленца, согласно которому индукционный ток, взаимодействуя с магнитным полем, вызывает силу,.

направленную противоположно действию магнитного диполя.

Взяв производную в соответствии с (6) от (7), имеем.

(8).

Под действием этой эдс в единичном элементарном кольце возникает вихревой ток силой.

(9).

Ток создает в окружающем пространстве магнитное поле. Напряженность этого поля равна.

(10).

Величина вторичного магнитного потока, пронизывающего витки измерительной катушки, равна.

(11).

Подставив в (11) выражение (10), получим.

(12).

Окончательная формула для э.д.с. в измерительной катушке с учетом (12) равна.

(13).

Одновременно с эдс изучаемой среды в измерительной катушке генерируется эдс прямого поля генераторной катушки. Поскольку величина эдс прямого поля не связана с параметрами среды, то она исключается с помощью специального устройства.

Представим выражение для е' в следующем виде:

— коэффициент индукционного зонда;

— пространственный (геометрический) фактор элементарного кольца.