Об одном методе решения задачи безударного сильного сжатия одномерных слоёв газа в конфигурации Р. Мизеса

Математическое описание процесса безударного изоэнтропического сжатия идеального газа до любого наперед заданного значения плотности, в том числе до бесконечной плотности (подробную библиографию см. в [1]) представляет интерес в связи с проблемой лазерного термоядерного синтеза [2,3]. В случае плоскосимметричных течений (н = 0) простая центрированная волна Римана описывает сжатие плоского слоя газа в конечный момент времени t=t_* до бесконечной плотности [4]. Состыковка центрированной волны Римана с однородным потоком газа дает решение задачи о получении в сжатом плоском слое любого конечного значения плотности [5]. Результаты расчетов центрированной волны Римана с использованием одной разностной методики, хорошо себя зарекомендовавшей на протяжении тридцати лет при решении широкого класса прикладных задач приведены в [6]. Здесь максимально достигнутое значение плотности в 3· 10⁴ раз превышает исходную плотность. При этом среднее значение плотности в центрированной волне равно 8· 10³.

Математическая теория безударного сильного сжатия идеального газа разработанав [1]. В частности, для случая сжатия цилиндрически н = 1 и сферически н = 2 симметричных слоев политропного газа с показателем г > 1 доказано, что непрерывная состыковка двух течений дает решение задачи о безударном сильном сжатии до любой наперед заданной плотности.

Первое из этих двух течений является обобщением центрированной волны Римана. Не только доказано существование этого течения, но и приведен бесконечный сходящийся ряд, описывающий его. Проанализирована структура коэффициентов ряда, что позволило получить, обосновать и уточнить асимптотические законы движения сжимающего поршня, а также строго описать особенность течения в момент сильного сжатия [1, 7].

Второе из течений является решением задачи о получении наперед заданных распределений газодинамических параметров [1, 8]. Это течение через звуковую характеристику примыкает к обобщению центрированной волны Римана и особенностей не имеет. При этом в качестве наперед заданного распределения можно произвольно задавать либо плотность, либо скорость газа. Второй из этих газодинамических параметров в момент сильного сжатия и все течение до момента сжатия определяются однозначно, как решение характеристической задачи Коши стандартного вида [1, 8]. Доказанные в [1] теоремы утверждают, что существуют цилиндрические и сферические слои с ненулевой массой газа, которые можно безударно сжать до любой плотности. Однако эти теоремы не позволяют определить ширину исходных слоев, то есть массу сжимаемого газа, которую при фиксированных н, г можно безударно сжать до заданной плотностис_*.

Алгоритм расчета безударного сильного сжатия одномерных слоев первоначально однородного и покоящегося газа с с₀ = 1 до любой наперед заданной конечной постоянной плотности с_* > 1 предложен в работе [9]. Цель настоящей работы — проверка работоспособности предложенного в [9] алгоритма и его применение для задачи сжатия слоя изнутри.

В работе кратко описан алгоритм расчета безударного сильного сжатия изнутри одномерных слоев первоначально однородного и покоящегося газа в диапазоне от с₀ = 1 до любой наперед заданной конечной плотности с_* > 1. Приводится алгоритм расчёта траектории сжимающего поршня, тестовые расчёты для плоского случая н = 0, а также некоторые результаты расчётов сжатия цилиндрических (н = 1) и сферических (н = 2) слоёв фиксированной массы до наперёд заданного конечного значения плотности.

Математическая постановка одномерной задачи безударного сильного сжатия газовых слоёв. Далее рассматриваются только одномерные симметричные изоэнтропические (s=1) течения политропного газа. Такие течения являются решениями системы уравнений [1]:

Здесь у=с^(г-1)/2 — скорость звука в газе; с — плотность; г — константа в уравнении состояния p=с^г/г, г > 1, p — давление; =(у,u) — искомые функции. Значения н = 0,1,2 соответствуют случаям плоской, цилиндрической и сферической видам симметрии.

В случае н = 0 в системе (1) r=x_1, u=v₁ , — проекция вектора на ось Ox₁

В случае н = 1,2.

а скорость газа u есть проекция вектора на радиус-вектор в плоскости x₁Ox₂ при н=1 или на радиус-вектор в пространстве переменных x₁, x₂, x₃, при н=2 соответственно.

Далее рассматривается сжатие газового слоя изнутри. Пусть в некоторой окрестности точки (t=t_*, r=r_*) при r_* > 0 задано какое-либо фоновое течение.

где компоненты вектора — аналитические функции у⁰(t, r), u⁰(t, r) являются решением системы (1). На рис. 1 в области 0 находится фоновое течение, а в области 1 требуется построить искомое течение с наперед заданным распределением одного из газодинамических параметров, которое будет сопряжено с фоновым течением через слабый разрыв.

Слабым разрывом будет являться звуковаяхарактеристика, однозначно определяющаяся при решении задачи Коши:

Из аналитичности фонового течения следует существование и единственность решения данной задачи — аналитической функции r=r_oo(t), описывающей закон движения характеристики С⁺. Далее везде считается, что функция r=r_oo(t) известна и, следовательно, известны значения газодинамических параметров фонового течения на этой — характеристике:

т.е.

Рассмотрим случай, когда звуковая характеристика разделяет однородный покой и искомое течение:

С⁺: r =(t — t_*)+r_*

на которой и Область определения искомого течения ограничена прямой t = t_* и звуковой характеристикой фонового течения. Эта область состоит из двух частей: нижнего треугольника (цифра 1 на рис. 2) — области определения обобщения центрированной волны Римана и верхнего треугольника (цифра 2 на рис.2) — области определения течения, имеющего в момент t = t_* наперед заданное распределение у =у^*(r), например, постоянное: у^*(r) = у^*const. Требуется найти закон движения поршня, безударно сжимающего однородный покоящийся газ с плотностью с = 1 до плотности с = с (t_*, r) = с_* = const, постоянной в сжатом слое шириной (рис. 2). Эта траектория определяется как решение следующей задачи Коши:

В (3) в правой части дифференциального уравнения стоит функция u(t, r), определяющаяся при решении системы (1).

Теоремы, доказанные в [1], утверждают, что существует ненулевая масса газа m₀, расположенная в области между траекторией движения поршня r = r_p(t) и прямой r = r_*, которую можно безударно сжать до любой наперед заданной плотности с_*(r). Но эти теоремы не определяют максимально возможное значение, а следовательно, и максимальную ширину слоя d_* (рис. 2).

безударный изоэнтропический газ сжатие.

Алгоритм численного решения задачи сильного сжатия газа в одномерном изоэнтропического случае методом характеристик. Приведём далее алгоритм, основанный на стандартном методе характеристик c пересчётом [10], и ранее изложенный в [1,10]. Остановимся на отдельных моментах этого алгоритма, необходимых для программной реализации.

1. Система (1) сводится к системе двух обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) с помощью введения инвариантов Римана.

и производных вдоль характеристик.

К системе присоединяются дифференциальные уравнения для характеристики C^±:

учитываются также начальные условия (2) и краевое условие.

Система (4) решается отдельно в областях 1 и 2.

Алгоритм построения численного решения в области 1. Расчет сетки в нижнем треугольнике и вычисление значений параметров газа в ее узлах также происходят в обратном направлении изменения времени.

1) В точке (r_*, t_*) интервал [1, у_*] изменения у разбивается на N промежутков; здесь. Для каждого значения i=0,1,…, N используя формулу обобщённой ЦВ Римана [1]:

при t = t_* получаем значения скорости u_i.

• 2) Из точки (r_*, t_*) выпускаются N штук C⁺-характеристик.
• 3) Задаем число шагов по времени M, таким образом определяется шаг по времени Дt = t_*/M.

• 4) Делается шаг Дt в обратном направлении изменения времени вдоль характеристики Из точки на этой характеристике, соответствующей моменту времени t_* — j· Дt, выпускаетсяхарактеристика до пересечения с линией Здесь и далее j = 0,1,…, N — номер шага по времени.
• 5) Используя разностные аналоги уравнений (4) и значения газодинамических параметров в начальных точках соответствующих характеристик, получаем газодинамические параметры в точке пересечения.

6) Повторяем процедуру, выпускаяхарактеристику из полученной точки пересечения (рис. 3). После того как найдена точка пересечения с характеристикой переходим к пункту D, делая новый шаг по времени. Если достигнуто значение t=0, значит, решение в области 1 построено.

Алгоритм построения решения в области 2. Расчет сетки в верхнем треугольнике тоже ведется в обратном направлении изменения времени.

— характеристика области 2 совпадает схарактеристикой области 1. Берём первую (вторую и последующие будем обозначать буквой j) точку и выпускаем характеристику до пересечения с линией t = t_*. На этой прямой известно только значение у = у_*, поэтому значение инварианта R вычисляется через значения L и у_*

2) Из полученной на прямой t = t_* точки пересечения выпускаемхарактеристику. Этот шаг выполняется всякий раз как только найдено пересечение очередной характеристики с прямой t = t_*. Номер текущей C⁺-характеристики будет обозначен далее буквой i.

• 3) Из следующей (j+1)-й по порядку точкихарактеристики выпускаем характеристику до пересечения схарактеристикой.
• 4) Используя разностные аналоги уравнений (4) и значения газодинамических параметров в начальных точках соответствующих характеристик, получаем газодинамические параметры в точке пересечения.

Рис. 4.

• 5) Повторяем процедуру, выпускаяхарактеристику из полученной точки пересечения (рис. 4). После того, как найдена точка пересечения с прямой t = t_*, переходим к пункту 2.
• 6) Повторяем пункты 2−6 до тех пор, пока не дошли до последней точки характеристики.

Алгоритм построения траектории сжимающего поршня. Построение траектории движения поршня, так же, как и построение характеристической сетки, происходит в обратном направлении изменения времени, т. е. при t? t_*.

1) Траектория движения строится исходящей из точки (t = t_*, r = r_*— d_*), где d_* определяет ширину уже сжатого слоя газа. Из этой точки выпускаем прямую, определяемую разностным аналогом задачи Коши (3).

2) Находим точку пересечения этой прямой с одной из линий характеристической сетки, построенной в соответствии с вышеописанными алгоритмами. В найденной точке пересечения скорость газа u находится линейной интерполяцией по значениям в ближайших узлах. Пусть найденная точка пересечения имеет координаты Выпускаем из нее прямую, определяемую разностным аналогом задачи Коши.

до пересечения этой прямой со следующей линией построенной характеристической сетки.

• 4) Продолжаем вычисления по этому алгоритму до тех пор, пока либо траектория поршня не пересечёт характеристику нижнего треугольника, либо не выйдет за пределы области в которой существует решение.
• 5) В последнем случае следует уменьшить ширину сжатого слоя d_* и вернуться к началу алгоритма.

Примеры расчётов:

Одним из поводов для этой работы стала все возрастающая вычислительная мощность компьютеров. Изложенные выше алгоритмы реализованы в виде программы для PC на языке С++. Далее приводятся результаты на более подробных сетках, чем использованы в работе [11].

Для проверки работоспособности программ посчитаны задачи сильного сжатия для случая плоской симметрии, когда известно точное решение [4,5]. Рассчитанные поля совпали с ним с точностью, близкой к машинному нулю. На рис. 5 приведен пример рассчитанной характеристической сетки и траектории поршня. По оси абсцисс отложена координата r траектории частицы газа, полученная в процессе решения, по оси ординат — время t. Выделенная прямая в верхней части рисунка — характеристика верхнего треугольника, которая пересекает траекторию поршня в момент времени (t_* — 0.0001).

Результаты сравнения численно построенных решений с точным решением для случая плоской симметрии (н = 0) — результаты сравнения четырёх численных решений с точным — представлены в таблице 1. Варьировались следующие параметры: г — показатель политропы идеального газа, d_*, с_max— ширина сжимаемого слоя и максимальная плотность слоя газа. Посчитаны и приведены в таблице нормы разности чиленнополученных и точных значений скорости звука и скорости газа. Используются обозначения: c_ex, c_num, u_ex, u_num— точное (exact) и численное (numerical) значения скорости звука и скорости газа, — норма.

Таблица 1. Нормы разностей численного и точного решений.

г	d*	сmax	||cex — cnum||C	||uex — unum||C
1.4.			1.66 355 818 · 10−12.	8.37 019 342 · 10−12.
1.4.			2.25 801 919 · 10−11.	1.12 819 975 · 10−10.
5/3.			4.13 891 143 · 10−13.	1.24 167 343 · 10−12.
5/3.			1,81 159 976· 10-10	5.43 906 253 · 10−10.

Построенная численно траектория сжимающего поршня тоже удовлетворительно согласуется с точным решением [1]. Поточечная норма разности убывает обратно пропорционально возрастанию числа точек в расчете. В таблице 2 приведены нормы ошибки при сгущении сетки для случая г=1.4, d_*=10; с_max=10⁴.

Таблица 2. Норма погрешности при расчёте траектории поршня.

NM	||rex — rnum||C
	4.41 841 714 · 10−3.
	1.9 307 290 · 10−3.
	2.71 721 107 · 10−4.
	6.78 031 476 · 10−5.

Основываясь на данных из таблиц 1 и 2, можно сделать вывод об адекватном описании предложенным алгоритмом решения задачи о сильном сжатии одномерного газового слоя в случае плоской симметрии.

Далее приводятся результаты численных экспериментов в случаев н = 1, 2, для которых не существует точного решения в аналитическом виде.

В качестве критерия точности полученного решения задачи мы вслед за авторами [1,4] выбрали: масса несжатого слоя шириной d₀ равна массе сжатого слоя шириной d_*, т. е. проверялось равенство масс в начальный и конечный моменты сжатия газа.

Такая поверка выполнялась и в промежуточные моменты сжатия. В таблице 3 приведены варианты расчётов, в которых различие масс Дm сжатого и несжатого газа колеблется 0.02 до 0.85%. Точность можно повышать, уменьшая Дt, увеличивая пдробность сетки и уменьшая временной шаг.

Таблица 3. Результаты численных экспериментов.

н.	г.	t*	m*	сmax	NM	%.
	1.4.	10.1 166.		104		0.117.
	1.4.	1.4 242.		104		0.131.
	1.4.	0.44 934.		104		0.132.
	5/3.	10.4 016.		104		0.402.
	5/3.	1.3 799.		104		0.502.
	5/3.	0.45 187.		104		0.516.
	1.4.	100.0202.		105		0.02.
	1.4.	4.4574.		105		0.103.
	1.4.	1.5411.		105		0.092.
	5/3.	100.1122.		105		0.112.
	5/3.	4.5588.		105		0.844.
	5/3.	1.5656.		105		0.735.

По представленным результатам можно сделать вывод, что алгоритм решения задачи сильного сжатия строит решение и адекватно описывает процесс сжатия. Время счёта не превышает нескольких минут.

Автор выражает своему научному руководителю С. П. Баутину, д-ру физ.-мат. наук, профессору признательность за внимание, помощь и поддержку.

• 1. Баутин С. П. Математическое моделирование сильного сжатия газа. Новосибирск. Наука, 2007. 308 c.
• 2. Накколс Дж. Г. Осуществимость инерциально-термоядерного синтеза // Успехи физических наук. 1984. Т. 143. № 3. С. 467−482.
• 3. Забабахин Е. И., Забабахин И. Е. Явления неограниченной кумуляции. М. Наука, 1988. 173 c.
• 4. Станюкович К. П. Неустановившиеся движения сплошной среды. М.:Гос. изд-во техн.-теоp. лит-pы, 1955. 804 c.
• 5. Мизес Р. Математическая теория течений сжимаемой жидкости. М.:Издательство иностранной литературы, 1961. 588 с.
• 6. Анучин М. Г. Влияние теплопроводности на неограниченное безударное сжатие плоского газового слоя // ПМТФ. 1998. Т. 39. № 4. С. 25−32.
• 7. Баутин С. П. Асимптотические законы безударного сильного сжатия квазиодномерных слоев газа // Прикладная математика и механика. 1999. 63. Вып. 3. С. 415−423.
• 8. Баутин С. П. Характеристическая задача Коши и ее приложения в газовой динамике. Новосибирск, Наука, 2009. 367 с.
• 9. Рождественский Б. Л., Яненко Н. Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. М.: Наука, 1968. 529 с.
• 10. Баутин С. П., Николаев Ю. В. Об одном методе расчёта безударного сильного сжатия одномерных слоёв газа // Вычислительные технологии. 2000. Том 5. № 4. С 3−12. ISSN 1560−7534
• 11. Николаев Ю. В. О численном решении задачи безударного сильного сжатия одномерных слоёв газа // Вычислительные технологии. 2001. Том 6. № 2. С. 104−108. ISSN 1560−7534