Введение. 
Виды законов распределения

Отказы в системах возникают под воздействием разнообразных факторов. Поскольку каждый фактор в свою очередь зависит от многих причин, то отказы элементов, входящих в состав системы, относятся, как правило, к случайным событиям, а время работы до возникновения отказов — к случайным величинам. В инженерной практике возможны и не случайные (детерминированные) отказы (отказы, возникновение которых происходит в определенный момент времени, т. е. в момент возникновения причины, так как существует однозначная и определенная связь между причиной отказа и моментом его возникновения). Например, если в цепи аппаратов ошибочно поставлен элемент, не способный работать при пиковой нагрузке, то всякий раз когда возникает эта нагрузка, он обязательно перейдет в отказовое состояние. Такие отказы выявляются и устраняются в процессе проверки технической документации и испытаний.

При анализе надежности объектом исследования являются случайные события и величины. В качестве теоретических распределений наработки до отказа могут быть использованы любые применяемые в теории вероятностей непрерывные распределения. В принципе можно взять любую кривую, площадь под которой равна единице, и использовать ее в качестве кривой распределения случайной величины. Поэтому прежде чем приступить к инженерным методам расчета надежности и испытаний на надежность, следует рассмотреть закономерности, которым они подчиняются.

Случайное событие — событие (факт, явление), которое в результате опыта может произойти или не произойти. Случайные события (отказы, восстановления, заявки на обслуживание и др.) образуют случайные потоки и случайные процессы.

Поток событий — последовательность событий, происходящих одно за другим в какие-то отрезки времени. Например, отказы восстанавливаемого устройства образуют поток событий (поток отказов). Под действием потока отказов и потока восстановлений техническое устройство может находиться в различных состояниях (полного отказа, частичного отказа, работоспособное). Переход изделия из одного состояния в другое представляет собой случайный процесс.

Случайная величина — величина, которая в результате опыта может принимать то или иное значение, причем неизвестно заранее, какое именно. Случайная величина может быть дискретной (число отказов за время t, число отказавших элементов при наработке заданного объема и т. д.), либо непрерывной (время наработки элемента до отказа, время восстановления работоспособности).

Закон распределения случайной величины — соотношение, устанавливающее связь между значениями случайной величины и их вероятностями. Он может быть представлен формулой, таблицей, многоугольником распределений.

Для характеристики случайной величины (непрерывной и дискретной) используется вероятность того, что случайная величина X меньше некоторой текущей переменой x.

Функция распределения случайной величины X (интегральный закон распределения) — функция вида F (x) = p (X.

Плотность распределения непрерывной случайной величины X (дифференциальный закон распределения) — производная от функции распределения:

;;. (1).

В теории надежности за случайную величину обычно принимают время работы изделия (время до возникновения отказа). В этом случае функция плотности распределения f (t) будет служить полной характеристикой рассеивания сроков службы элементов (рис. 1). Вид этой функции зависит от закономерностей процесса потери элементом работоспособности.

Кривая распределения f (t) — частота отказов — дает возможность подсчитать средний срок службы элемента Т_ср (математическое ожидание М[t]), рассеивание (дисперсию D) этих сроков службы относительно центра группирования и другие числовые параметры случайной величины Т.

Если взять некоторый период времени работы элемента t, то площадь F (t) кривой распределения f (t) будет характеризовать вероятность отказа (выхода из строя) элемента за этот период времени (рис. 1, б). Поэтому левая ветвь кривой распределения f (t), относящаяся к области малой вероятности отказов, используется обычно для характеристики безотказности работы изделия, а вся кривая f (t) и ее параметры необходимы для оценки его долговечности.

Ординаты интегральной функции распределения F (t) (рис. 1, в) характеризуют вероятность отказа детали до данного момента времени.

F (t) = .

Во многих случаях нет необходимости пользоваться функциями F (t) или f (t), достаточно знать числовые характеристики этих кривых.

Основной характеристикой положения кривой f (t) является математическое ожидание М[t], которое в нашем случае является средним сроком службы Т_ср (наработкой на отказ):

Т_ср = .

Основной характеристикой рассеивания случайной величины является дисперсия D или среднее квадратическое отклонение у=.

D (t) = .

Чем больше значение D (или соответственно у), тем больше рассеивание сроков службы относительно их среднего значения М[t].

Для оценки надежности работы элемента, принимая за основную случайную величину время до возникновения отказа, можно определить и вероятность безотказной работы P (t) в пределах заданного периода t. Для этого воспользуемся значением интегральной функции.

F (t) = .

Вероятность безотказной работы P (t) относится к событию, противоположному появлению отказа F (t). Поэтому F (t)+P (t)=1 или P (t)=1-F (t). Следовательно, P (t) определяется.

В этом случае:

функция распределения отказа F (t) = P (tзад) = Q (t);

плотность распределения f (t) = dQ (t)/dt;

вероятность безотказности изделия за время t P (t)=1-Q (t).

Интенсивность отказов (условная плотность вероятности отказов) — отношение f (t) к P (t):

л (t) = f (t) / P (t).

Рис. 2. Типичная функция интенсивности отказов

Участок убывающей интенсивности отказов (t₀-t₁) иногда называют периодом приработки или периодом ранних отказов. Появление отказов в этом периоде обычно вызывается конструктивными или производственными дефектами.

Участок постоянной интенсивности отказов (t₁-t₂) называют периодом нормальной эксплуатации. Этот период начинается сразу же после периода приработки и заканчивается непосредственно перед периодом износовых отказов.

Период износовых отказов начинается тогда, когда элемент (устройство) выработал свой ресурс, вследствие чего число отказов в этом периоде начинает возрастать.

Отказы, появляющиеся в периоде нормальной эксплуатации, называют внезапными, так как они появляются в случайные моменты времени, или, другими словами, внезапно, непредсказуемо.

математический событие отказ вероятность.