Основы механика. 
Основы механика

На расстоянии d=50 м от берега водохранилища тонет ребенок. На берегу находится человек (рис. 7). Человек может плыть со скоростью v1=1 м/с, бежать по берегу со скоростью v2=5 м/с. Через сколько времени человек доберется до ребенка в точку А, если:

• а) из точки C он сразу по прямой поплывет в точку A;
• б) добежит до точки В по берегу, а потом поплывёт по прямой в точку А?

Дано: Решение.

L=200 м.

d=50 м.

v1=1 м/с.

v2=5 м/с.

t1 — ?

t2 — ?

а) Расстояние определим по теореме Пифагора:

Время равно.

б) Время равно.

Вычисления.

Ответ:

При поднятии балки угол между тросами (стропами) равен 90°. Определить при этом силу натяжения строп, если груз массой 100 кг движется вверх равномерно.

б=90°.

m=100 кг.

g=9,81 м/с2.

На каждую стропу действуют сила тяжести и сила натяжения T. Груз движется равномерно, поэтому силы уравновешены. Запишем проекции сил на ось X:

Ответ: T = 694 Н.

На горной дороге из-за отказа тормозной системы автобус с пассажирами массой m1 = 3000 кг начал скатываться по уклону, равному 30°. Для остановки автобуса и спасения пассажиров его догнал грузовой автомобиль массой m2 = 6000 кг. Удалось трос с передней лебедки автомобиля закрепить на автобусе. После этого автомобиль стал тормозить так, что его колёса заблокировались. Коэффициент трения покрышек об асфальт k=0,9. Какой путь от начала торможения пройдут автомобили, если перед торможением их скорость v = 36 км/ч? Трение колес автобуса не учитывать.

Дано: Решение.

m1=3000 кг б=30°.

m2=6000 кг.

k=0,9.

v=10 м/с.

На автобус действуют сила тяжести m1g, сила натяжения троса TA и сила реакции опоры N. На грузовой автомобиль действуют сила тяжести m2g, сила трения Fтр, сила натяжения троса T и сила реакции опоры N. Запишем второй закон Ньютона в проекциях на ось X:

где a — ускорение.

Трос нерастяжим, поэтому TA = T. Сила трения равна.

где k — коэффициент трения.

Как видим из рисунка,.

поэтому.

Тогда.

Выразим a:

Пройденный путь при равнозамедленном движении равен.

где v — начальная скорость, t — время.

Ускорение равно.

откуда.

Подставим в уравнение пути:

Подставим выражение для a:

= 260 (м).

Ответ: S = 260 (м).

Определить наибольшую высоту, с которой безопасно может прыгать человек на спасательную подушку, если она может проминаться до 2 м. Считать, что наибольшая безопасная перегрузка при торможении n0=20.

Дано: Решение.

Дh=2 м.

n0=20.

H — ?

Прыгая с высоты H, человек движется равноускорено.

Уравнения движения запишутся в виде.

где g — ускорение свободного падения, t — время, v — скорость.

Тогда.

Упав на спасательную подушку, человек движется равнозамедленно с замедлением a, и уравнения движения запишутся в виде.

Тогда.

Подставим формулу для v и выразим H:

Учитывая, что перегрузка равна.

формула для H примет вид.

Ответ: H = 40 м.

Главная составляющая бронежилета — это защитная ткань из высокопрочных синтетических волокон. Прочность ткани типа «Кевлар» P = 40•109 Па. Определить, какая сила действует на человека в таком бронежилете, если в него попадают пули перпендикулярно его поверхности, площадь поперечного сечения пули S=0,5 см². Давление, которое пуля оказывает на ткань, равно наибольшему допустимому (прочности ткани).

Дано: скорость натяжение перегрузка давление.

P=40•109 Па Давление, которое оказывает сила F на.

S=0,5•10−4 м2поверхность площадью S, равно.

F — ?

В данном случае давление равно прочности.

Выразим F:

Ответ:

Череп человека может быть пробит движущимся предметом с площадью сечения несколько квадратных сантиметров, если давление p0 = 5•107 Па. Удар какой массы льда может пробить голову человека, если она падает с высоты H = 10 м, удар продолжается время Дt = 1 мс, площадь соприкосновения льда с головой S = 3 см², сопротивление воздуха не учитывать.

p0 = 5•107 Па На высоте H лед массой m обладает.

H = 10 м потенциальной энергией.

Дt = 1•10−3 с.

g=9,81 м/с2П = mgH,.

S = 3•10−4 м2.

где g — ускорение свободного падения.

m —? Падая, лед приобретает кинетическую энергию.

где v — скорость на высоте, принятой за нулевую.

По закону сохранения энергии П = T, поэтому.

Давление равно отношению силы F к площади поверхности S:

откуда.

F = p0 S.

Произведение силы на время Дt равно импульсу mv:

FДt = mv.

Выразим m:

Подставим выражения для F и v:

Проверка размерности полученной величины.

единица массы.

Ответ: m = 1,07 кг.

Однородный вал радиусом R=5 см и массой m = 30 кг начинает вращаться вокруг геометрической оси. Угловая скорость вала изменяется по закону щ = А + Bt, где B=5 с-1. Трение не учитывать. Определить величину касательной силы через t = 10 с после начала вращения.

R=0,05 м Момент сил, действующий на вал относительно оси вращения, равен.

m = 30 кг.

щ = А + Bt.

B=5 с-1M=FR,(1).

t=10 с где F — касательная сила, R — радиус диска.

F — ?С другой стороны, момент силы равен.

M=Jzе, (2).

где Jz — момент инерции вала относительно оси вращения, е — угловое ускорение.

Приравняем (1) и (2) и выразим F:

FR=Jzе,.

(3).

Момент инерции вала относительно оси вращения равен.

где m — масса вала.

Угловое ускорение есть первая производная угловой скорости по времени:

Выполним подстановку.

Ответ: F = 3,75 Н.

При проведении спасательных работ, человека поднимают на тросе на неподвижно висящий вертолёт (рис. 18). Из-за неожиданного пульсирующего ветра человек стал раскачиваться. Определить наименьшую скорость подъёма человека, при которой не будет опасности его удара о выступ толщиной H = 3,14 м. Длина троса L = 40 м.

Дано: H = 3,14 м.

L = 40 м.

g=9,81 м/с2.

vmin — ?

Человека на тросе можно считать математическим маятником. Математический маятник может совершать колебания с периодом T. В результате колебаний человек может отклониться от положения равновесия до уступа за время Значит, человека необходимо поднять на высоту H за время, не большее Тогда.

Период колебаний математического маятника равен.

где L — длина троса, g — ускорение свободного падения.

Тогда.

Ответ: