Последовательная цепь элементов R-L-C при синусоидальном токе

Пусть в цепи рис. 2.15 протекает ток.

(2.45).

или в комплексной форме.

. (2.46).

Тогда, напряжения на элементах цепи, как показано в разделах 2.6 — 2.8 будут описываться следующими уравнениями:

(2.47).

или в комплексной форме.

.

(2.48).

.

На основании второго закона Кирхгофа комплекс напряжения на зажимах цепи равен сумме комплексов напряжений на отдельных участках.

(2.49).

а на основании закона Ома для отдельных участков цепи можно записать.

.

Подставим U_R, U_L и U_C в 2.49 и получим.

.

решая последнее уравнение относительно комплекса тока получим.

.(2.50).

Выражение 2.50 представляет собой закон Ома для последовательной цепи элементов R-L-C.

Знаменатель формулы 2.50 обозначается Z и называется комплексом полного сопротивления.

. (2.51).

Запишем комплекс полного сопротивления в показательной форме.

— модуль комплекса полного сопротивления;

— аргумент комплекса полного сопротивления.

. (2.52).

Подставляя комплекс полного сопротивления в показательной форме в 2.50 и решая его относительно комплекса напряжения будем иметь.

.

т.е. приложенное к зажимам цепи напряжение сдвинуто по фазе относительно вектора тока на некоторый угол, величина которого зависит от соотношения сопротивлений элементов цепи.

Как видно из 2.52, если Х_L > X_C, то > 0, а напряжение будет опережать ток на угол, цепь будет носить индуктивный характер

u= U_msin ().

Если X_L < X_C, то < 0 и напряжение будет отставать от тока на угол.

u= U_msin (),.

а цепь будет носить емкостный характер.

Наконец, если X_L = X_C, то = 0, т. е. напряжение будет совпадать по фазе с током.

u= U_msin,.

а цепь будет носить активный характер.

В соответствии с уравнениями 2.46, 2.48 на рис. 2.16 построена векторная диаграмма в предположении, что X_L > X_C. Выделенный на диаграмме треугольник называется треугольником напряжений, из рассмотрения которого вытекает.

(2.53).

а также.

(2.54).

U_L — U_C — называется реактивным напряжением.

Поделив все стороны треугольника напряжений на ток, можно получить треугольник сопротивлений (рис. 2.17), из которого могут быть получены соотношения, аналогичные соотношениям, полученным из треугольника напряжений.

и.

. (2.55).

Если все стороны треугольника напряжений умножить на ток, получим треугольник мощностей (рис. 2.18).

Гипотенуза этого треугольника характеризует установленную мощность источника, она называется полной мощностью.

. (2.56).

По величине полной мощности выбирают все элементы электротехнических устройств и аппаратов.

Активная мощность.

(2.57).

характеризует процессы необратимого преобразования электрической энергии в другие виды. Нетрудно видеть из рис. 2.18, что активная мощность составляет часть полной мощности.

. (2.58).

Реактивная мощность.

(2.59).

характеризует процессы обмена энергией между источником и полями приемников. Она составляет другую часть полной мощности.

. (2.60).

Все три мощности, как это видно из рис. 2.17 связаны квадратурой.

. (2.61).

Полную мощность S можно рассматривать как модуль величины, называемой комплексной мощностью .

.

(2.62).

где сопряженный комплекс тока.

Из треугольника мощностей следует, что.

(2.63).

т.е. он показывает, какая доля мощности источника необратимо преобразуется в другие виды, поэтому он называется коэффициентом мощности.