Тенденции временных рядов

Тренд — основная тенденция изменения временного ряда, т. е. это постепенный сдвиг вверх или вниз уровня ряда или тенденция значений ряда расти или уменьшаться со временем.

Тренды бывают двух типов: линейные и нелинейные.

Линейный тренд обычно представляется в виде функции вида:

Где:

t — это номер периода (например, номер года, месяца и т. п.),.

y — Последовательность значений, подлежащая анализу,.

— выборочный наклон,.

— сдвиг.

Нелинейные тренды обычно представлены следующими моделями:

Полиномиальный тренд: ;

Логарифмический тренд: ;

Логистический тренд:

Аддитивная и мультипликативная сезонность.

Сезонный цикл — это структура временного ряда с многократными предсказуемыми повторами. Сезонные циклы привязаны к интервалу исследуемого временного ряда.

Большая часть временных рядов содержат сезонную составляющую, которая, в свою очередь, может быть аддитивной или мультипликативной. В случае аддитивной модели, временной ряд представляется в виде:

=, где:

— трендовая компонента ряда,.

— сезонная компонента ряда,.

— случайная ошибка.

В случае мультипликативной модели, временной ряд представляется в виде:

=.

Описание методов.

При описании методов прогнозирование в программе STATISTICA воспользуемся книгой В. П. Боровикова «Искусство анализа данных на STATISTICA» [4] и книгой В. П. Боровикова и Г. И. Ивченко «Прогнозирование в системе STATISTICA в среде Windows».

Экспоненциальное сглаживание.

Методы экспоненциального сглаживания служат для сглаживания наблюдаемого ряда. В методах могут быть учтены различные виды трендов и сезонности.

Экспоненциальное сглаживание — метод прогнозирования временных рядов, разработанный в 60-х годах независимо Р. Брауном и Ч. Хольтом.

Как Браун, так и Хольт разрабатывали методы прогнозирования по заказам военных ведомств США. Работы обоих получили широкое распространение, начиная от алгоритмов наведения торпед и заканчивая прогнозированием потребностей тех или иных подразделений в запчастях и горючем.

Метод экспоненциального сглаживания является одним из наиболее простых и распространенных методов прогнозирования временных рядов и при этом может показывать хорошие результаты. Модель простейшего экспоненциального сглаживания может быть представлена в виде:

=, где.

— сглаженный ряд;

— значение временного ряда в момент t;

— параметр сглаживания, отвечающий за сглаживание уровня ряда.

Каждое новое значение ряда (прогноз) вычисляется как взвешенное среднее сглаженного ряда и текущего наблюдения. Результат применения модели зависит от параметра б, меняющего значения от 0 до 1 (если б принимает значение 0, то игнорируются текущие наблюдения Xt, если 1, то предыдущие St-1). Таким образом учитывается устаревание данных наблюдений.

2. Типы моделей экспоненциального сглаживания.

Рис. 1. Типы моделей экспоненциального сглаживания

1. Простая Простейшая модель экспоненциального сглаживания, описанная выше. Применима к рядам, в которых отсутствует тренд и сезонность. В модель входит единственный параметр б, отвечающий за сглаживание уровня ряда. Данная модель экспоненциального сглаживания ближе всего к модели АРПСС с параметрами (0,1,1).

2. Простая с аддитивной сезонностью.

Более сложная модель, предназначенная для рядов без тренда и с аддитивной сезонностью. Параметры б и д отвечают за сглаживание уровня ряда и сезонной составляющей соответственно.

3. Простая с мультипликативной сезонностью.

Аналогична предыдущей модели, за исключением мультипликативного характера сезонности.

4. Линейный тренд Хольта.

Модель, предназначенная для рядов с трендом линейного типа и без сезонности. В модель входят параметры б и г, отвечающие за сглаживание уровня ряда и тренда соответственно. Модель ближе всего к модели АРПСС с параметрами (0,2,2).

5. Аддитивная Винтера.

Модель предназначена для рядов с линейным трендом и аддитивной сезонностью. Параметры б, г, д отвечают за сглаживание уровня ряда, тренда и сезонности соответственно.

6. Мультипликативная Винтера.

Используется для рядов с линейным трендом и мультипликативной сезонностью. Параметры аналогичны предыдущей модели.

7. Экспоненциальная.

Модель применяется для рядов с экспоненциальным трендом без сезонности. Параметры аналогичны модели Хольта.

8. Экспоненциальная с аддитивной сезонностью.

Модель для рядов с экспоненциальным трендом и аддитивной сезонностью. Параметры аналогичны аддитивной модели Винтера.

9. Экспоненциальная с мультипликативной сезонностью.

Модель для рядов с экспоненциальным трендом и мультипликативной сезонность. Параметры аналогичны мультипликативной модели Винтера.

• 10. Демпфированный тренд. Модель, предназначенная для рядов с затухающим трендом и без сезонности. Параметры б, г и ц отвечают за сглаживание уровня ряда, тренда и скорости затухания ряда соответственно. Модель ближе всего к модели АРПСС с параметрами (1,1,2).
• 11. Демпфированный тренд с аддитивной сезонностью.

Модель для рядов с затухающим трендом и аддитивной сезонностью. Параметры б, д, ц отвечают за сглаживание уровня ряда, сезонности и скорости затухания.

12. Демпфированный тренд с мультипликативной сезонностью.

Модель для рядов с затухающим трендом и мультипликативной сезонностью. Параметры аналогичны предыдущей модели.

Выбор значения параметров Оптимальным вариантом выбора параметров является определение лучшего значения по данным. Чаще всего параметр сглаживания ищется с помощью поиска по сетке. Для этого используется сетка значений от 0,1 до 0,9 с шагом 0,1 Лучшим значением параметра называется то, для которого минимальна та или иная мера ошибок, в зависимости от особенностей ряда и предпочтений аналитика.

Оценка прогноза Самой простой мерой оценки точности прогноза является визуальная проверка, то есть построение графика наблюдений и прогнозов. Помимо этого, существует несколько различных мер ошибок, которые можно использовать для нахождения значения параметров:

· Средняя ошибка (ME — Mean Error).

• · Средняя абсолютная ошибка (MAE — Mean Absolute Error).
• · Сумма квадратов ошибок (SSE).

· Среднеквадратическая ошибка (MSE — Mean Squared Error).

· Относительная ошибка (ОО).

· Средняя относительная ошибка (СОО).

· Средняя абсолютная относительная ошибка (САОО).

В данной работе для оценки точности прогноза будет использоваться средняя абсолютная относительная ошибка.

Спектральный анализ.

Основным методом моделирования сезонных колебаний является спектральный анализ (Фурье-анализ). С помощью спектрального анализа определяется максимальное отклонение от тренда временного ряда, что и позволяет найти сезонный лаг.

Смысл спектрального анализа заключается в том, что временной ряд представляется в виде совокупности различных по частоте и амплитуде синусоид и косинусоид. Каждая синусоида (или косинусоида), полученная в результате разложения Фурье, называется спектральной составляющей или гармоникой. Спектральные составляющие образуют спектр Фурье. Длина волны чаще всего выражается количеством циклов в единицу времени, то есть частотой.

Для достижения цели спектрального анализа — разложения ряда на синусоиды и косинусоиды — нужно решить задачу множественной регрессии, в которой независимыми переменными будут функции всех возможных частот, а зависимой — исходный временной ряд. Данная модель может быть записана следующим образом:

где и случайные величины, а длина волны функции синуса или косинуса.

Анализ периодограммы.

Периодограмма — главный инструмент исследования сезонности временного ряда. Периодограмма анализирует временной ряд и ищет циклические зависимости. Таким образом периодограмма представляет собой график зависимости амплитуды спектра от периода или частоты. Низкая частота колебаний характерна для гладких рядов. Равномерное распределение отклонений по всем частотам будет означать «белый шум».

АРПСС (Модель авторегрессии и проинтегрированного скользящего среднего, ARIMA).

Модель авторегрессии и проинтегрированного скользящего среднего Модель была разработана в 70-х годах Д. Боксом и Г. Дженкинсом, но, несмотря на то, что вначале модель была принята с энтузиазмом, она на тот момент не получила широкого распространения в мире бизнеса. Причиной этому послужило как-то, что сама процедура прогнозирования была достаточно сложной и длительной, так и то, что по данным нескольких независимых исследований экспоненциальное сглаживание показывало лучшие результаты в 55% случаев. Это, однако, не означает, что модель АРПСС плоха, ведь в 45% случаев она все же оказывалась более точной, что показывает предпочтительность использования разных методов для разных задач.

Общая модель, предложенная Боксом и Дженкинсом, как понятно из названия, включает в себя как параметры авторегрессии, так и параметры скользящего среднего. Существует три типа параметров: p — параметр авторегрессии, d — параметр разности, q — параметр скользящего среднего.

Процесс авторегрессии. Большая часть временных рядов содержат элементы, последовательно зависящие друг от друга. Такую зависимость можно выразить следующим уравнением:

Где:

о — константа,.

— параметры авторегрессии, е — случайное воздействие.

Каждое наблюдение представляет собой сумму случайной компоненты (е) и линейной комбинации предыдущих наблюдений.

Процесс скользящего среднего. В отличие от процесса авторегрессии, в процессе скользящего среднего каждый последующий элемент ряда подвержен суммарному воздействию предыдущих ошибок. В общем виде это можно записать следующим образом:

Где:

м — константа,.

— параметры скользящего среднего.

— случайное воздействие.

Таким образом, текущее наблюдение ряда представляет собой сумму линейной комбинации случайных воздействий в предыдущие моменты времени и случайной компоненты () в данный момент.

Идентификация. Для использования модели АРПСС необходимым условием является стационарность ряда. В случае, если ряд не удовлетворяет этому условию, необходимо брать разности ряда до тех пор, пока он не станет стационарным. Число разностей, необходимое для достижения стационарности, определяется параметром d. Число параметров авторегрессии и скользящего среднего определяются значениями p и q.

Оценивание и прогнозирование. Во время оценивания порядка модели используется так называемый квазиньютоновский алгоритм максимизации правдоподобия наблюдения значений ряда по значениям параметров. Для этого требуется вычислить суммы квадратов остатков модели. Полученные оценки параметров используются на последнем этапе (Прогнозирование) для того, чтобы вычислить новые значения ряда и построить доверительный интервал для прогноза.

Сезонные модели. Мультипликативная сезонная АРПСС представляет собой развитие обычной модели АРПСС, необходимое для прогнозирования рядов, в которых имеется периодическая сезонная компонента. Помимо стандартных для модели АРПСС несезонных параметров p, d, q, в модель вводятся сезонные параметры ps, ds, qs: сезонная авторегрессия, сезонная разность и сезонное скользящее среднее соответственно. Таким образом, полный набор параметров АРПСС может быть записан как (p, d, q) (ps, ds, qs).