Потенциальные «ямы» и «барьеры»

Среди различных задач квантовой механики простейшими являются одномерные, в которых рассматривается движение частицы в каком-то одном направлении, например вдоль оси х. Стационарное уравнение Шредингера (2.18) в одномерном случае имеет вид:

Состояния движущейся частицы зависят от ее потенциальной энергии U (x). Область, в которой потенциальная энергия имеет минимум, называют потенциальной ямой (рис. 2.1), а область с максимальным значением энергии — потенциальным барьером (рис. 2.2).

В общем, нахождение волновых функций в произвольных полях из уравнения (2.41) является сложной задачей, которая может быть решена лишь приближенными методами, один из которых — квазиклассический метод Вентцеля —КрамерсаБриллюэна (ВКБ)^[1].

Однако существует класс модельных задач, которые решаются точно. Это, прежде всего, задачи с прямоугольной ямой (рис. 2.3) и прямоугольным барьером (рис. 2.4). Хотя такие задачи являются модельными, но они позволяют получить качественные, а иногда и количественные оценки состояний частицы в реальных случаях. С этой целью гладкие потенциальные кривые аппроксимируют ломаными из горизонтальных и вертикальных отрезков. Таким образом, кривые, например, на рис. 2.1 и 2.2 можно представить в виде суммы прямоугольных ям (или барьеров). Зная результат для каждой такой области, можно, просуммировав, получить приближенный результат для гладких зависимостей U (x).

В каждой из областей оси х, где потенциальная энергия постоянна, можно найти точное решение уравнения (2.41). Характер этого.

Рис. 2.1.

Рис. 2.2.

Рис. 2.3.

Рис. 2.4.

решения существенно зависит от знака величины к² =-^(E-Uy

Например, в случае свободной частицы, потенциальная энергия которой равна нулю, волновая функция, как решение уравнения (2.41), описывает волны типа ехр (±/Аэс), бегущие в положительном (знак «плюс») или отрицательном (знак «минус») направлении оси х, где волновое число к = Е = ?—^L. При этом надо помнить о времен ном множителе е~^,?//^Л. Если потенциальная энергия частицы неравна нулю, то при к² > 0 (полная энергия частицы превышает потенциальную) решение также представляет собой волны, бегущие в противоположных направлениях. В случае к² < 0 (т. е. Е< U) общее решение.

2_т

содержит комбинации решений вида е^±Рх, где (З² = -—(и — ?*)> 0.

Л^{2 v} '.

По представлениям классической механики частица не может находиться в области Е < U. По квантовым же представлениям имеется определенная вероятность нахождения частицы и в этой «запрещенной» области. Этот эффект связан со свойством непрерывности волновой функции. Действительно, на границе «запрещенной» области волновая функция имеет ненулевое значение, и оно не может скачком обратиться в нуль в запрещенной области.

Рис. 2.5.

Рассмотрим подробнее модель прямоугольной ямы. Она непосредственно используется как простейшая модель свободных электронов в металле.

Среди многих задач с прямоугольными ямами простейшей является задача о частице в потенциальном ящике. В этом случае потенциальная энергия равна нулю на некотором отрезке оси х, например от 0 до а, и скачком обращается в бесконечность на концах этого отрезка (рис. 2.5).

Частица оказывается запертой на этом отрезке и не может выйти за его пределы. Такой характер потенциальной энергии описывается формулой

Теперь надо сформулировать граничные условия для волновой функции. Обозначая =, из (2.41) получим.

dx²

При х=0, а правая часть в (2.43), согласно (2.42), обращается в бесконечность. Так как волновая функция и ее производные не могут принимать бесконечно большие значения, то отсюда следует, что в этих точках должна обращаться в нуль волновая функция:

Таким образом, на всем участке кроме его концов волновая функция удовлетворяет уравнению.

Это уравнение с граничными условиями (2.44) представляет задачу на собственные значения. Его общее решение.

где А, В — постоянные, определяемые граничными условиями и условием нормировки. Из граничных условий (2.44) следует:

/2 тпЕ

В = 0, sin а. /—— = 0. Таким образом,.

V й²

где л =1,2, 3,… Значение п = 0 исключается, так как в этом случае ф (х)=0 при всех*, т. е. такое состояние не реализуется.

Из (2.47) следует, что решение уравнения (2.45) возможно не при любых значениях энергии, а лишь при вполне определенных дискретных значениях:

Таким образом, частица в потенциальном ящике обладает дискретным набором состояний с энергиями (2.48). Однако эта дискретность, например, для электрона существенна только в случае ящика атомных масштабов. Действительно, рассмотрим разность между соседними уровнями энергии для электрона (эВ):

Если а = 1 см, то.

Этот интервал настолько мал, что практически энергетический спектр электрона в таком ящике является квазинепрерывным. Если же я = Ы (Г⁸ см, то

Этот интервал уже сравним с самими значениями энергии, например электрона в атоме, и даже превосходит их. Отметим еще, что исключение нулевого значения числа п связано с соотношением неопределенностей. В самом деле при п = 0, согласно (2.48), значение энергии также равно нулю. Это невозможно, так как иначе были бы одновременно точно известны координата и импульс частицы (равные нулю).

Покажем, что минимально возможное значение энергии частицы в ящике ?*, по порядку величины определяется соотношением неопределенностей: в данном случае неопределенность в положении частицы равна Ах^а. Тогда Ар_х «2nh/a. Следовательно, энергия частицы Е «(Ар_х jj/2/я «2n²h²/та² % ?,.

Нахождение собственных значений является лишь частью обшей задачи (2.44), (2.45). Необходимо еще найти собственные функции. Согласно (2.46), (2.47) собственные функции с собственными значениями энергии (2.48) определяются формулой.

Эти функции образуют ортонормированную систему, т. е. они удовлетворяют условию (2.24):

где 6 — символ Кронекера.

Постоянная А_п определяется из условия нормировки:

Отсюда А_п =yj2fa. Таким образом, ортонормированная система собственных функций частицы в потенциальном яшике описывается формулой.

Собственные функции стационарных состояний с энергией Е_п равны фдх,/)=г|>_я(х) ехр (— iE_nt/hy По общим правилам, выражение.

определяет плотность вероятности того, что частица находится в интервале от х до x + dx. На рис. 2.6 изображена плотность вероятности для разных состояний. Эти зависимости не имеют ничего общего с результатом аналогичной классической задачи о вероятном местонахождении макроскопической частицы на ограниченном отрезке. В этом случае плотность вероятности постоянна и равна 1 /а. Однако с увеличением п число максимумов возрастает, и они располагаются все ближе друг к другу. При достаточно больших значениях энергии.

Рис. 2.6.

максимумы сближаются настолько, что образуют почти непрерывно распределенную прямую, близкую к прямой для плотности вероятности в классическом случае. В этом проявляется принцип соответствия в рассматриваемой задаче.

При больших значениях квантового числа п разность между со;

1 dE_n

седними уровнями энергии настолько мала, что величина—- по.

h dn

принципу соответствия должна совпадать с классической частотой движения 0)^ = 2л/7'_кл, где Т_м — период движения, T_M=2a/v v —.

скорость частицы, v^nnh/ma. Действительно, из (2.48) имеем:

Энергетический спектр частицы в некоторой потенциальной яме с характерным масштабом длины я (?"), в общем, можно оценить, считая, что на этой длине укладывается полуцелое число длин волн де Бройля:

Например, в случае потенциального ящика (2.42) имеем я (?_я)= а. Тогда из (2.57) следует формула (2.48).

Отметим некоторые особенности «барьерных» задач (см. рис. 2.4). Допустим, что частица падает на барьер слева направо с энергией Е< U_Q (см. рис. 2.4, а). Тогда при достижении точки х₀ (точки поворота) классическая частица отразилась бы от барьера. Для нее область х > х₀ «запрещена».

Для квантовой частицы, однако, имеется отличная от нуля вероятность обнаружить ее и в «запрещенной» области (рис. 2.7). Этот эффект аналогичен известному в оптике явлению полного внутреннего отражения света на границе раздела двух разных сред. С увеличением высоты потенциального барьера область «просачивания» частицы уменьшается и при U₀ —>оо стремится к нулю. В этом случае волновая функция при х=х₀ обращается в нуль, что согласуется с задачей о потенциальном ящике. Если Е > (/₀, то классическая частица проходит такой барьер без всякого отражения. В квантовом же случае наряду с проходящей волной де Бройля имеется также отраженная от барьера волна, и можно вычислить соответствующий коэффициент отражения. Если ширина барьера конечна (см. рис. 2.4, б) и энергия падающей слева частицы меньше высоты барьера, то возникает чисто квантовый эффект просачивания частицы сквозь барьер — туннельный эффект. Он объясняет многие физические явления, такие как контактная разность потенциалов, холодная эмиссия электронов из металлов, альфа-распад и др.

При рассмотрении барьерных задач важную роль играют коэффициент отражения от барьера и коэффициент прозрачности барьера. Коэффициент отражения определяется как отношение плотности потока отраженной волны к плотности потока падающей волны:

Он характеризует вероятность отражения от барьера частицы с заданными начальными условиями.

Коэффициент прозрачности барьера определяется как отношение плотности потока волны, прошедшей через барьер, к плотности потока падающей волны:

Он характеризует вероятность проникновения частицы сквозь барьер. Введенные коэффициенты удовлетворяют очевидному условию:

Отметим, что плотность потока частиц определяется общей формулой (2.21).

Рассмотрим подробнее туннельный эффект. Пусть частица с массой т падает слева на барьер при E0 (см. рис. 2.4, б). Будем считать х₀ =0, х_{ =а. Тогда решение уравнения Шредингера в области х^О представляет собой суперпозицию падающей и отраженной от барьера волн:

где к = —IlmE. В области 0 < х ^ а общее решение h

где $ = ^y]2m (U₀ -?). Наконец, в области х > а имеется только прошедшая волна:

Из условия непрерывности волновой функции и ее первой производной при х = 0, х = а получаем систему уравнений:

. р Uq-E.

" ?" -ггг—.

Коэффициенты A_v A_v B_v В₂ можно выразить через коэффициент /4, который остается произвольным и часто принимается за единицу. В эксперименте он может задаваться мощностью источника частиц, налетающих на барьер. Например, Наконец, для прошедшей волны Аналогично определяется плотность потока отраженной волны.

Плотность потока падающей волны согласно (2.61) равна:

Определим коэффициент прозрачности барьера (туннельный эффект):

где shPtf = (e^-e ^)/2. Если (Зд" 1 (достаточно широкий и высокий барьер), то.

Например, в случае Е= 1 эВ, ?/₀ = 2 эВ, д = 1 * 10″⁸ см для электронов коэффициент прозрачности D_e= 0,4, а для протонов /> =3−1<�Г¹⁹. При ширине барьера д = 210~⁸см, коэффициент D_e =0,1; при д=4* КГ⁸ см, D_e — 0,02.

Если барьер достаточно плавный (см. рис. 2.2), то его истинную форму можно заменить суммой прямоугольных барьеров шириной а. = ЛХу и высотой U.=U{x.y Тогда приближенно коэффициент прозрачности можно определить как произведение коэффициентов прозрачности на каждом участке, т. е.

lnZ) = X> D. «(у (*/)» Е)а* • Отсюда следует, что ко;

/ / I ^ эффициент прозрачности достаточно плавного барьера определяется приближенной формулой:

где я, х₂ — координаты точек, между которыми if (x)>E. При й —"0, т. е. в классическом пределе, коэффициент D —? 0. Это значит, что прохождение сквозь барьер классической частицы невозможно. На рис. 2.8 схематично изображена плотность вероятностей при туннельном прохождении частицей потенциального барьера.

При рассмотрении ряда барьерных задач, моделирующих реальные структуры, например в наноэлектронных устройствах, весьма эффективен метод решения, основанный на введении квантово-механического импеданса. В частности, показано, что в случае симметричной двухбарьерной структуры происходит резонансное туннелирование, когда коэффициент прохождения равен единице.

В качестве примера рассмотрим механизм возникновения контактной разности потенциалов (Вольта, 1797). Используем простейшую модель металла — модель свободных электронов. В ней предполагается, что электроны находятся в потенциальной яме глубиной U_Qi которую для простоты можно считать прямоугольной. Они заполняют все нижние уровни энергии. Последний заполненный уровень энергии при температуре металла, равной абсолютному нулю, называют уровнем Ферми с энергией Е_г Выше этого значения энергии энергетические уровни в потенциальной яме свободны. Разность U₀-E_f = A представляет собой энергию, необходимую для удаления электрона из металла с уровня Ферми. Это — работа выхода электрона из металла.

Рассмотрим теперь два разных металла I и II, глубину потенциальных ям которых будем отсчитывать от одного уровня (рис. 2.9, а). Когда эти металлы сближаются до атомных расстояний, то в зазоре между ними образуется узкий потенциальный барьер (рис. 2.9, б), который электроны могут преодолеть из-за туннельного эффекта. Очевидно, возможны переходы электронов из состояний с большей энергией в состояния с меньшей энергией, т. е. электроны из металла I могут переходить туннельным образом в металл И, заполняя его свободные (выше) энергетические уровни. Обратные переходы электронов из металла II в металл I невозможны. Переходы будут происходить до тех пор, пока энергии Ферми в обоих металлах не станут равными друг другу (рис. 2.9, в) (этот процесс формально аналогичен перетеканию жидкости в сообщающихся сосудах). В результате «утекания» электронов из металла I он оказывается заряженным положительно, а металл II — отрицательно. Это и означает, что на границе соприкасающихся металлов возникает разность потенциалов.

Рис. 2.9.

Рассмотрим второй пример — холодная эмиссия электронов из металла, занимающего полупространство х^О (Фаулер, Нордхейм, 1928). В этом случае потенциальная энергия электрона в той же упрощенной модели металла изображена сплошными линиями на рис. 2.10 (внутри металла потенциальная энергия положена равной нулю). Если перпендикулярно поверхности металла (вдоль осих) приложено внешнее электрическое поле с напряженностью /*, то внутрь металла оно не проникает, а вне металла сообщает дополнительную энергию электрону -eFx.

Тогда полная потенциальная энергия электрона (изображена пунктирной прямой) U₀ —eFx. Это означает, что на границе металла с вакуумом возникает «треугольный» барьер, проницаемость которого для электрона с энергией? определяется формулой (2.70):

Так как ток электронов пропорционален эффективному коэффициенту прозрачности барьера, то для тока получаем формулу.

/ = I₀cxp (—F₀/ f где постоянная величина ?₀ зависит от рода металла. Эта формула хорошо согласуется с экспериментальными данными.

ЗАДАЧИ.

1. Решить задачу о частице, падающей на прямоугольный потенциальный барьер при Е< U_Q (см. рис. 2.4, л). Найти коэффициент отражения от барьера и глубину проникновения частицы в «запрещенную» область.

Решение. Положим х₀ = 0. Тогда в области х^О волновая функция: |>_I(x)=fl₁exp (ifcc)+fl₂exp (-/Ax), где k = yfImE/h . В области х^О: i"₂(x)=A_Iexp (px)4-/>2^cxp (^_P^). где |3 =^2m ((/₀-E^jh. Так как волновая функция должна быть конечной, то постоянная Ь_{ = 0. Из условия непрерывности волновой функции и ее производной при х = 0 получаем уравнения: л, + л₂ = />2, л, -л₂ = ib$/k. Считая амплитуду л, действительной и заданной, можно найти другие амплитуды. Плотность вероятностей изображена на рис. 2.7. Коэффициент отражения равен.

^R = |л₂/л,|² = |(* - 'Р)/(* + /р)| = 1. Глубина проникновения равна ½(3.

2. Найти коэффициенты прозрачности и отражения при прохождении частицей потенциального барьера (см. рис. 2.4, л) в случае E>U₀.

Решение. Решение такое же, как в предыдущей задаче: |>,(х)= л, ехр (/А:_|х)+л₂ехр (-/^₁х), где к_х = yl2mE/fi. В области х^О.

^(х^ехр^х), где = yjl^m{Е~Uо)/h • Из условий непрерывно сти волновой функции и ее первой производной при х = 0 получаем:

^a2 ~^a (*i — ^2)/+ *г) — Коэффициент отражения R = a₂/^af • Коэффициент прозрачности D = 1 — R .

3. Решить задачу о прохождении частицей прямоугольной потенциальной ямы (рис. 2.11). Найти коэффициент прозрачности ямы, условие того, что частица проходит яму без отражения. Определить условие максимального отражения частицы.

Решение. В области х < 0: ф, = л, exp (/fcx)+ а₂ ехр (-/Лэс), где к = yJlmEJh . В области 0 ^ х ^ а: ф₂ = Ь_{ ехр (/*0*)+Ь₂ ехр, где.

к₀ = yj2m (E + U₀)/h. В области х>а: |>₃ = с, ехр (/?х). Из условий непрерывности волновой функции и ее первой производной на границах ямы.

U s п² а Г*.

находим: Z) = |c,/a,|²= 1 + * Частица проходит яму без от ражения, если коэффициент D= 1. В этом случае sin&₀a = 0, т. е. к₀а = пя. Отсюда следует: Е = п²я²Н²/2та² — U₀, при этом целые числа л такие, чтобы было Е > 0. Условие полного прохождения частицы имеет простой смысл: а = п/2, где X — длина волны де Бройля частицы внутри ямы. В оптике подобный эффект, связанный с интерференционным погашением волн, отраженных от двух границ раздела, называют просветлением оптики.

Коэффициент отражения максимален, когда минимален коэффициент прохождения. В этом случае s k₀a = 1, т. е. к₀а = (2л + 1) л/2. Другими словами, ширина ямы должна быть а = (2л + l) x/4, где л = 0,1,2,…

• 4. Решить задачу о частице, локализованной в прямоугольной яме
• (рис. 2.12): U (x)= ^ а<�х<�а_у i/₀, х<-а_у х>а.

Решение. В области 1: ф₁(х)=Лехр (-ах)+ Дехр (ах), где j2m (U-E)

а = ——. В области II: (xJ=Cexp (-/pxj+Z)exp (/PxJ, где.

Рис. 2.11.

Рис. 2.12.

Р = >/2гпЕ/ь. В области III: l)",(x)=Gexp (-ax)+/^гсхр (ах). Согласно естественному граничному условию, постоянные A, F равны нулю. Из условий сшивки получаем уравнения: С/D = -yVp — a)/(/рfа)}-ехр (-2|3д/), С/D = {(/р + а) Д/р — a) j-exp (23fl/). Отсюда следует: D = ±C. В случае D=C

получаем B = G = 2Ce^(Mcospfl. Волновая функция является четной функцией х. При D—C волновая функция — нечетная функция х. Из полученных двух соотношений следует уравнение относительно энергии частицы Е:

^tg{i гт — (2а/Л yJbnE I/2 = Je/(U-E). где п- 1,2,3… Этим трансцен дентным уравнением определяются квантованные значения энергии частицы в потенциальной яме. В случае U «Е, т. е. у]Е/(и — ?) = 6Е_п «(л²Л²/8/лд²)(1−4б/ лл) л².

• [1] См.: Шпольский Э. В. Атомная физика. Т. 2.— М.: Наука, 1984.