Вибрации. 
Механические колебания и волны

В технике механические колебания различных конструкций и машин получили название вибраций.

Они оказывают воздействие и на человека, который соприкасается с вибрирующими объектами. Это воздействие может быть как вредным и приводящим в определенных условиях к вибрационной болезни, так и полезным, лечебным (вибротерапия и вибромассаж).

Основные физические характеристики вибраций совпадают с характеристиками механических колебаний тел, это:

• * частота колебаний или гармонический спектр ангармонического колебания;
• * амплитуда, амплитуда скорости и амплитуда ускорения;
• * энергия и средняя мощность колебаний.

Кроме того, для понимания действия вибраций на биологический объект важно представлять себе распространение и затухание колебаний в теле. При исследовании этого вопроса используют модели, состоящие из инерционных масс, упругих и вязких элементов (см. 10.3).

Вибрации являются источником слышимых звуков, ультразвуков и инфразвуков.

Механические волны — это распространяющиеся в упругой среде возмущения (отклонения частиц среды от положения равновесия). Они бывают продольные — колебания в них происходят вдоль направления волны, и поперечные — колебания перпендикулярны направлению волны.

Продольные волны, сопровождаемые деформациями растяжения и сжатия, могут распространяться в любых упругих средах: газах, жидкостях и твердых телах.

Поперечные волны распространяются в твердых телах. При распространении волны происходит перенос энергии без переноса вещества. У волны есть скорость U, и она распространяется на определенное расстояние S, за время, равное периоду колебаний в ней (T). Это расстояние называется длиной волны (лямбда).

л =U· T=U/V; U= л· V.

Звуковые волны-это продольные волны, в которых колебания частиц происходят вдоль ее распространения. Скорость звука.

v=л· vв.

различных средах разная, в твердых телах и жидкостях она значительно больше, чем в воздухе. На границе упругих сред звуковая волна отражается, появляется эхо. Это явление состоит в том, что звук от источника доходит до какого-то препятствия, отражается от него и возвращается к месту, где он возник, через промежуток времени не менее 1/15 с. Через такой интервал времени человеческое ухо способно воспринимать раздельно следующие один за другим звуки.

Механические и звуковые волны. Основные положения.

Волновой процесс — процесс переноса энергии без переноса вещества.

Механическая волна — возмущение, распространяющееся в упругой среде.

Наличие упругой среды — необходимое условие распространения механических волн.

Перенос энергии и импульса в среде происходит в результате взаимодействия между соседними частицами среды.

Волны бывают продольные и поперечные.

Продольная механическая волна — волна, в которой движение частиц среды происходит в направлении распространения волны. Поперечная механическая волна — волна, в которой частицы среды перемещаются перпендикулярно направлению распространения волны.

Продольные волны могут распространяться в любой среде. Поперечные волны в газах и жидкостях не возникают, так как в них отсутствуют фиксированные положения частиц.

Периодическое внешнее воздействие вызывает периодические волны.

Гармоническая волна — волна, порождаемая гармоническими колебаниями частиц среды.

Длина волны — расстояние, на которое распространяется волна за период колебаний ее источника:

[v — скорость распространения волны].

Скорость механической волны — скорость распространения возмущения в среде. Поляризация — упорядоченность направлений колебаний частиц в среде.

Плоскость поляризации — плоскость, в которой колеблются частицы среды в волне. Линейно-поляризованная механическая волна — волна, частицы которой колеблются вдоль определенного направления (линии).

Поляризатор — устройство, выделяющее волну определенной поляризации.

Стоячая волна — волна, образующаяся в результате наложения двух гармонических волн, распространяющихся навстречу друг другу и имеющих одинаковый период, амплитуду и поляризацию.

Пучности стоячей волны — положение точек, имеющих максимальную амплитуду колебаний.

Узлы стоячей волны — не перемещающиеся точки волны, амплитуда колебаний которых равна нулю.

На длине l струны, закрепленной на концах, укладывается целое число п полуволн поперечных стоячих волн:

Такие волны называются модами колебаний.

Мода колебаний для произвольного целого числа n > 1 называется n-й гармоникой или n-м обертоном. Мода колебаний для n = 1 называется первой гармоникой или основной модой колебаний. Звуковые волны — упругие волны в среде, вызывающие у человека слуховые ощущения.

Частота колебаний, соответствующих звуковых волнам, лежит в пределах от 16 Гц до 20 кГц.

Скорость распространения звуковых волн определяется скоростью передачи взаимодействия между частицами. Скорость звука в твердом теле vп, как правило, больше скорости звука в жидкости vж, которая, в свою очередь, превышает скорость звука в газе vг.

Звуковые сигналы классифицируют по высоте, тембру и громкости. Высота звука определяется частотой источника звуковых колебаний. Чем больше частота колебаний, тем выше звук; колебаниям малых частот соответствуют низкие звуки. Тембр звука определяется формой звуковых колебаний. Различие формы колебаний, имеющих одинаковый период, связано с разными относительными амплитудами основной моды и обертоном. Громкость звука характеризуется уровнем интенсивности звука. Интенсивность звука — энергия звуковых волн, падающая на площадь 1 м² за 1 с.

Единица интенсивности звука — ватт на квадратный метр (Вт/м2). Уровень интенсивности.

где I — интенсивность звука, I0 = 10−12 Вт/м2 — интенсивность, соответствующая порогу слышимости.

Порог слышимости характеризуется минимальной интенсивностью звука, которая может фиксироваться человеческим ухом.

Единица уровня интенсивности — децибел (дБ).

Каждый из нас наблюдал, как от камня, брошенного на спокойную поверхность пруда или озера, кольцами разбегаются волны. Многие следили за морскими волнами, набегающими на берег. Все читали или слышали о чудовищной силе морских волн, раскачивающих большие корабли. Однако при наблюдении этих явлений не всем приходит в голову, что звук всплеска воды доносится до нашего уха волнами, распространяющимися в том воздухе, которым мы дышим, что свет, благодаря которому мы видим, тоже представляет волновое движение. Волновые процессы чрезвычайно широко распространены в природе. Одни волны мы видим, но не слышим; другие слышим, но не видим; существуют волны, которые не видны и не слышны, но с чьей помощью можно и видеть и слышать.

акустика волна энергия механический Волновое движение (волны) — процесс распространения колебаний в пространстве.

Волны:

Механические волны могут существовать только в какой-либо среде, а электромагнитные волны могут существовать и в вакууме.

Любые волны распространяются с конечной скоростью.

Любые волны переносят энергию.

Механические волны — процесс распространения механических колебаний в среде (жидкой, твердой, газообразной).

Следует запомнить, что механические волны переносят энергию, форму, но не переносят массу.

Важнейшей характеристикой волны является скорость ее распространения. Волны любой природы не распространяются в пространстве мгновенно, их скорость конечна.

Различают два вида механических волн: поперечные и продольные.

1. Поперечные волны:

Волны называются поперечными, если частицы среды колеблются перпендикулярно (поперек) лучу волны. Они существуют в основном за счет сил упругости, возникающих при деформации сдвига, а поэтому существуют только в твердых средах.

На поверхности воды возникают поперечные волны, так как колеблется граница сред.

В поперечных волнах различают горбы и впадины.

Длина поперечной волны — расстояние между двумя ближайшими горбами или впадинами.

2. Продольные волны:

Волны называются продольными, если частицы среды колеблются вдоль луча волны. Они возникают за счет деформации сжатия и напряжения, поэтому существуют во всех средах.

Длина продольной волны — расстояние между двумя ближайшими зонами сгущения или зонами разряжения.

Введем основные понятия, которые необходимо знать для рассмотрения волнового движения:

• 1) Луч волны — направление распространения волны;
• 2) Волновой фронт (фронт волны) — геометрическое место множества точек, до которых дошло колебание к данному моменту времени;
• 3) Волновая поверхность — геометрическое место множества точек, колеблющихся в одинаковой фазе. Луч волны всегда перпендикулярен волновой поверхности;
• 4) Длина волны — путь, пройденный волной за период (или расстояние между точками, колеблющимися с разностью фаз два пи). Волновой процесс периодичен во времени и пространстве (периодичность процесса во времени характеризуется периодом; периодичность процесса в пространстве характеризуется длиной волны).

Если же газ, жидкость или твердое тело заполняет некоторую область пространства (сплошная среда), то возникшие в одном месте колебания распространяются по всем направлениям. При этом общая картина распространения волн остается прежней, но имеются и некоторые особенности.

Общие принципы, описывающие поведение волн, впервые были выдвинуты современником Ньютона, голландским ученым Христианом Гюйгенсом:

• 1) каждая точка среды, до которой дошло колебание становится источником вторичных волн;
• 2) волновой фронт в новый момент времени является огибающей вторичных волн.

Френель уточнил второе положение: волновой фронт в новый момент времени — результат интерференции вторичных волн.

Законы отражения волн от границы раздела двух сред:

Первый закон: луч падающей волны, луч отраженной волны и перпендикуляр, восстановленный в точке падения к границе раздела сред, лежат в одной плоскости.

Второй закон: угол падения равен углу отражения.

На границе раздела двух сред с различными свойствами происходит не только отражение волн, но и их преломление. Преломление — изменение направления распространения волны при переходе из одной среды в другую.

Законы преломления волн:

Первый закон: падающий луч, преломленный луч и перпендикуляр, восстановленный в точке падения к границе раздела сред, лежат в одной плоскости.

Второй закон: при любых углах падения отношение синуса угла падения к синусу угла преломления для данный двух сред величина постоянная, называемая относительным показателем преломления второй среды относительно первой. Относительный показатель преломления показывает во сколько раз скорость волны в первой среде больше (или меньше) скорости волны во второй среде.

* При преломлении частота колебаний волн не меняется.

Второй закон отражения, как и второй закон преломления, доказываются с помощью принципа Гюйгенса Основными свойствами волн являются:

• 1) поглощение;
• 2) рассеяние;
• 3) отражение;
• 4) преломление;
• 5) интерференция;
• 6) дифракция;
• 7) дисперсия;
• 8) поляризация.

Следует заметить, что волновую природу любого процесса доказывают явления интерференции и дифракции.

Рассмотрим некоторые свойства волн более подробно:

1. Образование стоячих волн

При наложении прямой и отраженной бегущих волн возникает стоячая волна. Она называется стоячей, так как, во-первых, узлы и пучности в пространстве не перемещаются, во-вторых, она не переносит энергию в пространстве.

Стоячая волна образуется устойчивая, если на длине L укладывается целое число полуволн.

Любое упругое тело (например, струна) при свободных колебаниях имеет основной тон и обертоны. Чем больше обертонов имеет упругое тело, тем красивее оно звучит.

Примеры применения стоячих волн:

• — духовые музыкальные инструменты (орган, труба)
• — струнные музыкальные инструменты (гитара, пианино, скрипка)
• — камертоны
• 2. Интерференция волн

Интерференция волн — устойчивое распределение с течением времени амплитуды колебаний в пространстве при наложении когерентных волн.

Примечание. Волны можно считать когерентными, если:

• — они имеют одинаковые частоты;
• — сдвиг по фазе волн, пришедших в данную точку, величина постоянная, то есть не зависит от времени.

В данной точке при интерференции наблюдается минимум, если разность хода волн равна нечетному числу полуволн.

В данной точке при интерференции наблюдается максимум, если разность хода волн равна четному количеству полуволн или целому числу длин волн.

При интерференции происходит перераспределение энергии волн, то есть в точку минимума она почти не поступает, а в точку максимума её поступает больше.

3. Дифракция волн.

Волны способны огибать препятствия. Так, морские волны свободно огибают выступающий из воды камень, если его размеры меньше длины волны или сравнимы с ней. За камнем волны распространяются так, как если бы его не было совсем. Точно так же волна от брошенного в пруд камня огибает торчащий из воды прутик. Только за препятствием большого, по сравнению с длиной волны, размера образуется «тень»: волны за препятствие не проникают.

Способностью огибать препятствия обладают и звуковые волны. Вы можете слышать сигнал машины за углом дома, когда самой машины не видно. В лесу деревья заслоняют ваших товарищей. Чтобы их не потерять, вы начинаете кричать. Звуковые волны, в отличие от света, свободно огибают стволы деревьев и доносят ваш голос до товарищей.

ДИФРАКЦИЯ — явление нарушения закона прямолинейного распространения волн в однородной среде или огибание препятствий волнами.

На пути волны экран с щелью:

Длина щели много больше длины волны. Дифракция не наблюдается.

Длина щели соизмерима с длиной волны. Дифракция наблюдается.

На пути волны преграда:

Размер преграды много больше длины волны. Дифракция не наблюдается.

Размер преграды соизмерим с длиной волны. Дифракция наблюдается (волна огибает препятствие).

УСЛОВИЕ НАБЛЮДЕНИЯ ХОРОШЕЙ ДИФРАКЦИИ: длина волны соизмерима с размерами препятствия, щели или преграды.

Наше ухо воспринимает в виде звука колебания, частота которых лежит в пределах от 17 до 20 000 Гц. Если говорить о звуковых волнах, создаваемых при игре на рояле, то нижняя граница нашего слуха будет чуть ниже звучания самой басовой клавиши, а верхняя — намного выше самой высокой. Такие колебания называются акустическими. Отсюда:

Акустика — раздел физики, изучающий звук и законы его распространения.

Звук — продольные механические волны с частотой от 17 до 20 кГц.

Чаще всего звуковые волны достигают наших ушей по воздуху. Довольно редко мы оказываемся погруженными целиком в воду. Но, конечно, воздух не имеет каких-либо особых преимуществ по сравнению с другими средами в смысле возможности распространения в них звуковых волн. Звук превосходно распространяется в воде и твердых телах. В вакууме, разумеется, звуковые волны распространятся не могут.

Для того, чтобы уверенно ориентироваться в мире, наш мозг должен получать информацию о том, что происходит вокруг нас. Зрение и слух играют здесь главную роль. Осязание, обоняние и вкусовые ощущения менее существенны. Отраженные от предметов звуковые волны или сами звучащие предметы дают нам сведения об окружающем мире. Но не это главное. Главное — это речь. Мы создаем и воспринимаем звуковые волны и тем самым общаемся друг с другом. С помощью специальных устройств, например медицинского стетоскопа или фонендоскопа, можно получить важные сведения о работе сердца и других внутренних органов.

Скорость звука:

Звуковые волны подобно всем другим волнам, распространяются с конечной скоростью. Обнаружить это можно так. Свет распространяется с огромной скоростью — 300 000 км/с. Поэтому вспышка от выстрела почти мгновенно достигает глаз. Звук же выстрела приходит с заметным запаздыванием. Скорость звука в воздухе при 00 C равна 331 м/с. Эта скорость довольно велика. Лишь совсем недавно самолеты начали летать со скоростями, превышающими скорость звука.

Первые измерения скорости звука были проведены немецким естествоиспытателем, географом и путешественником Александром Гумбольдтом в 1822 году. Время распространения звука определялось им как время между вспышкой при выстреле из пушки и моментом прихода звука. Скорость звука в воздухе не зависит от его плотности. Она приблизительно равна средней скорости теплового движения молекул и, подобно ей, пропорциональна корню квадратному из абсолютной температуры. Чем больше масса молекул газа, тем меньше скорость звука в нем. Так, при 00 C скорость звука в водороде равна 1270 м/с, а в углекислом газе — 258 м/с.

В воде скорость звука больше, чем в воздухе. Впервые она была измерена на Женевском озере в Швейцарии физиками Штурмом и Колладоном. На одной лодке поджигали порох и одновременно ударяли в подводный колокол. Другая лодка находилась на расстоянии 14 км от первой. Звук улавливался с помощью рупора, опущенного в воду. По разности времени между вспышкой света и приходом звукового сигнала определялась скорость звука. При температуре 80 C скорость звука в воде равна 1435 м/с.

В 1832 году Жан Батист Био определил скорость звука в чугуне, используя чугунную водопроводную трубу. В твердых телах скорость звука еще больше, чем в жидкостях. В чугуне скорость звука приблизительно равна 5000 м/с. В стали скорость звука при 150 C равна 4980 м/с.

Рассмотрим основные характеристики звука:

• 1) Субъективные характеристики звука — характеристики, зависящие от свойств приемника:
  • — громкость. Громкость звука определяются амплитудой колебаний в звуковой волне.
  • — тон (высота тона). Определяется частотой колебаний.
  • — тембр (окраска звука).
• 2) Объективные характеристики звука — характеристики, не зависящие от свойств приемника:
  • — интенсивность (сила звука) — энергия, проносимая звуковой волной за единицу времени через единицу площади, установленной перпендикулярно волне звука.
  • — частота основного тона.
  • — спектр звука — количество обертонов.

При частотах ниже 17 и выше 20 000 Гц колебания давления уже не воспринимаются человеческим ухом. Продольные механические волны с частотой менее 17 Гц получили название инфразвука. Продольные механические волны с частотой, превышающей 20 000 Гц, называют ультразвуком.

1. Инфразвук

Человек не слышит инфразвук, по каким-то образом эти звуки воспринимаются. Опыты показали, что инфразвук вызывает неприятные тревожные ощущения. Причины этого не вполне ясны. Возможно, дело в том, что инфразвук в природе возникает почти всегда при опасных или катастрофических событиях: землетрясениях, цунами, ураганах. Вероятно, в процессе естественного отбора у людей и животных появилась способность улавливать подобные сигналы тревоги.

В технике использовать инфразвук пока не научились.

2. Ультразвук

Основными свойствами ультразвука являются:

• 1) ультразвук хорошо поглощается воздухом;
• 2) чем больше размеры излучателя по сравнению с длиной волны, тем уже ультразвуковой пучок;
• 3) кавитация.

Для получения ультразвука с малыми частотами (до 200 кГц) используют явление магнитострикции (изменение формы и размеров ферромагнетика помещенного в переменное магнитное поле).

Кварцевая пластина, помещенная внутрь плоского конденсатора, к которому приложено переменное напряжение, совершает вынужденные колебания. Любое упругое тело, в том числе и кварцевая пластина, обладает собственными частотами. При совпадении частоты переменного электрического поля с собственной частотой кварцевой пластины наступает резонанс и амплитуда колебаний сильно возрастает. Такая пластина в воде может излучать волны мощностью до нескольких киловатт с каждого квадратного сантиметра поверхности. Существенно, что с помощью коротких волн можно создать остронаправленные пучки, незначительно расширяющиеся по мере распространения.

Мощная ультразвуковая волна способна дробить тела, помещенные в жидкость (кусочки металла превращаются в тонкую взвесь). С его помощью можно дробить камни в желчном пузыре и почках. Ультразвук оказывает сильное биологическое воздействие. Микробы в поле ультразвука погибают. С помощью ультразвука можно стерилизовать молоко и другие продукты.

В жидкостях ультразвуковые волны затухают слабее, чем в воздухе. Поэтому ультразвук применяется в гидроакустике. Наиболее важным прибором в гидроакустике является эхолот, или гидролокатор. Посылая короткие импульсы ультразвуковых волн, можно уловить импульсы, отраженные от дна или других твердых предметов. По времени запаздывания отраженного сигнала можно судить о расстоянии до препятствия. Так измеряют глубину моря, обнаруживают косяки рыб, встречный айсберг или подводную лодку. С помощью эхолота отечественными учеными был открыт подводный хребет в Северном Ледовитом океане.

По отражению ультразвука от раковины или трещины в металлической отливке можно судить о дефектах в изделиях.

Ультразвук применяется в технике и играет большую роль в жизни многих животных. Чрезвычайно совершенные ультразвуковые локаторы имеют дельфины и летучие мыши. Дельфины в мутной воде уверенно ориентируются, посылая ультразвуковые импульсы и улавливая импульсы, отраженные от предметов или добычи. В полной темноте летучие мыши способны летать в комнате, в которой по всевозможным направлениям натянуто множество веревок, не задевая их. Уши с успехом заменяют им глаза. Летучая мышь испускает импульсы ультразвуковых колебаний. Частота колебаний в импульсе составляет 25 000 — 50 000 Гц. Длительность каждого импульса не превышает 0,015 секунд.

Любопытно, что ультразвук воспринимают собаки. Можно сделать ультразвуковой свисток и подавать команды своей собаке. Никто, кроме вашей и других собак, эти команды не услышит.

Механические волны. Длина волны, скорость распространения волны и соотношения между ними. Звуковые волны и их свойства.

Механические волны — это распространяющиеся в упругой среде возмущения (отклонения частиц среды от положения равновесия). Если колебания частиц и распространение волны происходят в одном направлении, волну называют продольной, а если эти движения происходят в перпендикулярных направлениях, — поперечной.

Продольные волны, сопровождаемые деформациями растяжения и сжатия, могут распространяться в любых упругих средах: газах, жидкостях и твердых телах. Поперечные волны распространяются в тех средах, где появляются силы упругости при деформации сдвига, т. е. в твердых телах.

При распространении волны происходит перенос энергии без переноса вещества.

Скорость, с которой распространяется возмущение в упругой среде, называют скоростью волны* Она определяется упругими свойствами среды. Расстояние, на которое распространяется волна за время, равное периоду колебаний в ней (Г), называется длиной волны l (ламбда).

Звуковые волны — это продольные волны, в которых колебания частиц происходят вдоль ее распространения. Скорость звука в различных средах разная, в твердых телах и жидкостях она значительно больше, чем в воздухе.

На границе сред с упругими свойствами звуковая волна отражается. С явлением отражения звука связано эхо. Это явление состоит в том, что звук от источника доходит до какого-то препятствия, отражается от него и возвращается к месту, где он возник, через промежуток времени не менее 1/15 с. Через такой интервал времени человеческое ухо способно воспринимать раздельно следующие один за другим звуки.

Если в каком-нибудь месте твердой, жидкой или газообразной среды возбуждены колебания частиц, то вследствие взаимодействия атомов и молекул среды колебания начинают передаваться от одной точки к другой с конечной скоростью. Процесс распространения колебаний в среде называется волной.

Механические волны бывают разных видов. Если в волне частицы среды испытывают смещение в направлении, перпендикулярном направлению распространения, то волна называется поперечной. Примером волны такого рода могут служить волны, бегущие по натянутому резиновому жгуту (рис. 2.6.1) или по струне.

Если смещение частиц среды происходит в направлении распространения волны, то волна называется продольной. Волны в упругом стержне (рис. 2.6.2) или звуковые волны в газе являются примерами таких волн.

Волны на поверхности жидкости имеют как поперечную, так и продольную компоненты.

Как в поперечных, так и в продольных волнах переноса вещества в направлении распространения волны не происходит. В процессе распространения частицы среды лишь совершают колебания около положений равновесия. Однако волны переносят энергию колебаний от одной точки среды к другой.

Распространение поперечного волнового импульса по натянутому резиновому жгуту.

Распространение продольного волнового импульса по упругому стержню Характерной особенностью механических волн является то, что они распространяются в материальных средах (твердых, жидких или газообразных). Существуют волны, которые способны распространяться и в пустоте (например, световые волны). Для механических волн обязательно нужна среда, обладающая способностью запасать кинетическую и потенциальную энергию. Следовательно, среда должна обладать инертными и упругими свойствами. В реальных средах эти свойства распределены по всему объему. Так, например, любой малый элемент твердого тела обладает массой и упругостью. В простейшей одномерной модели твердое тело можно представить как совокупность шариков и пружинок (рис. 2.6.3).

Простейшая одномерная модель твердого тела В этой модели инертные и упругие свойства разделены. Шарики обладают массой m, а пружинки — жесткостью k. С помощью такой простой модели можно описать распространение продольных и поперечных волн в твердом теле. В продольных волнах шарики испытывают смещения вдоль цепочки, а пружинки растягиваются или сжимаются. Такая деформация называется деформацией растяжения или сжатия (см. § 1.12). В жидкостях или газах деформация такого рода сопровождается уплотнением или разрежением.

Продольные механические волны могут распространяться в любых средах — твердых, жидких и газообразных.

Если в одномерной модели твердого тела один или несколько шариков сместить в направлении, перпендикулярном цепочке, то возникнет деформация сдвига. Деформированные при таком смещении пружины будут стремиться возвратить смещенные частицы в положение равновесия. При этом на ближайшие несмещенные частицы будут действовать упругие силы, стремящиеся отклонить их от положения равновесия. В результате вдоль цепочки побежит поперечная волна.

В жидкостях и газах упругая деформация сдвига не возникает. Если один слой жидкости или газа сместить на некоторое расстояние относительно соседнего слоя, то никаких касательных сил на границе между слоями не появится. Силы, действующие на границе жидкости и твердого тела, а также силы между соседними слоями жидкости всегда направлены по нормали к границе — это силы давления. То же относится к газообразной среде. Следовательно, поперечные волны не могут существовать в жидкой или газообразной средах.

Значительный интерес для практики представляют простые гармонические или синусоидальные волны. Они характеризуются амплитудой A колебания частиц, частотой f и длиной волны л. Синусоидальные волны распространяются в однородных средах с некоторой постоянной скоростью х.

Смещение y (x, t) частиц среды из положения равновесия в синусоидальной волне зависит от координаты x на оси OX, вдоль которой распространяется волна, и от времени t по закону:

где.

— так называемое волновое число, щ = 2рf — круговая частота.

На рис. 2.6.4 изображены «моментальные фотографии» поперечной волны в два момента времени: t и t + Дt. За время Дt волна переместилась вдоль оси OX на расстояние хДt. Такие волны принято называть бегущими (в отличие от стоячих волн, см. далее).

«Моментальные фотографии» бегущей синусоидальной волны в момент времени t и t + Дt.

Длиной волны л называют расстояние между двумя соседними точками на оси OX, колеблющимися в одинаковых фазах. Расстояние, равное длине волны л, волна пробегает за период Т, следовательно, л = хT, где х — скорость распространения волны. Для любой выбранной точки на графике волнового процесса (например, для точки A на рис. 2.6.4) с течением времени t изменяется координата x этой точки, а значение выражения щt — kx не изменяется. Через промежуток времени Дt точка A переместится по оси OX на некоторое расстояние.

Дx = хДt.

Следовательно:

щt — kx = щ (t + Дt) — k (x + Дx) = const или щДt = kДx.

Отсюда следует:

Таким образом, бегущая синусоидальная волна обладает двойной периодичностью — во времени и пространстве. Временной период равен периоду колебаний T частиц среды, пространственный период равен длине волны л. Волновое число.

является пространственным аналогом круговой частоты.

Обратим внимание на то, что уравнение.

y (x, t) = A cos (щt + kx).

описывает синусоидальную волну, распространяющуюся в направлении, противоположном направлению оси OX, со скоростью

В бегущей синусоидальной волне каждая частица среды совершает гармонические колебания с некоторой частотой щ. Поэтому, как и в случае простого колебательного процесса, средняя потенциальная энергия, запасенная в некотором объеме среды, равна средней кинетической энергии в том же объеме и пропорциональна квадрату амплитуды колебаний.

Отсюда следует, что при распространении бегущей волны возникает поток энергии, пропорциональный скорости волны и квадрату ее амплитуды.

Бегущие волны распространяются в средах с определенными скоростями, зависящими от типа волны, а также от инертных и упругих свойств среды.

Скорость поперечных волн в натянутой струне или резиновом жгуте зависит от погонной массы м (т. е. массы единицы длины) и силы натяжения T:

Скорость распространения продольных волн в безграничной среде определяется плотностью среды с (т. е. массой единицы объема) и модулем всестороннего сжатия B, который равен коэффициенту пропорциональности между изменением давления Дp и относительным изменением объема ДV / V, взятому с обратным знаком:

Выражение для скорости распространения продольных волн в безграничных средах имеет вид.

Например, при температуре 20 °C скорость распространения продольных волн в воде х? 1480 м/с, в различных сортах стали х? 5−6 км/с.

При распространении продольных волн в упругих стержнях в формулу для скорости волн вместо модуля всестороннего сжатия B входит модуль Юнга E (см. § 1.12):

Для стали отличие E от B невелико, для других материалов оно может составлять 20−30% и даже больше.

Модель. Продольные и поперечные волны.

Если механическая волна, распространяющаяся в среде, встречает на своем пути какое-либо препятствие, то она может резко изменить характер своего поведения. Например, на границе раздела двух сред с разными механическими свойствами волна частично отражается, а частично проникает во вторую среду. Волна, бегущая по резиновому жгуту или струне отражается от неподвижно закрепленного конца; при этом появляется волна, бегущая во встречном направлении. В струне, закрепленной на обоих концах, возникают сложные колебания, которые можно рассматривать как результат наложения (суперпозиции) двух волн, распространяющихся в противоположных направлениях и испытывающих отражения и переотражения на концах. Колебания струн, закрепленных на обоих концах, создают звуки всех струнных музыкальных инструментов. Очень похожее явление возникает при звучании духовых инструментов, в том числе органных труб.

Если волны, бегущие по струне во встречных направлениях, имеют синусоидальную форму, то при определенных условиях они могут образовать стоячую волну.

Пусть струна длины l закреплена так, что один из ее концов находится в точке x = 0, а другой — в точке x1 = L (рис. 2.6.5). В струне создано натяжение T.

Образование стоячей волны в струне, закрепленной на обоих концах.

По струне одновременно распространяются в противоположных направлениях две волны одной и той же частоты:

• · y1 (x, t) = A cos (щt + kx) — волна, бегущая справа налево;
• · y2 (x, t) = -A cos (щt — kx) — волна, бегущая слева направо.

В точке x = 0 (один из закрепленных концов струны) падающая волна y1 в результате отражения порождает волну y2. При отражении от неподвижно закрепленного конца отраженная волна оказывается в противофазе с падающей. Согласно принципу суперпозиции, который является экспериментальным фактом, колебания, вызванные встречными волнами в каждой точке струны, складываются. Таким образом, результирующее колебание в каждой точке равно сумме колебаний, вызванных волнами y1 и y2 в отдельности. Следовательно,.

y = y1 (x, t) + y2 (x, t) = (-2A sin щt) sin kx.

Это и есть стоячая волна. В стоячей волне существуют неподвижные точки, которые называются узлами. Посередине между узлами находятся точки, которые колеблются с максимальной амплитудой. Эти точки называются пучностями.

Оба неподвижных конца струны должны быть узлами. Приведенная выше формула удовлетворяет этому условию на левом конце (x = 0). Для выполнения этого условия и на правом конце (x = L), необходимо чтобы kL = nр, где n — любое целое число. Это означает, что стоячая волна в струне возникает не всегда, а только в том случае, если длина L струны равняется целому числу длин полуволн:

Набору значений лn длин волн соответствует набор возможных частот fn:

де ;

скорость распространения поперечных волн по струне. Каждая из частот и связанный с ней тип колебания струны называется нормальной модой. Наименьшая частота f1 называется основной частотой, все остальные (f2, f3, …) называются гармониками. На рис. 2.6.5 изображена нормальная мода для n = 2.

В стоячей волне нет потока энергии. Колебательная энергия, заключенная в отрезке струны между двумя соседними узлами, не транспортируется в другие части струны. В каждом таком отрезке происходит периодическое (дважды за период T) превращение кинетической энергии в потенциальную и обратно как в обычной колебательной системе. Но в отличие от груза на пружине или маятника, у которых имеется единственная собственная частота.

струна обладает бесконечным числом собственных (резонансных) частот fn. На рис. 2.6.6 изображены несколько типов стоячих волн в струне, закрепленной на обоих концах.

Первые пять нормальных мод колебаний струны, закрепленной на обоих концах В соответствии с принципом суперпозиции стоячие волны различных типов (т. е. с разными значениями n) могут одновременно присутствовать в колебаниях струны.

Модель. Нормальные моды струны Механические колебания Колебательные процессы встречаются повсюду в природе и технике. В астрономии планеты периодически обращаются вокруг Солнца, переменные звезды, такие как цефеиды, периодически меняют свою яркость, движение Луны вызывает приливы и отливы. В геофизике периодические процессы проявляются при изменении климата, в поведении океанических течений, в динамике циклонов и антициклонов. Внутри живых организмов происходят десятки различных периодических процессов с периодом от доли секунды до года, и т. д.

Мы начнем рассмотрение колебаний с анализа простейшей системы? гармонического осциллятора.

В предельном случае, при в=щ0, корни характеристического уравнения будут совпадающими и действительными:

л1=л2=?в=?щ0.

Здесь решение будет определяться формулой.

x (t)=(C1t+C2)e?щ0t.

ф=2рл1=2рв??в2?щ20=2р (в+?в2?щ20)(в??в2?щ20)(в+?в2?щ20)=2р (в+?в2?щ20)в2?в2+щ20=2рщ0((вщ0+v (вщ0)2?1))=2рщ0Ц (вщ0).

ф=2рщ0Ц (вщ0)>2рщ0.

Таким образом, граничный или критический режим релаксации обеспечивает максимально быстрый возврат системы в равновесное состояние. Конструкции такого типа используются, например, при закрывании дверей.

Случай 3. Режим малого затухания: в<�щ0.

Здесь корни характеристического уравнения являются комплексно-сопряженными:

л1,2=?в±i?щ20?в2.

Общее решение дифференциального уравнения имеет колебательный характер и записывается как x (t)=e?вt[C1cos (щ1t)+C2sin (щ1t)], где частота колебаний щ1 равна.

щ1=vщ20?в2.

Полученную формулу можно записать в несколько другом виде:

x (t)=Ae?вtcos (щ1t+ц0),.

где ц0 начальная фаза колебаний и Acosц0? начальная амплитуда колебаний. Видно, что в этом режиме происходят классические затухающие колебания. При этом частота колебаний щ1 меньше гармонической частоты щ0, а амплитуда колебаний уменьшается по экспоненциальному закону e? вt.

Вынужденные колебания. Резонанс Пусть на колебательную систему действует внешняя сила, изменяющаяся со временем по гармоническому закону с частотой щ: F (t)=F0cos (щt). В случае незатухающего осциллятора из второго закона Ньютона вытекает дифференциальное уравнение вида x??+щ20x=F0mcos (щt). В соответствии с общей теорией, решением данного уравнения будет сумма общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения.

Общее решение однородного уравнения было уже получено выше. Оно записывается в виде.

x0(t)=Asin (щ0t+ц0),

где амплитуда A и фаза ц0 определяются начальными условиями.

Найдем частное решение неоднородного дифференциального уравнения. Будем искать его в виде.

x1(t)=Bcos (щt).

Производные этой функции равны.

x?1(t)=?Bщsin (щt), x??1(t)=?Bщ2cos (щt).

После подстановки в дифференциальное уравнение получаем.

?Bщ2cos (щt)+щ20Bcos (щt)=F0mcos (щt),??Bщ2+щ20B=F0m,?B=F0m (щ20?щ2).

Следовательно, общее решение неоднородного уравнения записывается в виде.

x (t)=x0(t)+x1(t)=Asin (щ0t+ц0)+F0m (щ20?щ2)cos (щt).

Из этого выражения видно, что второе слагаемое, показывающее влияние вынужденной силы, резко возрастает при щ>щ0. Указанное явление называется резонансом. В данной простой модели амплитуда колебаний x (t) становится равной бесконечности, если частота вынужденной силы равна частоте свободных колебаний системы. Физическая модель вынужденных колебаний получается более реалистичной, если учесть затухание колебаний. Тогда из второго закона Ньютона вытекает следующее:

x??+2вx?+щ20x=F0mcos (щt).

Решение этого уравнения также будет представляться в виде суммы общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения.

Решение однородного уравнения, как показано выше, включает в себя три возможных сценария (режим апериодического затухания, граничный режим и колебательное решение в случае малого затухания).

Определим частное решение неоднородного уравнения. Здесь удобнее перейти к комплексной форме дифференциального уравнения, которое запишется как.

x??+2вx?+щ20x=F0meiщt.

Будем искать частное решение в виде.

x1(t)=Bei (щt+ц),.

то есть предположим, что колебания в системе будут происходить с частотой внешней силы щ и, возможно, с некоторым сдвигом ц. В результате имеем.

x?1(t)=iщBei (щt+ц), x??1(t)=?щ2Bei (щt+ц).

Подставляя это в дифференциальное уравнение, получаем.

?щ2Bei (щt+ц)+2вiщBei (щt+ц)+щ20Bei (щt+ц)=F0meiщt,?(?щ2+2iвщ+щ20)Beiщteiц=F0meiщt, ?(щ20?щ2)B+2iвщB=F0me?iц.

По формуле Муавра-Лапласа

e?iц=cosц?isinц Поэтому можно записать:

(щ20?щ2)B+2iвщB=F0m (cosц?isinц).

Приравнивая отдельно действительную и мнимую части, получаем.

{(щ20?щ2)B=F0mcosц2вщB=F0msinц.

Из этой системы уравнений мы определим коэффициент B и угол ц. Возводя обе части в квадрат и складывая, находим:

B2[(щ20?щ2)2+4в2щ2]=(F0m)2,?B=F0mv (щ20?щ2)2+4в2щ2.

Угол ц найдем, разделив второе уравнение на первое:

2вщщ20?щ2=sinцcosц=tanц,?ц=arctan2вщщ20?щ2.

Итак, частное решение неоднородного уравнения в комплексной форме имеет вид.

x1(t)=F0mv (щ20?щ2)2+4в2щ2ei (щt+ц),.

где угол сдвига ц вычисляется по полученной выше формуле. Соответственно, действительная часть решения записывается как.

Re[x1(t)]=F0mv (щ20?щ2)2+4в2щ2cos[i (щt+ц)].

Окончательный ответ представляет собой сумму двух членов:

x (t)=x0(t)+Re[x1(t)]=x0(t)+F0mv (щ20?щ2)2+4в2щ2cos[i (щt+ц)],.

где x0(t)? общее решение однородного уравнения, описывающего осциллятор с затуханием без действия вынужденной силы.

Заметим, что вследствие затухания решение однородного уравнения x0(t) будет стремиться к нулю. Поэтому в установившемся режиме характер колебаний будет зависеть лишь от вынужденной силы, то есть будет определяться вторым компонентом общего решения:

x (t)=F0mv (щ20?щ2)2+4в2щ2cos[i (щt+ц)],.

где ц=arctan2вщщ20?щ2,.

в? коэффициент затухания.

Эта формула описывает также и явление резонанса, причем максимальная амплитуда установившихся колебаний при резонансе будет конечной и равной.

xmax (щ=щ0)=F02mвщ0.

Для оценки свойств колебательной системы в окрестности резонанса используют понятие добротности. Добротность показывает во сколько раз амплитуда вынужденных колебаний при резонансе превышает их амплитуду вдали от резонанса.

При стремлении частоты вынужденной силы щ к нулю амплитуда колебаний механической системы приближается к F0mщ20:

limщ>0xmax=limщ>0F0mv (щ20?щ2)2+4в2щ2=F0mщ20.

Поэтому добротность механической колебательной системы будет равна.

Q=xmax (щ=щ0)xmax (щ>0)=F02mвщ0F0mщ20=щ02 В,.

где в? коэффициент затухания.

Добротность является очень полезной характеристикой. С энергетической точки зрения она показывает отношение энергии, запасенной в колебательной системе, к энергии, которую система теряет за один период колебаний.

Потери энергии характеризуются также логарифмическим декрементом затухания д. Соотношение между добротностью Q и логарифмическим декрементом затухания д (при малых д) выражается простой формулой:

Q=рд.

Пример 1.

Кольцо радиуса R совершает малые колебания вокруг точки подвеса O (рисунок 6). Определить период колебаний.

Решение.

Кольцо, подвешенное в точке O, представляет собой физический маятник. Период его колебаний определяется формулой.

T=2р?Imga,.

где I? собственный момент инерции кольца, m? масса кольца, a? расстояние от оси вращения до центра кольца.

Момент инерции кольца массой m равен.

I0=mR2.

Поскольку расстояние от центра кольца до точки подвеса равно R. то по теореме Штейнера-Гюйгенса полный момент инерции маятника равен.

I=I0+mR2=mR2+mR2=2mR2.

Учитывая, что a=R, получаем следующее выражение для периода колебаний:

T=2р?Imga=2р2mR2mgR=2р?2Rg.

Пример 2.

Груз подвешен на двух последовательно соединенных пружинах. Жесткость одной пружины в два раза больше жесткости другой:

k2=2k1.

Как изменится период колебаний, если пружины соединить параллельно (рисунок 7).

Затухающие колебания Декремент затухания. Логарифмический декремент затухания.

Добротность Свободные колебания технических систем в реальных условиях протекают, когда на них действуют силы сопротивления. Действие этих сил приводит к уменьшению амплитуды колеблющейся величины.

Колебания, амплитуда которых из-за потерь энергии реальной колебательной системы уменьшается с течением времени, называются затухающими.

Наиболее часто встречается случаи, когда сила сопротивления пропорциональна скорости движения где r — коэффициент сопротивления среды. Знак минус показывает, что FC направлена в сторону противоположную скорости.

Запишем уравнение колебаний в точке, колеблющийся в среде, коэффициент сопротивлений которой r. По второму закону Ньютона.

где в — коэффициент затухания. Этот коэффициент характеризует скорость затухания колебаний, При наличии сил сопротивления энергия колеблющейся системы будет постепенно убывать, колебания будут затухать.

— дифференциальное уравнение затухающих колебаний.

— уравнение затухающих колебаний.

щ — частота затухающих колебаний:

Период затухающих колебаний:

Затухающие колебания при строгом рассмотрении не являются периодическими. Поэтому о периоде затухаюших колебаний можно говорить, когда в мало.

Если затухания выражены слабо (в>0), то.

.

Затухающие колебания можно рассматривать как гармонические колебания, амплитуда которых меняется по экспоненциальному закону.

В уравнении (1) А0 и ц0 — произвольные константы, зависящие от выбора момента времени, начиная е которого мы рассматриваем колебания Рассмотрим колебание в течение, некоторого времени ф, за которое амплитуда уменьшится в е раз.

ф — время релаксации.

Коэффициент затихания в обратно пропорционален времени, в течение которого амплитуда уменьшается в е раз. Однако коэффициента затухания недостаточна для характеристики затуханий колебаний. Поэтому необходимо ввести такую характеристику для затухания колебаний, в которую входит время одного колебаний. Такой характеристикой является декремент (по-русски: уменьшение) затуханияD, который равен отношению амплитуд, отстоящих по времени на период:

Логарифмический декремент затухания равен логарифму D:

Логарифмический декремент затухания обратно пропорционален числу колебаний, в результате которых амплитуда колебаний уменьшилась в е раз. Логарифмический декремент затухания — постоянная для данной системы величина.

Еще одной характеристикой колебательной система является добротность Q.

Добротность пропорциональна числу колебаний, совершаемых системой, за время релаксации ф.

Добротность Q колебательной системы называется число, показывающее во сколько раз сила упругости больше силы сопротивления.

Чем больше добротность, тем медленнее происходит затухание, тем затухающие колебания ближе к свободным гармоническим.

Вынужденные колебания.

Резонанс В целом ряде случаев возникает необходимость создания систем, совершающих незатухающие колебания. Получить незатухающие колебания в системе можно, если компенсировать потери энергии, воздействуя на систему периодически изменяющейся силой.

Пусть.

Запишем выражение для уравнения движения материальной точки, совершающей гармоническое колебательное движение под действием вынуждающей силы.

По второму закону Ньютона:

(1).

— дифференциальное уравнение вынужденных колебаний.

Это дифференциальное уравнение является линейным неоднородным.

Его решение равно сумме общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения:

Найдем частное решение неоднородного уравнения. Для этого перепишем уравнение (1) в следующем виде:

(2).

Частное решение этого уравнения будем искать в виде:

Тогда Подставим в (2):

т.к. выполняется для любого t, то должно выполняться равенство г = щ, следовательно,.

Это комплексное число удобно представить в виде где, А определяется по формуле (3 ниже), а ц — по формуле (4), следовательно, решение (2), в комплексной форме имеет вид Его вещественная часть, являвшаяся решением уравнения (1) равна:

Где.

(3).

(4).

Слагаемое Хо.о. играет существенную роль только в начальной стадии при установлении колебаний до тех пор, пока амплитуда вынужденных колебаний не достигнет значения определяемого равенством (3). В установившемся режиме вынужденные колебания происходят с частотой щ и являются гармоническими. Амплитуда (3) и фаза (4) вынужденных колебаний зависят от частоты вынуждающей силы. При определенной частоте вынуждающей силы амплитуда может достигнуть очень больших значений. Резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к собственной частоте механической системы, называется резонансом.

Частота щ вынуждающей силы, при которой наблюдается резонанс, называется резонансной. Для того чтобы найти значение щрез, необходимо найти условие максимума амплитуды.

Для этого нужно определить условие минимума знаменателя в (3) (т.е. исследовать (3) на экстремум).

Зависимость амплитуды колеблющейся величины от частоты вынуждающей силы называется резонансной кривой. Резонансная кривая будет тем выше, чем меньше коэффициент затухания в и с уменьшением в, максимум резонансных кривых смешается вправо. Если в = 0, то щрез = щ0.

При щ>0 все кривые приходят к значению — статическое отклонение.

Параметрический резонанс возникает в том случае, когда периодическое изменение одного из параметров система приводит к резкому увеличению амплитуды колеблющейся системы. Например, кабины, делающие «солнышко» за счет изменения положения центра тяжести система.(То же в «лодочках» .) См. § 61.т. 1 Савельев И.В.

Автоколебаниями называются такие колебания, энергия которых периодически пополняется в результате воздействия самой системы за счет источника энергии, находящегося в этой же системе. См. § 59 т.1 Савельев И.В.

Вынужденные механические колебания ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ — колебания, происходящие под действием внешней переменной силы (вынуждающей силы).

Установившиеся вынужденные колебания происходят с частотой, равной частоте вынуждающей силы.

Рассмотрим вынужденные колебания на примере реального (с трением) пружинного маятника. Будем отталкиваться от уравнения движения (второй закон Ньютона), которое мы написали для затухающих колебаний. При наличии дополнительной вынуждающей силы F (t) необходимо дописать ее в правую часть уравнения. В каноническом виде дифференциальное уравнение вынужденных механических колебаний имеет вид:

Для пружинного маятника:

и.

Для того, чтобы возникли периодические колебания, вынуждающая сила сама должна быть периодической. Пусть (писать здесь начальную фазу смысла нет, поскольку нас будут интересовать только установившиеся вынужденные колебания, то есть «забывшие» свое начало). частота вынуждающей силы. Для нахождения уравнения установившихся колебаний необходимо найти решение дифференциального уравнения:

при .

Общее решение этого неоднородного дифференциального уравнения представляет собой, как известно из теории дифференциальных уравнений, сумму общего решения однородного уравнения и любого частного решения неоднородного. Общее решение однородного уравнения нам известно, это — уравнение затухающих колебаний. Оно нас не интересует, так как при оно исчезает. В качестве частного решения неоднородного уравнения выберем очевидное — мы знаем, что вынужденные установившиеся колебания совершаются с частотой вынуждающей силы. Поэтому нашим искомым решением будет являться:

где, А — амплитуда вынужденных колебаний,? — сдвиг фаз между смещением и приложенной силой.

Получившиеся колебания подчиняются закону синуса (или косинуса), то есть являются синусоидальными или гармоническими. Но это не свободные колебания в системе без трения; здесь вынуждающая сила постоянно поставляет энергию в систему, в точности компенсирующую потери на преодоление сил трения.

Необходимо теперь найти амплитуду вынужденных колебаний и сдвиг фаз. Для этого необходимо подставить выражение для х в дифференциальное уравнение вынужденных колебаний. Обратите внимание, что необходимо найти два неизвестных из одного уравнения. Это возможно, если в процессе вычислений воспользоваться дополнительным (очевидным в процессе выкладок) условием. Попытайтесь проделать это.

Для амплитуды и сдвига фаз получаются следующие выражения:

Обратите внимание, что амплитуда вынужденных колебаний зависит от соотношения частоты вынуждающей силы и собственной частоты маятника. Максимальное значение амплитуды получается, если.

Частота называется резонансной частотой, а достижение максимума амплитуды колебаний при изменении частоты называется явлением резонанса. График зависимости А () носит название резонансной кривой. Обратите внимание, что резонансная частота механических колебаний зависит от коэффициента затухания (а с ним и от коэффициента силы трения). Если силы трения отсутствуют, амплитуда колебаний стремится к бесконечности.

Помимо поведения амплитуды при резонансной частоте рассмотрим ещё два предельных случая:

и.

В первом мы получим обычное статическое смещение маятника под действием постоянной силы F0 (статическое растяжение пружины):

Во втором случае амплитуда равна нулю: инерция маятника не может успевать реагировать на бесконечную частоту.

Зависимость сдвига фаз от соотношения частот представлена на рисунке. Сдвиг фаз между смещением и вынуждающей силой обусловлен инерцией маятника.

Механические колебания и волны.

Колебания, совершающиеся под воздействием внешней периодической силы, называются вынужденными.

В этом случае внешняя сила совершает положительную работу и обеспечивает приток энергии к колебательной системе. Она не дает колебаниям затухать, несмотря на действие сил трения.

Периодическая внешняя сила может изменяться во времени по различным законам. Особый интерес представляет случай, когда внешняя сила, изменяющаяся по гармоническому закону с частотой щ, воздействует на колебательную систему, способную совершать собственные колебания на некоторой частоте щ0.

Если свободные колебания происходят на частоте щ0, которая определяется параметрами системы, то установившиеся вынужденные колебания всегда происходят на частоте щ внешней силы.

После начала воздействия внешней силы на колебательную систему необходимо некоторое время Дt для установления вынужденных колебаний. Время установления по порядку величины равно времени затухания ф свободных колебаний в колебательной системе.

В начальный момент в колебательной системе возбуждаются оба процесса — вынужденные колебания на частоте щ и свободные колебания на собственной частоте щ0. Но свободные колебания затухают из-за неизбежного наличия сил трения. Поэтому через некоторое время в колебательной системе остаются только стационарные колебания на частоте щ внешней вынуждающей силы.

Рассмотрим в качестве примера вынужденные колебания тела на пружине (рис. 2.5.1). Внешняя сила приложена к свободному концу пружины. Она заставляет свободный (левый на рис. 2.5.1) конец пружины перемещаться по закону.

y = ym cos щt.

где ym — амплитуда колебаний, щ — круговая частота.

Такой закон перемещения можно обеспечить с помощью шатунного механизма, преобразующего движение по окружности в поступательно-возвратное движение (рис. 2.5.1).

Вынужденные колебания груза на пружине. Свободный конец пружины перемещается по закону.

y = ym cos щt.

l — длина недеформированной пружины, k — жесткость пружины Если левый конец пружины смещен на расстояние y, а правый — на расстояние x от их первоначального положения, когда пружина была недеформирована, то удлинение пружины Дl равно:

Дl = x — y = x — ym cos щt.

Второй закон Ньютона для тела массой m принимает вид :

ma = -k (x — y) = -kx + kym cos щt.

В этом уравнении сила, действующая на тело, представлена в виде двух слагаемых. Первое слагаемое в правой части — это упругая сила, стремящаяся возвратить тело в положение равновесия (x = 0). Второе слагаемое — внешнее периодическое воздействие на тело. Это слагаемое и называют вынуждающей силой.

Уравнению, выражающему второй закон Ньютона для тела на пружине при наличии внешнего периодического воздействия, можно придать строгую математическую форму, если учесть связь между ускорением тела и его координатой Тогда уравнение вынужденных колебаний запишется в виде.

где.

собственная круговая частота свободных колебаний, щ — циклическая частота вынуждающей силы. В случае вынужденных колебаний груза на пружине (рис. 2.5.1) величина A определяется выражением:

Уравнение не учитывает действия сил трения. В отличие от уравнения свободных колебаний (см. § 2.2) уравнение вынужденных колебаний содержит две частоты — частоту щ0 свободных колебаний и частоту щ вынуждающей силы.

Установившиеся вынужденные колебания груза на пружине происходят на частоте внешнего воздействия по закону.

x (t) = xmcos (щt + и).

Амплитуда вынужденных колебаний xm и начальная фаза и зависят от соотношения частот щ0 и щ и от амплитуды m>ym внешней силы.

На очень низких частотах, когда щ << щ0, движение тела массой m, прикрепленного к правому концу пружины, повторяет движение левого конца пружины. При этом x (t) = y (t), и пружина остается практически недеформированной. Внешняя сила приложенная к левому концу пружины, работы не совершает, т. к. модуль этой силы при щ << щ0 стремится к нулю.

Если частота щ внешней силы приближается к собственной частоте щ0, возникает резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний. Это явление называется резонансом. Зависимость амплитуды xm вынужденных колебаний от частоты щ вынуждающей силы называется резонансной характеристикой или резонансной кривой (рис. 2.5.2).

При резонансе амплитуда xm колебания груза может во много раз превосходить амплитуду ym колебаний свободного (левого) конца пружины, вызванного внешним воздействием. В отсутствие трения амплитуда вынужденных колебаний при резонансе должна неограниченно возрастать. В реальных условиях амплитуда установившихся вынужденных колебаний определяется условием: работа внешней силы в течение периода колебаний должна равняться потерям механической энергии за то же время из-за трения. Чем меньше трение (т. е. чем выше добротность Q колебательной системы), тем больше амплитуда вынужденных колебаний при резонансе.

Модель. Вынужденные колебания У колебательных систем с не очень высокой добротностью (< 10) резонансная частота несколько смещается в сторону низких частот. Это хорошо заметно на рис. 2.5.2.

Явление резонанса может явиться причиной разрушения мостов, зданий и других сооружений, если собственные частоты их колебаний совпадут с частотой периодически действующей силы, возникшей, например, из-за вращения несбалансированного мотора.

Резонансные кривые при различных уровнях затухания: 1 — колебательная система без трения; при резонансе амплитуда xm вынужденных колебаний неограниченно возрастает; 2, 3, 4 — реальные резонансные кривые для колебательных систем с различной добротностью: Q2 > Q3 > Q4. На низких частотах (щ <> щ0) xm > 0.

Вынужденные колебания — это незатухающие колебания. Неизбежные потери энергии на трение компенсируются подводом энергии от внешнего источника периодически действующей силы. Существуют системы, в которых незатухающие колебания возникают не за счет периодического внешнего воздействия, а в результате имеющейся у таких систем способности самой регулировать поступление энергии от постоянного источника. Такие системы называются автоколебательными, а процесс незатухающих колебаний в таких системах — автоколебаниями. В автоколебательной системе можно выделить три характерных элемента — колебательная система, источник энергии и устройство обратной связи между колебательной системой и источником. В качестве колебательной системы может быть использована любая механическая система, способная совершать собственные затухающие колебания (например, маятник настенных часов).

Источником энергии может служить энергия деформация пружины или потенциальная энергия груза в поле тяжести. Устройство обратной связи представляет собой некоторый механизм, с помощью которого автоколебательная система регулирует поступление энергии от источника. На рис. 2.5.3 изображена схема взаимодействия различных элементов автоколебательной системы.

Функциональная схема автоколебательной системы.

Примером механической автоколебательной системы может служить часовой механизм с анкерным ходом (рис. 2.5.4). Ходовое колесо с косыми зубьями жестко скреплено с зубчатым барабаном, через который перекинута цепочка с гирей. На верхнем конце маятника закреплен анкер (якорек) с двумя пластинками из твердого материала, изогнутыми по дуге окружности с центром на оси маятника. В ручных часах гиря заменена пружиной, а маятник — балансиром — маховичком, скрепленным со спиральной пружиной. Балансир совершает крутильные колебания вокруг своей оси. Колебательной системой в часах является маятник или балансир. Источником энергии — поднятая вверх гиря или заведенная пружина. Устройством, с помощью которого осуществляется обратная связь, является анкер, позволяющий ходовому колесу повернуться на один зубец за один полупериод. Обратная связь осуществляется взаимодействием анкера с ходовым колесом. При каждом колебании маятника зубец ходового колеса толкает анкерную вилку в направлении движения маятника, передавая ему некоторую порцию энергии, которая компенсирует потери энергии на трение. Таким образом, потенциальная энергия гири (или закрученной пружины) постепенно, отдельными порциями передается маятнику.

Механические автоколебательные системы широко распространены в окружающей нас жизни и в технике. Автоколебания совершают паровые машины, двигатели внутреннего сгорания, электрические звонки, струны смычковых музыкальных инструментов, воздушные столбы в трубах духовых инструментов, голосовые связки при разговоре или пении и т. д.

Часовой механизм с маятником Колебания — это движения или процессы, которые характеризуются определенной повторяемостью во времени.

Циклическая частота.

щ = 2рн.

Гармонические колебания — это колебания, при которых колеблющаяся величина, например смещение груза на пружине от положения равновесия, изменяется по закону синуса или косинуса:

где x0 — амплитуда, щ — циклическая частота, ц0 — начальная фаза колебания.

Ускорение при гармонических колебаниях всегда направлено в сторону, противоположную смещению; максимальное ускорение равно по модулю.

a) Колебания с различными амплитудами.

b) Колебания с различными периодами.

В качестве примеров свободных колебаний можно привести пружинный и математический маятники. Пружинный (гармонический) маятник — груз массы m, прикрепленный к пружине жесткости k, второй конец которой закреплен неподвижно. Циклическая частота колебаний груза равна:

Пружинный маятник.

Математический маятник — тело небольших размеров, подвешенное на тонкой нерастяжимой невесомой нити длиной l. Циклическая частота математического маятника равна:

а период колебаний:

Математический маятник.

В реальных условиях любая механическая система находится под действием сил трения (сопротивления). При этом часть механической энергии превращается во внутреннюю энергию теплового движения, и колебания становятся затухающими.

График затухающих колебаний.

Вынужденные колебания — колебания, возникающие под действием внешней периодически изменяющейся силы. Частота вынужденных колебаний равна частоте изменения внешней силы.

Если частота н внешней силы совпадет с частотой свободных колебаний системы, то амплитуда колебаний резко возрастает. Это явление называется резонансом. В колебательных системах с затуханием значение резонансной частоты смещается в сторону более низких частот (рис. 7).

Чем меньше трение, тем больше амплитуда резонансных колебаний и тем острее пик на резонансной кривой.

Автоколебания — это незатухающие свободные колебания, поддерживаемые за счет периодической подкачки энергии от какого-либо источника внешней силы. Примером автоколебательной системы могут служить механические часы.

Механические колебания Колебания — это движения или процессы, которые характеризуются определенной повторяемостью во времени. Период колебаний T — интервал времени, в течение которого происходит одно полное колебание.

Частота колебаний н — число полных колебаний в единицу времени. В системе СИ выражается в герцах (Гц).

Период и частота колебаний связаны соотношением:

Циклическая (или круговая) частота щ = 2рн. Она связана с периодом отношением:

Гармонические колебания — это колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется по закону синуса или косинуса. Смещение определяется формулой:

где x0 — амплитуда, щ — циклическая частота, ц0 — начальная фаза колебания. Дифференциальное уравнение свободных гармонических механических колебаний имеет один и тот же вид для любых колебаний:

где — ускорение тела. Величина щ0 называется собственной частотой свободных колебаний. Ускорение при гармонических колебаниях всегда направлено в сторону, противоположную смещению; максимальное ускорение равно.

В качестве примеров свободных колебаний можно привести пружинный и математический маятники. Пружинный (гармонический) маятник — груз массы m, прикрепленный к пружине жесткости k, второй конец которой закреплен неподвижно. Круговая частота колебаний груза равна:

а период:

Математический маятник — тело небольших размеров, подвешенное на тонкой нерастяжимой невесомой нити длиной l. Круговая частота математического маятника равна:

а период колебаний:

В реальных условиях любая механическая система находится под действием сил трения (сопротивления). При этом часть механической энергии превращается во внутреннюю энергию теплового движения, и свободные колебания становятся затухающими.

График затухающих колебаний.

Вынужденные колебания — колебания, возникающие под действием внешней периодически изменяющейся силы. Частота вынужденных колебаний равна частоте изменения внешней силы.

Если частота н внешней силы совпадет с частотой.

свободных колебаний системы, то амплитуда колебаний резко возрастает. Это явление называется резонансом.

Чем меньше трение, тем больше амплитуда резонансных колебаний и тем острее пик на резонансной кривой.

Размещено на Аllbest.ru.