Численный метод. 
Разработка математической модели реализации численного метода, состоящего из ортогональных преобразований методом Хаусхолдера, QR-факторизации и LAMBDA-метода для практической реализации в мобильном приемнике сигнала

В общем случае, для решения системы линейных уравнений (9), (10) применяется метод наименьших квадратов, но для повышения вычислительной эффективности и устойчивости алгоритма, используют разноплановые модификации данного метода.

Для решения общей линейной проблемы наименьших квадратов, имеется два основных метода: метод нормальных уравнений и метод QR факторизации (в которой заложены ортогональные преобразования). Плохая обусловленность матрицы коэффициентов (что может быть следствием плохой геометрии расположения НКА GPS) может привести к увеличению вычислительных погрешностей метода. Поэтому, для того чтобы не увеличивать коррелированность входной системы уравнений и повысить численную устойчивость алгоритма, вместо простых вторых разностей в методе используются ортогональные вторые разности.

Следуя, мы распишем рекурсивный алгоритм ортогональных преобразований для оценки позиции, основанный на уравнениях (9) и (10) измерений первых разностей фазы несущей и кода. Мы собираемся полностью использовать структуру задачи (для примера, учтем факт того, что вектор целочисленных неопределенностей идентичен на каждом шаге при отсутствии срывов циклов или при уходе или заходе НКА GPS в рабочее созвездие) для того, чтобы сделать алгоритм как можно более эффективным. Отметим, что Тибериус также использует рекурсивный алгоритм. Но он использует стандартный подход SRIF, основанный на уравнениях измерений вторых разностей фазы несущей и/или кода.

На настоящий момент времени мы предполагаем, что в (9) и (10) известны, и что число видимых НКА не изменяется во временной промежуток наблюдения. Сначала мы устраним из уравнения (9) измерений фазы несущей.

Пусть есть преобразование Хаусхолдера такое, что:

(11).

Отметим, что матрица симметричная и ортогональная. Представим как, тогда:

где имеет размерность {m, m-1}. (12).

Умножая (9) на слева, получим:

(13).

Так как верхнее уравнение в (13) включает неизвестное (и не желательное) выражение его можно исключить из алгоритма оценки положения мобильной станций. Таким образом, мы имеем:

(14).

Заметим, что мы использовали простое преобразование Хаусхолдера, вместо часто используемой техники двойных разностей для устранения неизвестной переменной. Его главным преимуществом является то, что преобразованные измерения являются все еще некоррелированными. Техника ортонормализации Грама-Шмидта, которая может также устранить и сделать инструмент трансформации некоррелированным, не является таким прямым, как техника преобразования Хаусхолдера.

Так как является матрицей, она не имеет полного ранга по столбцу и мы не в состоянии получить однозначную оценку. Если мы положим как новый вектор, то мы потеряли бы целое натуральное. Поэтому, идем другим путем и введем вектор двойных разностей целочисленных неопределенностей (double difference integer ambiguity — DDIA):

(15).

где без потери общности мы выбрали первый попавшийся НКА как «референсный» и присвоили ему номер 1. Заметим, что все еще вектор целых чисел. Определим:

(16).

где несингулярная квадратная матрица размерности {m-1} и. Это легко проверить, используя (12):

(17).

Таким образом, выражение (14) может быть переписано как:

Подобным образом мы можем также устранить из уравнения (10) измерений кода и при этом получим:

(19).

Для того чтобы при объединении и получившийся параметр имел такую же ковариационную матрицу как, мы определим и умножим (19) на, а затем объединим результирующее уравнение и (18):

(20).

Последний член в уравнений (20),, по своей сути является неоднородностью в системе линейных уравнений, неточностью, вызванная шумами и переотражениями. Эта неоднородность подчиняется нормальному распределению, то есть, ее пределы изменения значений могут быть оценены, опираясь на результаты ограниченного количества экспериментов с дифференциальной системой. Как показывает практика, данный вид погрешностей на порядок ниже погрешностей, возникающих из-за атмосферной задержки. Поэтому, для упрощения дальнейшего математического анализа, опустим эту неоднородность из уравнения.

Теперь приведем уравнение (20) к виду, пригодному для численной реализации. Правую часть (20) можно переписать как:

.

где O — квадратичная матрица, состоящая из нулей, размерности {m-1}.

Таким образом, система уравнений (20) может быть записана в следующей матричной форме:

Aс=B, ((21).

где:

где k проходит целые числа от 1 до n включительно.

Матрица имеет размерность {m, m-1}.

Матрица F имеет размерность {m-1, m-1}.

Обозначения:

n — количество эпох, в которые производятся наблюдения;

m — количество спутников в рабочем созвездий;

— матрица, составленная из единичных векторов, поделенных на длину волны L1 и коллинеарных направлению на спутники в эпоху с номером k (эпохой в литературе по СНС называется момент времени, в который производится измерение);

где — единичный вектор, направленный из середины базовой линии к i-му НКА в эпоху; - координаты вектора, соединяющего базовый и мобильный приемники, то есть вектора базовой линии в эпоху ;

Переопределенная система (21) решается методом наименьших квадратов (ищется с, минимизирующая эвклидову норму) приведением матрицы к верхнетреугольной форме методом Хаусхолдера. Метод Хаусхолдера заключается в разложении матрицы A в виде мультипликации двух матриц (другими словами, происходит QR-факторизация):

A=T*H,.

где T — квадратная ортогональная матрица, и H — верхнетреугольная прямоугольная матрица.

После чего условие минимизации можно переписать как:

.

Так как T — ортогональная матрица, данное условие минимума равнозначно минимизации другой нормы:

.

Верхнетреугольную матрицу H представим в виде:

.

где и — верхнетреугольные матрицы, причем имеет размерность 3×3. При практической реализации верхнетреугольная форма вычисляется рекурсивно, по мере поступления данных в последовательные эпохи.

А матрицу, получающуюся из мультипликации, обозначим как, так что:

Можно заметить из уравнения, что матрица U не принимает участия в поиске с, поэтому нижняя часть получившейся системы линейных уравнений отбрасывается. Именно такая возможность, предоставляемая методом Хаусхолдера, и приводит к экономии времени и процессорной мощности обрабатывающего ЭВМ. Следовательно:

(22).

кодовый линейный матричный хаусхолдер Матричное уравнение (22) записывается как система двух уравнений:

(23).

(24).

Из (23) получаем вещественнозначное смешанное кодово-фазовое решение:

.

где — вектор вещественных величин (вещественнозначных неопределенностей), полученный решением системы уравнений (24). Такое решение (без использования целочисленной природы неопределенностей) позволяет достичь точности в несколько дециметров.

Для того чтобы получить высокую точность оценок положения для как можно минимального числа эпох, должна быть использована природа целочисленных неопределенностей. Заметим, что в нашем алгоритме мы только оценили как вещественный вектор, но не определили его как целочисленный вектор. Для некоторых приложений этого будет достаточно, и для них не имеет смысла дополнительно тратить время вычислений для разрешения целочисленных неопределенностей. Также, если целочисленные неопределенности определены неправильно, это может вызвать большие ошибки в оценке положения. Имеется несколько подходов для разрешения целочисленных неопределенностей на базе вторых разностей. Один их хорошо известных подходов называется LAMBDA метод. На вход метода подаются вещественнозначные неопределенности (в качестве исходной оценки), матрица ковариации неопределенностей и требуемое количество векторов-кандидатов (на практике достаточно двух). Он основан на ковариации. Ковариация неопределенностей может быть найдена из (24):

(25).

Дадим теоретическое описание использования LAMBDA-метода при решении нашей задачи. Линейные системы уравнений, используемые в математической модели для решения задачи дифференциальной коррекции, можно представить в виде:

(26).

где y — заданный вектор данных, a и b — неизвестные параметрические вектора и e — вектор шумов. Вектор данных y состоит из «наблюдаемых» минус «вычисленных» первых разностей по коду и фазе за весь временной промежуток наблюдений. a — вектор разностей целочисленных неопределенностей размерности {m-1}, измеряемые в циклах. Значения вектора a являются целыми. В векторе b размерности p заключены оставшиеся неизвестные параметры уравнений, такие как координаты базовой линий и тропосферные (ионосферные) параметры атмосферной задержки.

При использовании принципа наименьших квадратов, система (26) решается посредством минимизации:

(27).

где норма вычисляется по формуле:

— матрица ковариации наблюдаемых величин,.

— целочисленное пространство размерности m-1.

Для того чтобы решить такого рода задачу минимизации, необходимо сначала провести ортогональную декомпозицию целевой функции. Распишем целевую функцию в виде суммы трех квадратов,.

(28).

где:

.

где с ортогональными проективными операторами и Матрица является ортогональным проективным оператором, который проецируется ортогонально вдоль направления B (относительно метрики). Аналогично, матрица является ортогональным проективным оператором, который проецируется ортогонально вдоль направления A.

Ковариационные матрицы и задаются формулами:

Вектора и являются вектором веществозначных неопределенностей и вещественным решением. Они определяются из (24) и (23), то есть когда в задаче минимизации (27) отсутствует ограничение по целочисленности. является остаточным вектором соответствующий веществозначному решению.

Вектор является решением b, в предположении, что a известен. Следовательно, он является условным решением b. Такое условное решение и ее ковариационная матрица могут быть записаны в виде:

где ковариационная матрица равна:

Из (27) и (28):

Заметим что первое выражение, не поддается минимизации потому что оно не зависит от a и b. Также последнее выражение в уравнении является неотрицательным (так как под квадратом) и для любого a из пространства целых чисел можно подобрать такое b что оно будет равняться нулю. Следовательно, решение данной задачи минимизации находится посредством формул:

(29).

Вектора и представляют собой вектор разрешенных целочисленных неопределенностей и вектор базовой линии при разрешенных целочисленных неопределенностях.

Поиск не может быть проведен по всему пространству целых чисел, поэтому необходимо определить область поиска, центрированного в точке в смысле метрики. Такую область можно определить как:

.

где является оптимально выбранной константой-ограничителем. Для того чтобы область поиска не содержала слишком много целочисленных векторов-кандидатов, должен быть небольшим.

Граница области поиска является эллиптической. В случае с фазовыми неопределенностями эллипсоид сильно вытянут из-за высокой коррелированности компонентов вектора неопределенностей. Такая вытянутость вредит вычислительной эффективности поиска, поэтому область поиска первым шагом приводят к более сферической форме:

(30).

используя приемлемое преобразование неопределенностей: Преобразование неопределенностей считается приемлемым, когда результатом преобразований T и являются целые числа. Такие матрицы сохраняют целочисленную природу неопределенностей. Для того чтобы область поиска имела более сферическую форму, строится такое T-преобразование, сохраняющее объем области, что неопределенности подвергаются как можно более сильной декорреляции. Используя треугольное преобразование левая часть квадратичного неравенства расписывается как сумма квадратов:

С левой стороны в неравенстве участвуют условные оценки неопределенностей, которые находятся как условные случайные целочисленные вектора. Из данного неравенства можно вывести оптимальные интервалы поиска по каждому измерению пространства. Интервалы задаются m-1 формулой:

(31).

Таким образом, определив интервалы возможных изменений вектора неопределенностей через (31), можно заметить, что область поиска будет содержать ограниченное количество векторов-кандидатов. Причем, число кандидатов не будет превышать. То есть, если нам позволяют вычислительные мощности, путем простейшего перебора в режиме постобработки, можно найти оптимального кандидата, удовлетворяющего условию минимизации (29). Поиск начинается с целочисленного вектора, который является простым округлением вещественнозначной оценки. На каждом шагу поиска осуществляется коррекция размера области поиска (изначально размер выбирается в зависимости от количества требуемых векторов-кандидатов). После того, как решение найдено в декоррелированных координатах, производится обратное отображение и целочисленные неопределенности вычисляются в исходных координатах.

На выходе метода получаются разрешенные целочисленные неопределенности (целочисленные вектора-кандидаты, с наименьшими отклонениями от исходного вещественнозначного) и отклонения векторов-кандидатов в смысле метрики, соответствующей матрице ковариации.