Свойства определенного интеграла

1. Величина определённого интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования:

.

2. Определённый интеграл с равными пределами интегрирования равен нулю:

.

3. При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет знак:

.

4. свойство аддитивности: при любом взаимном расположении чисел a, b, c имеет место формула:

.

5. свойство линейности:

.

интеграл аддитивность линейность Вычисление определённого интеграла.

1. Формула Ньютона — Лейбница:

.

где F (x) — первообразная для f (x).

Пример 1. Вычислить интеграл .

2. Замена переменной: пусть f(x) — непрерывная на отрезке [a;b] функция, а функция и ее производная непрерывны на отрезке, где,. Тогда справедлива формула:

.

Вместе с заменой переменной в определенном интеграле заменяются пределы интегрирования.

Решение. Используем метод замены переменной. Положим. Тогда .

Находим новые пределы интегрирования, используя равенство замены переменной: если, то; если, то .

Получим:

=.

.

3. Интегрирование по частям: пусть u(x) и v(x) — непрерывные функции, которые имеют непрерывные производные на отрезке [a;b]. Тогда справедлива формула интегрирования по частям:

.

Задачи для самостоятельного решения.

1. ;

• 2. ;
• 3. ;
• 4. ;
• 5. ;
• 6. ;
• 7. ;
• 8. ;
• 9.; 1
• 0. ;
• 11.; 1
• 2.; 1
• 3.; 1
• 4.; 1

5. .

Домашнее задание.

1. ;

• 2. ;
• 3. ;
• 4. ;
• 5. ;
• 6. ;
• 7. .