Определение устойчивости разностной схемы

Как было показано в параграфе 7.1, приближенное решение и^(а), полученное с помощью разностной схемы (7.4), не отображает точного решения, хотя эта схема аппроксимирует задачу (7.1) со вторым порядком по h. Разностная схема должна обладать не только свойством аппроксимации, но также быть устойчивой.

Рассмотрим возмущенную разностную схему.

которая получается из разностной схемы (7.6) путем добавления в правую часть возмущения Е^(а Мы будем называть разностную схему (7.6) устойчивой, если существуют числа ho > 0 и 5 > 0 такие, что для любого h < ho и ||е^(я)|| < 8 разностная задача (7.12) имеет единственное решение и это решение отличается от на сеточную функцию — и^(а которая удовлетворяет оценке ||z^(rt) — u⁽^|| < С||е^(я*||, где константа С не зависит от h. Это неравенство означает, что малое возмущение правой части разностной схемы (7.6) приводит к малому возмущению решения.

В случае линейной дифференциальной задачи (7.5) следующее определение эквивалентно данному выше определению. Мы будем называть разностную схему (7.6) устойчивой, если для любой правой части разностная задача D/jUимеет единственное решение и выполняется оценка.

где константа С не зависит от h.