Заключение. 
Анализ векторного исчисления и его приложений

Понятие вектора, которое нашло широкое распространение в прикладных науках, явилось плодотворным и в геометрии. Аппарат векторной алгебры позволил упростить изложение некоторых сложных геометрических понятий, доказательства некоторых теорем школьного курса геометрии, позволил создать особый метод решения различных геометрических задач.

Таким образом, векторным (или линейным) пространством называется множество R, состоящее из элементов любой природы (называемых векторами), в котором определены операции сложения элементов и умножения элементов на действительные числа, удовлетворяющие условиям А. Выражение a1e1 + a2e2 + … + anen называется линейной комбинацией векторов e1, e2,…, en с коэффициентами a1, a2,…, an. Линейная комбинация (1) называется нетривиальной, если хотя бы один из коэффициентов a1, a2,…, an отличен от нуля. Векторы e1, e2,…, en называются линейно зависимыми, если существует нетривиальная комбинация, представляющая собой нулевой вектор. В противном случае (то есть если только тривиальная комбинация векторов e1, e2,…, en равна нулевому вектору) векторы e1, e2,…, en называется линейно независимыми.

Векторы (свободные) трёхмерного пространства удовлетворяют следующему условию (условие В): существуют три линейно независимых вектора; любые четыре вектора линейно зависимы (любые три ненулевых вектора, не лежащие в одной плоскости, являются линейно независимыми).

Векторное пространство называется n-мepным (или имеет «размерность n»), если в нём существуют n линейно независимых элементов e1, e2,…, en, а любые n + 1 элементов линейно зависимы (обобщённое условие В). Векторное пространство называются бесконечномерным, если в нём для любого натурального n существует n линейно независимых векторов.

Если в линейном пространстве существует линейно независимая система из векторов, а любая система из этого вектора линейно зависима, то число называется размерностью пространства и обозначается. В этом случае пространство называют — мерным линейным пространством илимерным векторным пространством. Любая упорядоченная линейно независимая система векторов линейного пространства образует базис пространства и любой вектор единственным образом выражается через векторы базиса.

Обычное скалярное произведение в трёхмерном пространстве этим аксиомам удовлетворяет. Векторное пространство, в котором определено скалярное произведение, удовлетворяющее перечисленным аксиомам, называется евклидовым пространством; оно может быть как конечномерным (n-мерным), так и бесконечномерным. Бесконечномерное евклидово пространство обычно называют гильбертовым пространством. Длина |x| вектора x и угол между векторами х и у евклидова пространства определяются через скалярное произведение.

Система векторов евклидова пространства называется ортонормированной, если векторы системы попарно ортогональны и имеют единичную длину. Базис конечномерного евклидова пространства называется ортонормированным базисом, если образующие его векторы попарно ортогональны и имеют единичную длину. Поскольку доказано, что в любом конечномерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис, будем рассматривать вмерном евклидовом пространстве только ортонормированные базисы. Простейший пример евклидова пространства дает нам пространство — пространство столбцов, в котором скалярное произведение введено формулой. Все евклидовы пространства размерности устроены так же, как пространство.