Мультипликативная модель Хольта-Уинтерса

Задания к контрольной работе.

Задание 1.

В каждом варианте приведены поквартальные данные о кредитах от коммерческого банка на жилищное строительство (в условных единицах) за 4 года (всего 16 кварталов, первая строка соответствует первому кварталу первого года).

Требуется:

1) Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания б₁ =0,3; б₂=0,6; б₃=0,3.

2) Оценить точность построенной модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации.

3) Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:

случайности остаточной компоненты по критерию пиков;

независимости уровней ряда остатков по d-критерию (критические значения d₁, = l, 10 и d₂=1,37) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении r₁ =0,32;

нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.

4) Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т. е. на 1 год.

5) Отразить на графике фактические, расчетные и прогнозные данные.

Решение:

1. Построение адаптивной мультипликативной модели Хольта-Уинтерса:

Исходные данные:

Таблица 1.

Для оценки начальных значений а (0) и b (0) применим линейную модель к первым 8 значениям Y (t) из таблицы 1. Линейная модель имеет вид:

Y_p(t) = a (0) + b (0) * t

Определим коэффициенты линейного уравнения а (0) и b (0) по формулам:

Произведем расчеты в Excel (рис.1):

Рис .1 расчеты в Excel

Уравнение с учетом полученных коэффициентов имеет вид:

Y_p(t) = 47 + 0,79*t

Из этого уравнения находим расчетные значения Y_p(t) и сопоставляем их с фактическими значениями (рис. 2):

Рис. 2

Такое сопоставление позволяет оценить приближенные значения коэффициентов сезонности кварталов F (-3), F (-2), F (-1) и F (0) Эти значения необходимы для расчета коэффициентов сезонности первого года F (1), F (2), F (3), F (4) и других параметров модели ХольтаУинтерса.

Рис. 3

Оценив значения а (0) и b (0), а также F (-3), F (-2), F (-1), F (0) перейдем к построению адаптивной модели Хольта Уинтерса.

Рассчитаем значения Yp (t), a (t), b (t), F (T) для t=1 значения параметров сглаживания б1=0,3, б2=0,6, б3=0,3.

Рис. 4

2. Проверка точности построенной модели.

Условие точности выполнено, если относительная погрешность в среднем не превышает 5%.

1,26%<5%, следовательно, условие точности выполнено.

3. Оценка адекватности построенной модели.

3.1 Проверка случайности уровней.

Гипотеза подтверждается если P > q, где

Функция int означает, что от полученного значения берется только целая часть.

Из таблицы P = 10, 6<10, т. е. можно заключить, что гипотеза выполнена.

3.2 проверка независимости уровней ряда остатков (отсутствия автокорреляции). Проверка проводится двумя методами:

а) по d-критерию Дарбина — Уотсона: табличные значения d₁ = 1,08, d₂ = 1,36

В данном случае имеет место отрицательная автокорреляция. В таком случае величину d уточняем, вычитая полученное значение из 4.

d' = 4 — d = 4−2,53 = 1,48

Уточненное значение d сравниваем с табличными значениями d1 и d2, в данном случае d₁=1,1 и d₂=1,37.

Так как d₂<1,48<2, то уровни ряда остатков являются независимыми.

б) по первому коэффициенту автокорреляции Для нашей задачи критический уровень r_таб = 0,32 — значит уровни независимы.

3.3 Проверка соответствия ряда остатков нормальному распределению по R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.

где, S = 0,93

Рис. 5

Полученное значение не попало в заданный интервал.

4. Построим точечный прогноз на 4 шага вперед.

Находим прогнозные значения экономического показателя для Y_p(t)

Рис. 6

5. Отразим на графике расчетные, фактические и прогнозные данные.

Рис. 7 Сопоставление расчетных и фактических данных.

Из рисунка видно, что расчетные данные хорошо согласуются с фактическими, что говорит об удовлетворительном качестве прогноза.

Задание 2.

Даны цены (открытия, максимальная, минимальная и закрытия) за 10 дней. Интервал сглаживания принять равным пяти дням. Рассчитать:

ѕ экспоненциальную скользящую среднюю;

ѕ момент;

ѕ скорость изменения цен;

ѕ индекс относительной силы;

ѕ %R, %K и %D.

Расчеты выполнить для всех дней, для которых эти расчеты можно выполнить на основании имеющихся данных.

Решение:

Введем исходные данные:

Рис. 8

Экспоненциальная скользящая средняя (ЕМА) определяется по формуле:

EMA_t = C_t*K + EMA_t-1*(1- K)

Где ,

C_t — цена закрытия

nинтервал сглаживания, n=5

Для вычисления экспоненциальной средней сформируем таблицу:

Рис. 9

Момент (МОМ) рассчитывается как разница конечной цены текущего дня и цены n дней тому назад:

Рис. 10

Рис. 11

Движение графика момента вверх (рис. 11) свидетельствует о повышении цен.

Скорость изменения цен (ROC):

Рис. 12

Рис. 13

ROC является отражением скорости изменения цены, а также указывает направление этого изменения. В качестве нулевой линии используется уровень 100%. Нахождения индекса выше линии 100 и положительная динамика в 7−9 дни говорит о сигнале к покупке. На 7−8 день скорость изменения цен была максимальной.

Индекс относительной силы (RSI).

Значения RSI изменяются от 0 до 100. Этот индикатор может подавать сигналы либо одновременно с разворотом цен, либо с опережением, что является важным его достоинством.

Для его расчета применяется формула:

Где AU — сумма приростков конечных цен за n дней;

AD — суммы убыли конечных цен за n дней.

Повышение цены рассчитываем по формуле: =ЕСЛИ ((H5-H4)>0;H5-H4;" «), а понижение =ЕСЛИ ((H4-H3)<0;ABS (H4-H3);» «)

Рис. 14

Отобразим на графике полученные значения RSI (рис. 15).

Рис. 15

Зоны перепроданности располагаются обычно ниже 25−20, а перекупленности — выше 75−80. Сигналом служит разворот RSI в указанных зонах и выход из нее. Как видно из рисунка, индекс относительной силы вошел в зону, ограниченной линией 80%, на 6−10 день. Это значит, что цены поднялись слишком высоко, надо ждать их падения и подготовится к продаже. Сигналом к продаже послужит момент выхода графика из зоны перепроданности.

Стохастические линии.

Смысл индексов %К и %R состоит в том, что при росте цен цена закрытия бывает ближе к максимальной цена, а при падении цен, наоборот, ближе к минимальной. Индексы %R и %К проверяют куда больше тяготеет цена закрытия.

Где %K_t — значение индекса текущего дня;

C_t — цена закрытия текущего дня;

L₅ и H₅ — соответственно минимальная и максимальная цены за 5 предшествующих дней, включая текущий.

Где %R_t — значение индекса текущего дня, t;

C_t — цена закрытия текущего дня t;

L_n и H_n — соответственно минимальная и максимальная цены за n предшествующих дней, включая текущий.

Составим таблицу расчета индексов стохастических линий и заполним ее (рис. 18).

В ячейку Е8 введем формулу =МАКС (B4:B8) и размножим ее, а в ячейку F8 формулу =МИН (C4:C8) и тоже размножим (рис. 16)

Рис. 16

В ячейку G8 введем формулу =D8-F8, в H8 =E8-D8, в I8 =E8-F8 и размножим их (рис. 17).

Рис. 17

Далее рассчитаем индексы (рис. 18).

Рис. 18 расчет индексов стохастических линий.

Медленное %D рассчитывается по формуле =СРЗНАЧ (N10:N12).

Критические значения %К (зона перекупленности) свидетельствуют о том, что можно ожидать скорого разворота тренда, т. е. падения цен. Как видно из графика и из таблицы если цена закрытия ближе к максимальной цене, то наблюдается рост цен, в противном случае, падение (рис. 19).

Рис. 19 Ценовой график.

Задание 3.

Выполнить различные коммерческие расчеты, используя данные, приведенные в таблице. В условии задачи значения параметров приведены в виде переменных. Например, S означает некую сумму средств в рублях, Т_лет — время в годах, i - ставку в процентах и т. д. По именам переменных из таблицы необходимо выбрать соответствующие численные значения параметров и выполнить расчеты.

3.1 Банк выдал ссуду, размером S руб. Дата выдачи ссуды — T_H, возврата — T_K. День выдачи и день возврата считать за 1 день. Проценты рассчитываются по простой процентной ставке i% годовых.

Найти:

3.1.1) точные проценты с точным числом дней ссуды;

3.1.2) обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды;

3.1.3) обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды.

3.2 Через T_дн дней после подписания договора должник уплатит S руб. Кредит выдан под i% годовых (проценты обыкновенные). Какова первоначальная сумма и дисконт?

3.3Через T_дн дней предприятие должно получить по векселю S руб. Банк приобрел этот вексель с дисконтом. Банк учел вексель по учетной ставке i% годовых (год равен 360 дням). Определить полученную предприятием сумму и дисконт.

3.4 В кредитном договоре на сумму S руб. и сроком на T_лет лет, зафиксирована ставка сложных процентов, равная i% годовых. Определить наращенную сумму.

3.5 Ссуда, размером S руб. предоставлена на Т_лет. Проценты сложные, ставка i% годовых. Проценты начисляются m раз в году. Вычислить наращенную сумму.

3.6 Вычислить эффективную ставку процента, если банк начисляет проценты m раз в году, исходя из номинальной ставки i% годовых.

3.7 Определить, какой должна быть номинальная ставка при начислении процентов m раз в году, чтобы обеспечить эффективную ставку i% годовых.

3.8 Через Т_лет предприятию будет выплачена сумма S руб. Определить ее современную стоимость при условии, что применяется сложная процентная ставка i% годовых.

3.9 через Т_лет по векселю должна быть выплачена сумма S руб. Банк учел вексель по сложной учетной ставке i% годовых. Определить дисконт.

3.10 В течение Т_лет на расчетный счет в конце каждого года поступает по S руб., на которые m раз в году начисляются проценты по сложной годовой ставке i%. Определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.

Решение.

3.1Используем формулу:

3.1.1 К = 365, t = 71,

3.1.2 К = 360, t = 71, .

3.1.3 К = 360, t = 71,

3.2 Используем формулы:

3.3 Используем формулы:

3.4 Используем формулу:

Где n — срок ссуды

3.5 Используем формулу:

3.6 Используем формулу:

3.7 Используем формулу:

3.8 Используем формулу:

3.9 Используем формулы:

3.10 Используем формулу: