Расчет верхней границы Pод для квазибиномиальной модели

Оценка Галлагера для P_од в случае квазибиномиальной модели q-ичного симметричного канала без памяти принимает следующий вид:

P_од exp {- n_j E_r ® }, (2.12).

E₀ ® = ^1+p(2.13).

При скорости кода RR_kp = оптимальное значение =1, а при R>R_kp оно находится из уравнения.

/ = R, (2.14).

где = .

Для биномиального канала (с независимыми ошибками), который является частным случаем квазибиномиального при P (v, i)=рⁱ (1—р)^v-i где р — вероятность ошибки символа, выражения (2.12), (2.13), (2.14), сводятся к случаю обычного ДСК без памяти, а параметр v влияет на P_од как v — кратное увеличение длины кодового блока n_f.

Рассмотрим другой частный случай — составной РЗК, который физически соответствует столь медленным замираниям, что коэффициент передачи канала практически не успевает изменяться на интервале Tv, где Т — длительность двоичного сигнала. Для такого канала.

P (v, i) = ,(2.15).

P (i, i) = ,(2.16).

где h² — тот же параметр, что и в (2.10).

На рис. 2 представлена зависимость E_r® как функция v для различных значений параметра h², рассчитанная на ЭВМ.

На рис. 3 показаны зависимости верхних границ P_од от v при длине кодовых блоков n_f =24 и различных параметрах h² и аналогичная зависимость для биномиального канала при той же вероятности ошибки символа p=1/(2+h²), что и в составном РЗК для h²=25.

Рис. 3 Зависимость верхних границ P_од

Из данных зависимостей видно, что, несмотря на сильную память по временной координате, переход от двоичного кодирования (v=l) к q=2^v-ичному при v>5—7 значительно увеличивает E_r®, а следовательно, уменьшает границу P_од. (Так, при переходе от v = l к v=7 P_од при h²=25, R= и n_f =24 уменьшается примерно на 6 порядков.) Этот результат является несколько неожиданным, поскольку, как уже отмечалось ранее, чисто «временное» кодирование почти не приводит к уменьшению P_од.

На рис. 4 показаны зависимости пропускной способности на бит q=2^v -ичного симметричного канала без памяти с переходными вероятностями (2.9) квазибиномиального составного РЗК (2.14), которая рассчитывалась на ЭВМ по известной формуле C = |_с=0.

Рис. 4 Зависимость пропускной способности

Здесь же показаны верхние границы С для пропускных способностей РЗК. (Заметим, что пропускная способность является асимптотической характеристикой, т. е. она реализуется в данном случае при n_f. Ранее было сделано предположение об ограниченности числа поднесущих n_f и поэтому понятие пропускной способности имеет смысл только как верхняя граница реализуемой скорости передачи при предельно малой величине P_од.).

Видно, что С при увеличении v монотонно возрастает, причем при v>50 наступает «насыщение». Значительное увеличение пропускной способности Рис. 4 (до 25%) можно получить, увеличивая v до величины 25—30, причем увеличение С происходит не за счет улучшения энергетики канала, расширения полосы частот сигналов и оптимизации формы непрерывных сигналов, а только за счет перехода от двоичного кодирования к q-ичному. Принципиально важным является выполнение процедуры декодирования в q-ичном канале по максимуму правдоподобия, а не исправление ошибок кратности менее t=[d/2]1 где d — минимальное кодовое расстояние q-ичного (n_f, k_f)-кода. Действительно, если выполнено условие 2^v n_f -1, то q-ичный код можно выбрать максимальным, например Рида — Соломона (PC). В этом случае, как известно d=n_f—k_f+1, и при исправлении только ошибок гарантированной кратности.

P_од = (2.17).

Рассчитывая P_од по (2.17) для составного РЗК, например, для случая, когда R=, h²=25, n_f =24 и v=30, получим P_од =, в то время как расчет P_од по (2.11) для тех же параметров дает P_од5,910^-14. Переход к исправлению только стираний тем же PC-кодом уменьшает P_од до величины 7,910^-7, однако для формирования стираний в q-ичных символах необходимо вводить дополнительную избыточность в строках матрицы рис. 1 для обнаружения ошибок и стирания тех q-ичных символов, где они обнаружены, что приводит к каскадному (n_t, k_t, п_f, k_f)-коду. Оптимизация в классе таких кодов при заданных параметрах n_f =24, R= k_tk_f / n_tп_f =¼, n_t=30, h²=25 обеспечивает P_од 10^-4, что, как видно, значительно хуже, чем использование q-ичного кода с такой же скоростью передачи и при тех же параметрах канала.

Рассчитаем энергетический выигрыш от применения q-ичных кодов с оптимальным алгоритмом декодирования по сравнению с системой связи без кодирования, использующей тот же самый многочастотный модем при одинаковых информационных скоростях передачи и одинаковых вероятностях правильного приема равного числа информационных символов. В блоке q-ичного кода содержится k_fv двоичных символов и вероятность их правильной доставки не меньше, чем 1—P_од. Тогда вероятность безошибочного приема k_fv бит в системе без кодирования, использующей k_f частот, равна вероятности безошибочного приема k_f блоков длины v на каждой из частот, что для составного РЗК с независимыми столбцами в различных строках матрицы рис. 1 приводит к соотношению.

P_од'= (v, 0). (2.18).

Задаваясь допустимой величиной P_од '= P_доп, находим, используя (2.15), (2.16), (2.18), необходимое для этого h₁². Далее полагая P_од = P_доп, где P_од рассчитывается по (2.12), находим требуемое для этого значение h² в системе с q-ичным кодированием. Энергетический выигрыш з (дБ) определим с учетом необходимости сокращения длительности элемента в 1/R раз в системе с кодированием для обеспечения равных информационных скоростей, что дает выражение з (дБ) = 10 (2.19).

Для примера, выбирая P_доп =10^-3, n_f =24, R=, v=5, получаем, что энергетический выигрыш от применения q-ичного кодирования составит 28 дБ. Заметим, что данное значение энергетического выигрыша можно рассматривать как предельную величину при ограничении на время запаздывания и число частот модема. Открытым является вопрос о практическом приближении к такому выигрышу с помощью конструктивных методов кодирования и декодирования.

Оставаясь в классе квазибиномиальных каналов, для которых справедлива граница (2.12), представляет интерес найти «худшую» функцию кратности P (v, i), дающую минимальное значение E_r® при заданной величине вероятности ошибки символа р. Такая постановка задачи соответствует нахождению экстремума функции.

f (, ,…, = (v, i)(2.20).

при дополнительных условиях.

+ (v, i)=p,(2.21).

(v, i)=1,(2.22).

Рис. 5 Зависимость E_r® как функция v

Решение данной задачи методом неопределенных множителей Лагранжа приводит к следующей границе для функции (2.20):

f (, ,…, ,.

где =.

=, (2.23).

На рис. 2 пунктиром показаны рассчитанные на ЭВМ зависимости E_r® от v при тех же параметрах R, n_f и h², что и для составного РЗК, но для «худшей» функции кратности (2.23). Видно, что они отличаются от составного РЗК незначительно и даже в этом случае E_r® существенно возрастает при увеличении v, что говорит о целесообразности q-ичного кодирования при медленных замираниях с произвольным законом распределения.