Вероятность случайного события

Рассмотрим случайный эксперимент, в котором наблюдается событие А. Повторим эксперимент n раз, и пусть событие, А наблюдалось k раз. Отношение v_n = k/n называется частотой события, А в этой серии экспериментов.

Если при увеличении n число v_n стремится к пределу р, то говорят, что событие, А устойчиво, а число р является вероятностью события^{.Вероятность} р может принимать значения:

0 < р < 1.

Другими словами, если эксперименту можно сопоставить пространство, состоящее из n возможных элементарных исходов этого эксперимента, а случайному событию, А благоприятствует k из этих элементарных исходов, то вероятность случайного события, А равна.

p (A) = -. (5.1).

Условной вероятностью события, А при условии, что произошло событие В, называют отношение.

P (A/B) = ^{P (A}' ^B), (5.2).

где АВ — случайное событие, которое включает элементарные исходы, принадлежащие одновременно событиям, А и В.

Теорема сложения вероятностей.

Для случайных событий, А и В справедливо:

Р (А+В) = Р (А) + Р (В) — Р (А* В),.

где Р (А+В) — вероятность появления одного из двух события А, либо В; Р (А * В) — вероятность совместного появления событий, А и В.

Вероятность появления события, А или В или С равна:

Р (А+В+С) = Р (А) + Р (В) + Р (С) — Р (А. В) — Р (А. С) ;

Р (В. С) + Р (А. В. С). (5.3).

Два события, А и В называют несовместными, если Р (А * В) =0. Для несовместных случайных событий, А и В справедливо:

Р (А + В) = Р (А) + Р (В). (5.4).

Группа случайных событий Л_ь A₂,… A_n образуют полную группу событий, если:

• а) объединение этих событий включает все возможные элементарные исходы эксперимента,
• б) ни одна пара случайных событий не имеет общих элементарных исходов.

Так как объединение событий полной группы является событием достоверным, то для таких событий имеет место равенство:

P (Ai) + Р (А2) +… Р (Ап) = 1. (5.5).

Два события А₁ и А₂ называются независимыми, если условная вероятность одного из них по отношению к другому равна безусловной вероятности этого же события:

P (A2/Ai) = Р (А2). (5.6).

Теорема умножения вероятностей.

Для независимых событий вероятность их совмещения равна произведению их вероятностей:

P (Ai A2) = P (A2) — P (Ai) (5.7).

Вероятность совмещения n событий, независимых в их совокупности, равна произведению вероятностей:

P (Ai A2 — ^ An) = P (Ai) ¦ P (A2) ¦… P (An). (5.8).

ПРИМЕР 1.

Найти вероятность р (А), что при бросании игральной кости выпадет число, которое делится на 3.

Решение При бросании на верхней грани кости могут выпасть числа:

1, 2, 3, 4, 5, 6. При этом событию, А благоприятствуют исходы, когда выпадают грани с цифрами 3 и 6.

Следовательно, число благоприятных исходов k = 2.

Тогда вероятность р (А) = 2/6 = 1/3.

ПРИМЕР 2.

В коробке 2 синих и 4 черных карандаша. Случайным образом из коробки выбирают 3 карандаша. Найти вероятность Р, что среди них окажутся 1 синий и 2 черных карандаша.

Решение.

Всего выриантов выбора 3-х карандашей из 6-ти:

N = С³6 = (6!/ 3! * 3!) = 20 Число благоприятных вариантов:

к = С`₂ * С²₄ = 2. 6 = 12.

ПРИМЕР 3.

На опыте предыдущих сессий студент с вероятностью р1 = 0,8 может успешно сдать экзамен, а с р2 = 0,9 — сдать зачет.

Найти Р₁, что он успешно сдаст экзамен, а зачет не сдаст.

Вероятность Р2, что он сдаст успешно и экзамен и зачет.

Решение.

Событие Э — результат экзамена и З — результат зачета — являются независимыми.

Для независимых событий вероятность их совместного появления (совмещения) равна:

Р1 = р1 * (1-р2) = 0,8. 0,1 = 0,08.

Р 2 = р1 * р2 = 0,8. 0,9 = 0,72.

ПРИМЕР 4.

Снайпер поражает одним выстрелом цель с р = 0,8.

На соревнованиях он должен совершить 3 выстрела по целям. Найти Р1, что он попадет первые два выстрела, а третиймимо. Найти Р₂, что он не попадет по целям ни разу.

Решение.

Результаты выстрелов являются независимыми, результат каждого выстрела не влияет на результаты остальных выстрелов. Отметим, что 1-р — вероятность того, что стрелок промажет по цели.

Тогда Р₁ = р * р * (1-р) — вероятность того, что стрелок первые два выстрела попадет, а третий — промажет.

Р1 = р * р * (1-р) = 0,8 * 0,8 * (1−0,8) = 0,128.

Тогда: Р2= (1- р)³ = (0,2)³ = 0,008.

ПРИМЕР 5.

Из колоды в 36 карт выбирают случайно 1 карту.

Найти Р, что это будет либо туз или карта масти пика.

Решение.

Воспользуемся формулой сложения вероятностей:

Р (Т +П) = Р (Т) + Р (П) — Р (Т * П) =.

= 4/36 + 9/36 — 1/36 = 1/3.

ЗАДАНИЕ.

• 1). Из колоды в 36 карт случайным образом вытаскивают 1 карту. Определить вероятность р (В), что вытащен валет.
• 2). В пачке 2 фальшивые денежные купюры и 8 настоящих. Из пачки вытащили одну за другой 2 купюры. Найти вероятность, что обе они окажутся фальшивыми.
• 3). В студенческой группе учатся 8 человек: 3 отличника и 5 двоечников. Случайным образом из группы выбраны 6 студентов. Найти вероятность Р, что среди отобранных студентов окажутся 2 отличника и 4 двоечника.
• 4). В коробке находятся 9 карандашей: 2 красных, 3 синих и 4 черных. Случайным образом из коробки отбирают 6 карандашей. Найти вероятность Р, что среди отобранных карандашей окажутся: 1 красный, 2 синих и 3 черных карандаша.
• 5). Два стрелка стреляют по цели. Вероятность попадания для первого р ₁ = 0,9, для второго р₂ =0,8. Найти вероятности, что
• а). В цель попадут оба стрелка.
• б). Первый стрелок попадет в цель второй выстрелит мимо.
• в). Оба стрелка выстрелят мимо.
• 6). В сессию студент сдает один экзамен с вероятностью р = 0,8. Найти вероятности, что из трех экзаменов:
  • а). Первые два экзамена он сдаст, а третий завалит.
  • б). Успешно сдаст все экзамены.
• 7). Спортсмен с вероятностью р₁ = 0,9 преодолевает первое препятствие, с р₂ = 0,8 — второе и с вероятностью р₃ = 0,85 — третье. Найти вероятность Р₁, что он в ходе соревнования преодолеет все три препятствия. Найти Р₂, что он преодолеет только первые два препятствия, а третье он не сможет преодолеть.
• 8). Из колоды в 36 карт выбирают случайно 1 карту.

Найти Р, что это будет либо дама или карта масти черви.