Отрицательные вероятности и локализация

Одной из причин трудностей в квантовой электродинамике является условие Лоренца, согласно которому дивергенция по четырём переменным от электромагни тного потенциала А должна равня ться нулю.

Для плотности фотонов, полученной из этого уравнения неразрывности, возникают те же проблемы, что и для плотности для уравнения закона сохранения Клейна-Гордона (4.1). Она не является положительно определённой (она не существует). Эта проблема возможно связана с тем фактом, что фотоны нс могут быть точно локализованы. Если бы это можно было сделать, мы смогли бы определить плотность фотонов как число фотонов в некотором произвольно малом объёме. Однако, для релятивистского поля такая плотность не определена.

Таким образом, мы можем предложить два способа описания действительности: (1) предполагать, что физические системы не могут быть локализованы с произвольной точностью и использовать колмогоровскую аксиоматическую теорию вероятностей; (2) предположить, что физические системы могут быть локализованы с произвольной точностью, но заменить колмогоровскую аксиоматику и создать вероятностные теории, где бы отрицательные вероятности (как и вероятности большие единицы) были бы математически корректно определены.

Если мы следуем (1), то мы должны отказаться от ‘непрерывной' модели пространства-времени, основанной на вещественных числах. Система вещественных чисел R описывает действительность с бесконечной точностью. Здесь физическая величина а представляется действительным числом:

где aj = 0.1, …, m — 1, а натуральное число т > 1 даёт шкалу измерения. Все числа в (5.1) могут быть измерены (по крайней мере теоретически), следовательно а ‘существует с бесконечной точностью.' Было бы естественно рассмотреть другие числовые системы, основанные на разложениях подобных разложению (5.1), и описывающие действительность с конечной точностью. Здесь мы могли бы использовать систему m-адических чисел Q_m, которые хорошо известны в теории чисел. Это величины вида:

где 0(j = 0,1, …, m — 1 (здесь только конечное число членов, соответствующих отрицательным степеням тп). Физическая теория, основанная на m-адическом ‘мире с конечной точностью' развита в работах [63], [65] (по сути, такая точка зрения тесно связана с теорией измерений, основанной на неортогональных операторозначных мерах, см. [24], [46], [81]).

Если мы следуем (2), тогда мы можем предположить, что физическую систему (в частности, фотон) можно локализовать с произвольной точностью (т.е. мы все еще можем пользоваться вещественным пространством в квантовой теории). Однако, более нельзя предполагать, что мы получим обыкновенные (колмогоровские или мизесовские) вероятности, если измерим статистические распределения соответствующие ‘вещественной локализации'.

Наши рассуждения о точности измерений физических величин и отрицательных вероятностях можно проиллюстрировать с помощью формализма теоретико-квантового описания излучения. Здесь мы следуем (см. обзор |90|) работе Вайсконфа и Вигнера, которые высчитали естественную линейную мощность радиактивиого распада возбужденного атома. Соответствующую амплитуду перехода можно переписать как.

при Е, обозначающей разность между фактической энергией фотона и средней энергией состояния Ео в единицах естественной мощности возбужденного состояния, и /, обозначающей временной интервал между возбуждением и распадом в единицах средней продолжительности жизни состояния.

Интересно рассмотреть спектральное распределение фотонов, выделенных за конечные временные интервалы. Для временного интервала (О,/) имеем величину.

которая несомненно является неотрицателььной при каждом Е и /. Спектральное распределение выделенных фотонов в момент времени /, тем не менее, I (E, t) = dA (E, t)²/dt, влечёт за собой отрицательные значения, как легко можно видеть из выражения.

Далее, если величина А (ЕЛ —" оо)|²

используется для нормализации /(Е, /), то мы получим нормализованную плотность вероятности распада р (Е,/) = /(Е, /)//погт (Е,/), которая может принимать отрицательные значения, так же как и значения превышающие единицу, а, если сё проинтегрировать по подходящим областям ДЕД/, сравнимым по малости с единицей (= /*), то нормализованная вероятность /?(Е,/)ДЕД/, которая является наблюдаемой величиной, может нарушить как нижний так и верхний предел колмогоровской аксиомы. Эти результаты проверены экспериментами.

Как уже отмечалось, если величины Ей/ измеряются с очень высокой точностью, ДЕД/ < hj2, тогда достаточно естественно появление отрицательных вероятностей.