Дифференциальное уравнение вынужденных электромагнитных колебаний. 
Резонанс напряжения и резонанс тока

Подключим колебательный контур, сопротивление которого равно R, к генератору переменной электродвижущей силы.

Рис. 9.7.

Колебательный контур с генератором ЭДС

где е_т и Q — амплитуда и частота напряжения (ЭДС), вырабатываемого генератором (рис. 9.7). В этом случае правило Кирхгофа дает уравнение.

которое преобразуем при помощи формул (9.6) и (9.7) к виду.

где функция U_e6(t) является общим решением (9.25) уравнения (9.23). Эта функция описывает так называемые свободные колебания. Функция где функция U = U (t) описывает колебания напряжения на конденсаторе. Общее решение этого уравнения представляет собой сумму двух функций:

U_e(t) есть частное решение уравнения (9.52). Она описывает вынужденные колебания, обусловленные действием подключенного к контуру генератора. Свободные колебания затухают с течением времени. Вынужденные колебания совершаются до тех пор, пока не перестанет действовать генератор. После того как прекратятся свободные затухающие колебания (т.е. обратится в ноль первое слагаемое в формуле (9.53), описывающее эти колебания), в контуре будут происходить только вынужденные колебания, которые в таком случае называются установившимися.

Будем искать частное решение уравнения (9.52), которое описывает установившиеся колебания, в виде.

где U_m ~ амплитуда вынужденных колебаний напряжения на конденсаторе, ф — начальная фаза этих колебаний. Найдем производные этой функции.

Подстановка функции (9.54) и ее производных в уравнение (9.52) приводит к равенству.

Преобразуем это равенство при помощи тригонометрических формул.

Сгруппировав слагаемые, содержащие cos Qt и sinQ<, получим равенство

Это равенство будет выполняться при любых значениях времени t, если равны коэффициенты при cos Qt и sin Qt в левой и правой частях равенства:

Возведем уравнения (9.55) и (9.56) в квадрат и сложим полученные таким образом уравнения. Придем к уравнению.

из которого найдем, что амплитуда вынужденных колебаний напряжения на конденсаторе.

Из уравнения (9.56) найдем начальную фазу tp вынужденных колебаний.

Как видно из формулы (9.57), амплитуда вынужденных колебаний напряжения на конденсаторе зависит от частоты генератора электродвижущей силы. При ft = 0 генератор вырабатывает постоянное напряжение е_т. В этом случае ток в контуре отсутствует и напряжение на конденсаторе равно напряжению на клеммах генератора U_m = е_т. При увеличении частоты генератора амплитуда U_m вынужденных колебаний напряжения на конденсаторе увеличивается, достигая наибольшего значения, когда частота генератора принимает значение ft_p, называемое резонансной частотой; а затем при дальнейшем увеличении ft уменьшается до нуля. График зависимости U_m = ?/_m(ft), определяемой формулой (9.57), представлен на рис. 9.8. Такого вида кривые называются резонансными, а само явление увеличения амплитуды вынужденных колебаний, когда их частота приближается к резонансному значению, — резонансом.

Рис. 9.8. Резонанс напряжения на конденсаторе.

Резонансную частоту ft_p можно найти из условия максимума функции Um = U_m(Q)

Подставив в это условие производную функции (9.57), получим уравнение.

из которого найдем, что.

Этому значению частоты соответствует наибольшее (резонансное) значение амплитуды напряжения.

Анализируя формулу (9.59), приходим к выводу, что функция U_m = =^m (^) имеет максимум при условии, что.

т.е. когда коэффициент затухания 0 принимает достаточно низкие значения. Если свободные колебания в контуре затухают очень быстро (0 > <*о/%/2), то резонанс невозможен. Чем меньше коэффициент затухания в, тем ближе значение Q_p резонансной частоты к собственной частоте и₀ контура и тем больше резонансное значение U_mp амплитуды напряжения, как это видно из формулы (9.60).

Подставив функцию (9.54) в формулу (9.8), найдем зависимость силы тока от времени.

которое описывает установившиеся вынужденные колебания силы тока в контуре. Амплитуда этих колебаний, как следует из формул (9.57) и (9.61), будет.

Нетрудно видеть, что это выражение при любых значениях частоты Q неотрицательно. При Q = 0 и Q — оо амплитуда силы тока обращается в ноль. Найдем наибольшее значение амплитуды 1_т силы тока из условия.

Подставив функцию (9.62) в это условие, после ее дифференцирования и элементарных преобразований полученного уравнения найдем, что амплитуда /_т силы тока достигает наибольшего значения при.

т.е. резонансная частота для силы тока равна собственной частоте контура. График функции 1_т = /_т(П) представлен на рис. 9.9.

Резонансное значение силы тока.

Интересно отметить, что это значение совпадает со значением силы постоянного тока, который протекает по проводнику сопротивления Я, когда к нему приложено постоянное напряжение е_т.

Найдем значения частоты Q, которым соответствует значение амплитуды силы тока в /2 раз меньшее резонансного значения:

При помощи формул (9.62) и (9.63) это уравнение можно записать так:

После возведения этого уравнения в квадрат и простых преобразований придем к уравнению.

Рис. 9.9. Резонанс силы тока в колебательном контуре.

Из этого уравнения найдем, что ширина AQ (рис. 9.9) резонансной кривой на уровне /тр/ч/2.

Так как для частот.

справедливо приближенное равенство будем иметь.

При помощи соотношения (9.31), которое справедливо при (3 < и₀, этой формуле можно придать вид.

Таким образом, приходим к заключению, что относительная ширина ДП/о>₀ резонансной кривой обратно пропорциональна добротности контура Q. Отсюда следует, что чем выше добротность контура, тем «острее» резонансная кривая.