Формула Бернулли. 
Формула Пуассона

Пусть производится N независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события, А равна р.

Тогда вероятность того, что событие, А появится в этих N испытаниях ровно m раз, выражается формулой Бернулли:

Р^т) = CN^m * p^m * (1- p)^{N — m} (5.9).

Если р отлично от 0 или 1, то наивероятнейшее число m₀ наступлений события, А в серии из N испытаний равно.

Np — g < m₀ < Np + р, (5.10).

где g = 1- р.

Если число испытаний N велико, а вероятность появления события, А мало (р ~ 0), то, обозначив Np = а, получаем формулу Пуассона:

Формула Пуассона определяет вероятность появления события, А ровно m раз в большой серии испытаний с малой вероятностью наступления этого события в каждом эксперименте.

ПРИМЕР 1.

1. Баскетболист попадает в корзину со штрафного броска с вероятностью р= 0,8. Найти вероятность Р, что в серии из N = 5 бросков он попадет ровно m = 4 раза.

Решение.

Согласно формуле Бернулли:

Р5(4) = C5⁴. p⁴. (1- p)¹ =.

= * (0,8)⁴ * (0,2)^l * 0,41.

Наивероятнейшее число попаданий равно:

5 * 4/5 — 1/5 < m0 < 5 * 4/5 + 4/5, т. е. 3 < М0 < 5.

ПРИМЕР 2.

Как правило, спортсмен побеждает в каждом 5 -ом забеге, который он проводит в течение сезона.

Найти Р, что в этом году он победит в 2-х забегах из 4-х?

Решение.

Вероятность победы в 1 -ом забеге р = 1/5 = 0,2.

Тогда:

Р4(2) = C4². p². (1- p)² = 6. (0,2)². (1−0,2)² * 0,154.

ПРИМЕР 3.

Как правило, проверку на допинг-контроль успешно проходит 99% спортсменов. Найти вероятность, что при проверке 100 спортсменов будет получено ровно два положительных результа.

Решение.

Вероятность положительного результата при проверке од ного спортсмена p = 1 — 0,99 = 0,01.

В этом случае: а = 100 * 0,01 = 1.