Момент инерции тела. 
Теорема Штейнера

См. билеты номер 12 и 15.

В общем случае вращения тела произвольной формы вокруг произвольной оси, вычисление момента инерции может быть произведено с помощью теоремы Штейнера: момент инерции относительно произвольной оси равен сумме момента инерции J0 относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр инерции тела, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями:

J=J0+ma2.

Например, момент инерции диска относительно оси О' в соответствии с теоремой Штейнера:

Момент инерции тонкого диска

.

Рис. Вычисление момента инерции однородного диска

Вычислим момент инерции однородного диска относительно оси, перпендикулярной к плоскости диска и проходящей через его центр (рис.).

Поскольку диск однороден, плотность можно вынести из-под знака интеграла. Элемент объема диска dV = 2рr· b·dr, где b— толщина диска. Таким образом,.

.

где R — радиус диска. Введя массу диска, равную произведению плотности на объем диска р· R2 b, получим:

.

Поле. Силовое поле. Работа и кинетическая энергия

Рассмотрим тело или систему тел в отсутствие внешних сил. Система тел, на которую не действуют внешние силы (или векторная сумма этих сил равна нулю), является замкнутой. В этом случае F=0.

В отсутствие внешних сил сохраняется еще одна скалярная величина. Если умножить уравнение одновременно слева и справа на вектор скорости, в левой части окажется производная от полного дифференциала, и уравнение примет вид.

.

Пусть F = 0. Тогда постоянной во время движения является величина.

Она называется кинетической энергией частицы. При отсутствии внешних сил, т. е. в замкнутой системе, сохраняется кинетическая энергия как в случае одного тела, так и для системы тел. Когда на частицу действует внешняя сила F, кинетическая энергия не остается постоянной. В этом случае приращение кинетической энергии за время dt равно скалярному произведению. Величина dA = — это работа, совершаемая силой F на пути dr.

Проинтегрируем соотношениевдоль некоторой траектории от точки 1 до точки 2:

Левая часть представляет собой приращение кинетической энергии на пути между точками 1 и 2, а величина есть работа силы на пути 1—2.

Таким образом, работа сил, действующих на частицу, расходуется на изменение ее кинетической энергии:

Соответственно, изменение кинетической энергии частицы служит мерой работы, произведенной над частицей.

Если частица в каждой точке пространства подвержена действию других тел, то говорят, что эта частица находится в поле сил. В случае силового поля действие силы распределено по всему пространству. Рассмотрим такое поле сил, действие которого на частицу зависит только от положения частицы в пространстве. Такое поле можно описать с помощью некоторой скалярной функции ц (r), зависящей, а соответствии со сказанным, только от координат. Это случай специального, но часто встречаемого в природе потенциального поля, а функция ц (r), характеризующая поле, является потенциалом поля. Сила связана с потенциалом в каждой точке соотношением.

.

где постоянная определяется свойствами частицы, взаимодействующей с полем сил.

Подставим соотношение, в и опять проинтегрируем вдоль траектории от точки 1 до точки 2. Получим: T₂ — T₁ +const(ц₂ — ц₁) = О, т. е. величина T₂ +const· ц₂ = T₁ +const· ц₁

остается постоянной при движении вдоль траектории. Таким образом, для частицы в потенциальном поле внешней силы сохраняется, т. е. является интегралом движения, величина.

E = T+const· ц (r).

Величина U = const· ц (r) называется потенциальной энергией частицы в поле ц (r), а выражение представляет собой полную механическую энергию частицы.

E = T + U.