Осциллятор с затуханием

В качестве модели консервативного гармонического осциллятора возьмём груз массы m, закреплённый на пружине жесткостью k. Пусть x — это смещение груза относительно положения равновесия.

Взяв за основу ту же модель, добавим в нее силу вязкого трения. Сила вязкого трения направлена против скорости движения груза относительно среды и пропорциональна этой скорости. Тогда полная сила, действующая на груз, записывается так:

Проводя аналогичные действия, получаем дифференциальное уравнение, описывающее затухающий осциллятор.

Здесь введено обозначение: 2 г = б / m. Коэффициент г носит название постоянной затухания. Он тоже имеет размерность частоты.

Решение же распадается на три случая.

· При малом трении (г < щ₀) общее решение записывается в виде:

x(t) = Ae ^{? гt}sin(щ_ft + ц),.

где — частота свободных колебаний.

· Затухание г = щ₀ называют критическим. Начиная с такого значения показателя затухания, осциллятор будет совершать так называемое неколебательное движение. В граничном случае движение происходит по закону:

x(t) = (A + Bt)e — ^гt

· При сильном трении г > щ₀ решение выглядит ещё по-другому.

где.

Критическое затухание примечательно тем, что именно при критическом затухании осциллятор быстрее всего стремится в положение равновесия. Если трение меньше критического, он дойдет до положения равновесия быстрее, однако «проскочит» его по инерции, и будет совершать колебания. Если трение больше критического, то осциллятор будет экспоненциально стремиться к положению равновесия, но тем медленнее, чем больше трение.

Поэтому в стрелочных индикаторах (например, в амперметрах) обычно стараются ввести именно критическое затухание, чтобы прочитать его показания можно было максимально быстро.