Моделирование тенденции временного ряда

Одним из наиболее распространенных способов моделирования тенденции временного ряда является построение аналитической функции, характеризующей зависимость уровней ряда от времени, или тренда. Этот способ называют аналитическим выравниванием временного ряда.

Пусть имеются следующие фактические уровни ряда:

у₁, у₂,.. ., у_n.

Характер изменения этих уровней, то есть движения динамического ряда, может быть различным. Нашей задачей является нахождение такой простой математической формулы, которая давала бы возможность вычислить теоретические уровни. Основное требование, предъявляемое к этой формуле, состоит в том, что уровни, исчисленные по ней, должны воспроизводить общую тенденцию фактических уровней.

Поскольку зависимость от времени может принимать разные формы, для ее формализации можно использовать различные виды функций. Для построения трендов чаще всего применяются следующие функции:

· линейный тренд:

y_t = a₀ + a₁t;

· гипербола:

y_t =a₀ + a₁/t;

· экспоненциальный тренд:

y_t = e ^{a + bt} ;

· тренд в форме степенной функции:

y_t = at^b;

· парабола второго и более порядков:

y_t = a₀ + a₁t + a₂ t ² +. .. +a_k t ^k .

Аналитическое выравнивание есть не что иное, как удобный способ описания эмпирических данных.

Общие соображения при выборе типа линии, по которой производится аналитическое выравнивание, могут быть сведены к следующим:

1) Если абсолютные приросты уровней ряда по своей величине колеблются около постоянной величины, то математической функцией, уравнение которой можно принять за основу аналитического выравнивания, следует считать прямую линию:

y_t = a₀ + a₁ t,.

где y_t считается как у, выровненный по t.

2) Если приросты приростов уровней, то есть ускорения, колеблются около постоянной величины, то за основу аналитического выравнивания, следует принять параболу второго порядка:

y_t = a₀ + a₁ t + a₂ t ².

Показатели а₀, а₁ и а₂ представляют собой в каждом отдельном случае выравнивания постоянные величины, называемые параметрами: а₀ -начальный уровень; а₁ — начальная скорость ряда и а₂ — ускорение или вторая скорость.

3) Если уровни изменяются с приблизительно постоянным относительным приростом, то выравнивание производится по показательной (экспонентной функции):

y_t = a₀ a₁^t.

В этих же целях можно использовать и коэффициенты автокорреляции уровней ряда. Тип тенденции можно определить путём сравнения коэффициентов автокорреляции первого порядка, рассчитанным по исходным и преобразованным уровням ряда. Если временной ряд имеет линейную тенденцию, то его соседние уровни y_t и y _t —₁ тесно коррелируют. В этом случае коэффициент автокорреляции первого порядка уровней исходного ряда должен быть высоким. Если временной ряд содержит нелинейную тенденцию, например, в форме экспоненты, то коэффициент автокорреляции первого порядка по логарифмам уровней исходного ряда будет выше, чем соответствующий коэффициент, рассчитанный по уровням ряда. Чем сильнее выражена нелинейная тенденция в изучаемом временном ряде, тем в большей степени будут различаться значения указанных коэффициентов.

При обработке информации на компьютере выбор вида уравнения тенденции обычно осуществляется экспериментальным методом, то есть путём сравнения величины остаточной дисперсии D_ост, рассчитанной при разных моделях. Имеют место отклонения фактических данных от теоретических (у — у_t). Величина этих отклонений и лежит в основе расчёта остаточной дисперсии:

Чем меньше величина остаточной дисперсии, тем лучше данное уравнение подходит к исходным данным.

По данным, взятым из соответствующей таблицы, выполнить следующие действия:

• 1. Построить поле корреляции и сформулировать гипотезу о форме связи.
• 2. Рассчитать параметры уравнений линейной, степенной, экспоненциальной, полулогарифмической, обратной, гиперболической парной регрессии.
• 3. Оценить тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.
• 4. Дать с помощью среднего (общего) коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.
• 5. Оценить с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнений.
• 6. Оценить с помощью F-критерия Фишера статистическую надежность результатов регрессионного моделирования. По значениям характеристик, рассчитанных в пп. 4, 5 и данном пункте, выбрать лучшее уравнение регрессии и дать его обоснование.
• 7. Рассчитать прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 5% от его среднего уровня. Определить доверительный интервал прогноза для уровня значимости б=0,05.

Оценить полученные результаты, выводы оформить в аналитической записке.

Таблица 1.

1. Построить поле корреляции и сформулировать гипотезу о форме связи Сопоставив имеющиеся данные х и у, например, ранжировав их в порядке возрастания фактора х, можно наблюдать наличие прямой зависимости между признаками, когда увеличение среднедушевого прожиточного минимума увеличивает среднедневную заработную плату. Исходя из этого, можно сделать предположение, что связь между признаками прямая и её можно описать уравнением прямой. Этот же вывод подтверждается и на основе графического анализа.

Рис. 1.1 Поле корреляции по данным таблицы

Анализ поля корреляции показывает наличие близкой к прямолинейной зависимости, так как точки расположены практически по прямой линии.

• 2. Рассчитать параметры уравнений линейной, степенной, экспоненциальной, полулогарифмической, обратной, гиперболической парной регрессии
• а) Для расчёта параметров уравнения линейной регрессии

Для расчета параметров регрессии построим расчетную таблицу.

Таблица 2.

Для наших данных система уравнений имеет вид.

• 10a + 4438 b = 9115
• 4438 a + 2 118 258 b = 4 227 927

Домножим уравнение (1) системы на (-443.8), получим систему, которую решим методом алгебраического сложения.

• -4438a -1 969 584.4 b = -4 045 237
• 4438 a + 2 118 258 b = 4 227 927

Получаем:

148 673.6 b = 182 690.

Откуда b = 1.2288.

Теперь найдем коэффициент «a» из уравнения (1):

• 10a + 4438 b = 9115
• 10a + 4438 * 1.2288 = 9115
• 10a = 3661.59

a = 366.1589.

Получаем эмпирические коэффициенты регрессии: b = 1.2288, a = 366.1589.

Уравнение регрессии (эмпирическое уравнение регрессии):

y = 1.2288 x + 366.1589.

б) Для расчёта параметров уравнения степенной регрессии. Построению степенной модели.

предшествует процедура линеаризации переменных. В примере линеаризация производится путем логарифмирования обеих частей уравнения:

.

Где.

Таблица 3.

Для наших данных система уравнений имеет вид.

• 10a + 26.3 b = 29.51
• 26.3 a + 69.32 b = 77.71

Домножим уравнение (1) системы на (-2.63), получим систему, которую решим методом алгебраического сложения.

• -26.3a -69.17 b = -77.62
• 26.3 a + 69.32 b = 77.71

Получаем:

0.15 b = 0.0884.

Откуда b = 0.583.

Теперь найдем коэффициент «a» из уравнения (1):

• 10a + 26.3 b = 29.51
• 10a + 26.3 * 0.583 = 29.51
• 10a = 14.18

a = 1.4183.

Получаем эмпирические коэффициенты регрессии: b = 0.583, a = 1.4183.

Уравнение регрессии (эмпирическое уравнение регрессии):

y = 10^{1.41 825 383}x^0.583 = 26.19714x^0.583

в) Рассчитаем параметры уравнений экспоненциальной парной регрессии. Построению экспоненциальной модели.

предшествует процедура линеаризации переменных. В примере линеаризация производится путем логарифмирования обеих частей уравнения:

.

Где.

Таблица 4.

Для наших данных система уравнений имеет вид.

• 10a + 4438 b = 29.51
• 4438 a + 2 118 258 b = 13 185.98

Домножим уравнение (1) системы на (-443.8), получим систему, которую решим методом алгебраического сложения.

• -4438a -1 969 584.4 b = -13 098.62
• 4438 a + 2 118 258 b = 13 185.98

Получаем:

148 673.6 b = 87.36.

Откуда b = 0.588.

Теперь найдем коэффициент «a» из уравнения (1):

• 10a + 4438 b = 29.51
• 10a + 4438 * 0.588 = 29.51
• 10a = 26.91

a = 2.6907.

Получаем эмпирические коэффициенты регрессии: b = 0.588, a = 2.6907.

Уравнение регрессии (эмпирическое уравнение регрессии):

y = 10^{2.69 070 171}e^0.588x = 490.57082e^0.588x

г) Рассчитаем параметры уравнений полулогарифмической парной регрессии. Построению полулогарифмической модели.

предшествует процедура линеаризации переменных. В примере линеаризация производится путем замены:

.

Где Таблица 5.

Для наших данных система уравнений имеет вид.

• 10a + 26.3 b = 9115
• 26.3 a + 69.32 b = 24 157.99

Домножим уравнение (1) системы на (-2.63), получим систему, которую решим методом алгебраического сложения.

• -26.3a -69.17 b = -23 972.45
• 26.3 a + 69.32 b = 24 157.99

Получаем:

0.15 b = 185.54.

Откуда b = 1212.2516.

Теперь найдем коэффициент «a» из уравнения (1):

• 10a + 26.3 b = 9115
• 10a + 26.3 * 1212.2516 = 9115
• 10a = -22 767.22

a = -2276.6832.

Получаем эмпирические коэффициенты регрессии: b = 1212.2516, a = -2276.6832.

Уравнение регрессии (эмпирическое уравнение регрессии):

y = 1212.2516 ln (x) -2276.6832.

д) Рассчитаем параметры уравнений обратной парной регрессии. Для оценки параметров приведем обратную модель.

к линейному виду, заменив.

.

Тогда Таблица 6.

Для наших данных система уравнений имеет вид.

• 10a + 4438 b = 29.51
• 4438 a + 2 118 258 b = 13 185.98

Получаем эмпирические коэффициенты регрессии: b = 0.588, a = 2.6907.

Уравнение регрессии (эмпирическое уравнение регрессии):

y = 10^2.6907*10^0.588x = 490.57 082*1.135^x

е) Рассчитаем параметры уравнений равносторонней гиперболы парной регрессии. Для оценки параметров приведем модель равносторонней гиперболы.

к линейному виду, заменив.

.

Тогда.

Таблица 7.

Для наших данных система уравнений имеет вид.

• 10a + 0.0244 b = 9115
• 0.0244 a + 6.5E-5 b = 21.21

Домножим уравнение (1) системы на (-0.244), получим систему, которую решим методом алгебраического сложения.

• -0.0244a -6.0E-5 b = -22.24
• 0.0244 a + 6.5E-5 b = 21.21

Получаем:

5.0 E-6 b = -1.03.

Откуда b = 17 518.3948.

Теперь найдем коэффициент «a» из уравнения (1):

• 10a + 0.0244 b = 9115
• 10a + 0.0244 * 17 518.3948 = 9115
• 10a = 8687.55

a = 868.7188.

Получаем эмпирические коэффициенты регрессии: b = 17 518.3948, a = 868.7188.

Уравнение регрессии (эмпирическое уравнение регрессии):

y = 17 518.3948 / x + 868.7188.

• 3. Оценить тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации
• · Линейная модель. Был получен следующий коэффициент корреляции, что говорит о прямой средней связи фактора и результата. Коэффициент детерминации

rІ_xy=(0,835)І=0,6975.

Это означает, что 69,75% вариации результативного признака объясняется вариацией фактора х.

• · Степенная модель. Был получен следующий индекс корреляции, что говорит о высокой связи, немного больше чем в линейной модели. Коэффициент детерминации rІ_xy=0,728. Это означает, что 72,79% вариации результативного признака объясняется вариацией фактора х.
• · Экспоненциальная модель. Был получен следующий индекс корреляции, что говорит о том, что связь высокая. Коэффициент детерминации rІ=0,717. Это означает, что 71,72% вариации результативного признака объясняется вариацией фактора.
• · Полулогарифмическая модель. Был получен следующий индекс корреляции с_xy=0,23 что говорит о том, что связь средняя, но немного меньше чем в предыдущих моделях. Коэффициент детерминации rІ_xy=0,7. Это означает, что 69,99% вариации результативного признака объясняется вариацией фактора х.
• · Гиперболическая модель. Коэффициент детерминации rІ_xy=-0,118. связь слабая. Это означает, что -11,84% вариации результативного признака объясняется вариацией фактора х.
• · Обратная модель. Был получен следующий индекс корреляции с_xy=0,831, что говорит о том, что связь средняя. Коэффициент детерминации rІ_xy=0,691. Это означает, что 69,06% вариации результативного признака объясняется вариацией фактора х.

Вывод: по степенному уравнению получена наибольшая оценка тесноты связи: с_xy=0,85 (по сравнению с линейной, степенной, экспоненциальной, гиперболической, обратной регрессиями). Все уравнения регрессии показывают, что между факторами существует очень высокая связь.

• 4. Дать с помощью среднего (общего) коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи фактора с результатом
• · Для линейной:

Коэффициент эластичности находится по формуле:

Коэффициент эластичности меньше 1. Следовательно, при изменении Х на 1%, Y изменится менее чем на 1%. Другими словами — влияние Х на Y не существенно.

· Для степенной:

Коэффициент эластичности находится по формуле:

E = b = 0.58.

Коэффициент эластичности меньше 1. Следовательно, при изменении Х на 1%, Y изменится менее чем на 1%. Другими словами — влияние Х на Y не существенно.

· Для экспоненциальной:

Коэффициент эластичности находится по формуле:

E = 443.8(0.588) = 0.26.

Коэффициент эластичности меньше 1. Следовательно, при изменении Х на 1%, Y изменится менее чем на 1%. Другими словами — влияние Х на Y не существенно.

· Для логарифмической:

Коэффициент эластичности находится по формуле:

В нашем примере коэффициент эластичности больше 1. Следовательно, при изменении Х на 1%, Y изменится более чем на 1%. Другими словами — Х существенно влияет на Y.

· Для обратной:

Коэффициент эластичности находится по формуле:

E = b = 0.588.

Коэффициент эластичности меньше 1. Следовательно, при изменении Х на 1%, Y изменится менее чем на 1%. Другими словами — влияние Х на Y не существенно.

· Для равносторонней гиперболической:

Коэффициент эластичности меньше 1. Следовательно, при изменении t на 1%, Y изменится менее чем на 1%. Другими словами — влияние t на Y не существенно.

Известно, что коэффициент эластичности показывает связь между фактором и результатом, т. е. на сколько % изменится результат y от своей средней величины при изменении фактора х на 1% от своего среднего значения. В данном примере получилось, что самая большая сила связи между фактором и результатом в логарифмической модели, слабая сила связи в равносторонней гиперболической модели.

5. Оценить с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнений Для линейной:

В среднем, расчетные значения отклоняются от фактических на 7.92%. Поскольку ошибка больше 7%, то данное уравнение не желательно использовать в качестве регрессии.

Для степенной:

В среднем, расчетные значения отклоняются от фактических на 1.1%. Поскольку ошибка меньше 7%, то данное уравнение можно использовать в качестве регрессии.

Для экспоненциальной:

В среднем, расчетные значения отклоняются от фактических на 1.16%. Поскольку ошибка меньше 7%, то данное уравнение можно использовать в качестве регрессии.

Для логарифмической:

В среднем, расчетные значения отклоняются от фактических на 7.5%. Поскольку ошибка больше 7%, то данное уравнение не желательно использовать в качестве регрессии.

Для обратной:

В среднем, расчетные значения отклоняются от фактических на 1.16%. Поскольку ошибка меньше 7%, то данное уравнение можно использовать в качестве регрессии.

Для раносторонней гиперболической:

Поскольку ошибка больше 7%, то данное уравнение не желательно использовать в качестве тренда.

6. Оценить с помощью F-критерия Фишера статистическую надежность результатов регрессионного моделирования. По значениям характеристик, рассчитанных в пп. 4, 5 и данном пункте, выбрать лучшее уравнение регрессии и дать его обоснование

Для линейной:

Табличное значение критерия со степенями свободы k₁=1 и k₂=8, F_табл = 5.32.

Для степенной:

Табличное значение критерия со степенями свободы k₁=1 и k₂=8, F_табл = 5.32.

Для экспоненциальной:

Табличное значение критерия со степенями свободы k₁=1 и k₂=8, F_табл = 5.32.

Для логарифмической:

аналитический выравнивание моделирование статистический Табличное значение критерия со степенями свободы k₁=1 и k₂=8, F_табл = 5.32.

Для обратной:

Табличное значение критерия со степенями свободы k₁=1 и k₂=8, F_табл = 5.32.

Для равносторонней гиперболической:

Находим из таблицы Fkp (1;8;0.05) = 5.32.

где m — количество факторов в уравнении тренда (m=1).

Поскольку F < Fkp, то коэффициент детерминации (и в целом уравнение тренда) статистически не значим.

7. Рассчитать прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 5% от его среднего уровня. Определить доверительный интервал прогноза для уровня значимости б=0,05.

Для линейной:

Несмещенной оценкой дисперсии возмущений является величина:

S² = 12 171.147 — необъясненная дисперсия (мера разброса зависимой переменной вокруг линии регрессии).

• S = 110.32
• — стандартная ошибка оценки (стандартная ошибка регрессии).

Рассчитаем границы интервала, в котором будет сосредоточено 95% возможных значений Y при неограниченно большом числе наблюдений и X_p = 0.05.

t_крит (n-m-1;б/2) = (8;0.025) = 2.306.

y (0.05) = 1.229*0.05 + 366.159 = 366.22.

Вычислим ошибку прогноза для уравнения.

y = bx + a.

или.

• 366.22 ± 303.635
• (62.59;669.86)

С вероятностью 95% можно гарантировать, что значения Y при неограниченно большом числе наблюдений не выйдет за пределы найденных интервалов.

Вычислим ошибку прогноза для уравнения.

y = bx + a + е.

(-29.91;762.35).

Выводы: Линейный коэффициент парной корреляции равен 0,835, следовательно, связь изучаемых явлений является заметной, прямой.

Коэффициент детерминации равен 0,6975, т. е. вариация результата на 69,75% объясняется вариацией фактора х.

С увеличением средняя заработная плата и выплаты социального характера на 0,6%, то потребительские расходы в расчете на душу населения возрастает в среднем на 6%.

Средняя ошибка аппроксимации равна 7,92%, что попадает в допустимый предел значений 8−10% и говорит о том, что расчетные значения отклоняются от фактических примерно на 3%.

Полученное значение F-критерия превышает табличное, следовательно, параметры уравнения и показателя тесноты статистически незначимы.

И гипотеза Hо о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признается их статистическая значимость и надежность.

Интервал от -29,91 до 762,35 тыс. руб. ожидаемой величины среднего размера назначенных ежемесячных пенсий довольно широкий. Значительная неопределенность прогноза линии регрессии, связана, прежде всего, с малым объемом выборки (n =10), а также тем, что по мере удаления x_p от ширина доверительного интервала увеличивается.