Физические уравнения. 
Основные характеристики сопротивления материалов

Деформации относительного удлинения (2.47) и сдвига (2.42) связаны законом Гука (1.19), (1.21) с нормальными напряжениями и касательными напряжения, действующими в поперечном сечении стержня (рис. 2.7):

(2.49).

. (2.50).

Рис. 2.7. Нормальные и касательные напряжения в сечении

Располагая выражениями (2.49) и (2.50), можно вычислить внутренние силовые факторы (1.9):

.

.

.

.

растяжение изгиб сопротивление стержень Здесь принято во внимание, что оси, являются главными центральными осями поперечного сечения стержня (разд. 1.1).

Таким образом, внутренние силовые факторы связаны с геометрическими характеристиками деформации и тепловым расширением стержня следующими определяющими соотношениями:

, , (2.51).

. (2.52).

Подставив (2.51), (2.52) в (2.49), (2.50), можно выразить распределение нормальных и касательных напряжений в сечении через внутренние силовые факторы:

(2.53).

. (2.54).

Выражение (2.53) называется трёхчленной формулой Навье. Данная формула вместе с формулами (2.51) составляет основу технической теории прямых стержней произвольного поперечного сечения. По формуле (2.53) нормальные напряжения линейно зависят от координат, точек поперечного сечения стержня.

Формулы (2.52), (2.54), в которые входит полярный момент инерции и полярный радиус, справедливы только для стержней круглого (рис. 2.8, а) и кольцевого (рис. 2.8, б) поперечного сечения. Для остальных видов сечений, например прямоугольного (рис. 2.8, в), коробчатого (рис. 2.8, г), двутаврового (рис. 2.8, д), таврового (рис. 2.8, е), уголкового (рис. 2.8, ж) и т. п., формула (2.52) заменяется формулой.

(2.55).

а скалярная формула (2.54) — векторной формулой.

. (2.56).

Здесь — вектор касательных напряжений, — геометрический параметр, называемый моментом инерции сечения при кручении, — некоторая векторная функция. Указанные величины не могут быть определены элементарными методами сопротивления материалов. Данный вопрос решается методами теории упругости. И только для круглого и кольцевого сечений.

.

Полная система дифференциальных уравнений технической теории стержней

Соберём вместе результаты (2.18)-(2.21), (2.32), (2.51), (2.55), сгруппировав их по типам напряжённо-деформированного состояния стержня.

Растяжение (сжатие) прямого стержня:

. (2.57).

Кручение прямого стержня:

. (2.58).

Изгиб прямого стержня в главной плоскости :

. (2.59).

, ,. (2.60).

При известных внешних силовых нагрузках, ,, внешних моментных нагрузках, , и температурном воздействии на стержень система 12 обыкновенных дифференциальных уравнений (2.57)-(2.60) позволяет находить 12 неизвестных величин.

(,; ,; ,, ,; ,, ,) с точностью до 12 постоянных интегрирования, определяемых из граничных условий.

После этого по соответствующим формулам можно найти распределение нормальных и касательных напряжений в поперечных сечениях стержня.