Модель ядерных оболочек

Атомное ядро представляет собой квантовую систему многих тел, сильно взаимодействующих друг с другом. Поэтому описание такой системы, исходя из первопринципов, является трудной задачей. С одной стороны, число нуклонов в ядре не столь велико, чтобы можно было использовать методы статистической физики. С другой стороны, распространение микроскопических расчетов даже на системы 3, 4, 5 нуклонов встречает принципиальные трудности. Кроме того, мы знаем, что основные строительные блоки ядра — протон и нейтрон — являются сложными структурными образованиями трех валентных кварков. Поэтому последовательное решение проблем структуры атомных ядер возможно только в рамках квантовой хромодинамики. В этой связи для описания динамики ядерной материи широко используются различные ядерные модели, каждая из которых имеет ограниченную цель — описать какую-то определенную совокупность свойств атомного ядра.

Модели ядра можно разбить на два больших класса — микроскопические (рассматривающие поведение отдельных нуклонов в ядре) и коллективные (рассматривающие согласованное, скоррелированное движение больших групп нуклонов в ядре). Пример коллективной модели ядра — модель жидкой капли. Уже в рамках этого достаточно упрошенного представления удалось получить весьма полезную формулу Вайцзеккера (6.9) для энергии связи ядра.

Среди микроскопических ядерных моделей выделяется модель ядерных оболочек. Она аналогична модели атомных оболочек, в которой задача многих тел сведена к одночастичной задаче — движению невзаимодействующих друг с другом электронов, подчиняющихся принципу Паули, в кулоновском поле ядра. Применение подобного подхода к ядру, однако, кажется неправомерным. Ядро — это система сильно взаимодействующих плотно упакованных нуклонов. Ядерное поле создается внутренними короткодействующими межнуклонными силами. Нуклоны в ядре должны часто сталкиваться и обмениваться энергиями. Средняя длина свободного пробега нуклона в ядре должна быть меньше радиуса ядра. Все это приводит к выводу о невозможности движения нуклонов внутри ядра по устойчивым орбитам, с долго сохраняющимися квантовыми числами, т. е. нахождения их на определенных оболочках. Однако факты свидетельствуют в пользу существования в атомных ядрах оболочечной структуры.

Основной факт, подтверждающий оболочечное строение ядра, — это «магические числа» протонов и нейтронов. Приведем основные экспериментальные факты в пользу существования магических чисел:

• · Повышенная распространенность магических ядер.
• · Относительное уменьшение массы магических ядер.
• · Увеличение энергии отделения нуклона в магических ядрах.

Резкое увеличение энергии первого возбужденного состояния у ядер с магическим числом нейтронов и (или) протонов (рис.1).

Ядра, у которых магическими являются числа протонов и нейтронов, называют дважды магическими. Например, ядра ,.

Магическим числам нуклонов, как уже отмечалось выше, отвечают ядра с заполненными оболочками, демонстрирующие особую устойчивость, подобно благородным газам, имеющим заполненные атомные оболочки. Оболочечная структура ядра свидетельствует о том, что нуклоны в ядре во многом ведут себя как независимые частицы в потенциальной яме.

Возможность использования модели оболочек для описания свойств атомного ядра означает, что многочастичная ядерная задача допускает такую формулировку, при которой усреднение отдельных короткодействующих межнуклонных потенциалов внутри ядра сводится к возникновению почти одинакового для всех нуклонов потенциала притяжения (яме), причем нуклоны в этой яме можно приближенно рассматривать как независимые частицы. Таким образом, ядро по своей внутренней структуре в первом приближении представляет не жидкость, а скорее идеальный газ фермионов, заключенный в объем ядра.

Фундаментальная роль в применимости модели оболочек к ядрам принадлежит принципу Паули. Этот принцип существенно ограничивает возможности взаимодействия между двумя фермионами при низких энергиях. В основном состоянии ядра нижние одночастичные уровни вплоть до некоторой энергии (уровня Ферми) заполнены. Взаимодействие двух нуклонов с изменением их состояния требует их перехода на новые энергетические уровни. При этом, если один нуклон увеличивает свою энергию и переходит в более высокое свободное состояние, то другой должен уменьшить энергию и обязан занять более низкое состояние. Но все нижние состояния уже заполнены и на них не может появиться дополнительный фермион. Таким образом, нуклоны продолжают находиться в прежних состояниях и длина свободного пробега нуклона становится больше диаметра ядра. Возникает условие для устойчивых нуклонных состояний.

Будем рассматривать «сферическую» модель оболочек, когда нуклоны находятся в сферически симметричной потенциальной яме. Пренебрегаем кулоновским взаимодействием. Рассмотрим три вида модельного потенциала (рис.2):

Прямоугольная потенциальная яма.

(1).

Потенциал гармонического осциллятора.

(2).

где Ммасса нуклона, а — осцилляторная частота.

Потенциал Вудса-Саксона.

(3).

Потенциал Вудса-Саксона наиболее близок к реальному ядерному потенциалу. Он является отражением распределения Ферми плотности ядерного вещества. Такая аппроксимация формы ядерного потенциала оправдана малым радиусом действия нуклон-нуклонных сил. В потенциале (3), как и в распределении Ферми,. Что касается глубины ядерной потенциальной ямы V₀, то она увеличивается при переходе от легких ядер к тяжелым. В легких ядрах (А < 40) V₀= 20−30 МэВ, в средних ядрах (А= 40−100) V₀ = 30−40 МэВ и в тяжелых ядрах (А > 100) V₀ = 40−50 МэВ.

Если выбран модельный потенциал, то далее все сводится к решению уравнения Шрёдингера для отдельного нуклона. Пусть — гамильтониан ядра, a — гамильтониан отдельного нуклона (с индексом). Тогда имеем.

Где.

(4).

Уравнение Шрёдингера для отдельного нуклона.

(5).

Так как гамильтониан одинаков для всех нуклонов, то запишем.

(6).

Волновая функция нуклона описывающая его орбитальное движение, имеет вид.

(7).

где п — радиальное квантовое число (n = 1, 2, 3,…), l — орбитальный момент нуклона, m — его проекция на ось z. При фиксированном l энергия нуклона тем больше, чем больше число п. Состояние нуклона обозначают в виде комбинации п (буква) l (число). Последовательность одночастичных уровней зависит от V®.

На рис. 3 слева показана схема уровней для потенциала Вудса—Саксона. Ядерные оболочки обычно обозначают по уровням гармонического осциллятора: 1s-оболочка, 1p-оболочка, 1d2s-оболочка, 1f2p, 1g2d3s и т. д.

Энергия ядра в модели оболочек является суммой одночастичных энергий нуклонов, а волновая функция ядра может быть представлена с учетом требований симметрии, налагаемых принципом Паули, в виде произведения волновых функций отдельных нуклонов.

Заполнение оболочек нуклонами происходит в соответствии с принципом Паули. В основном состоянии должны быть заняты самые нижние уровни. При этом одночастичные уровни для протонов и нейтронов заселяются независимо. Число нуклонов одного типа на одночастичном уровне дается формулой.

(8).

где (2l+1) — число ориентаций вектора ,.

2 — число ориентаций спина нуклона.

Уровни гармонического осциллятора эквидистантны. Расстояние между ними дается выражением.

(9).

при (радиуса ядра R рассчитывается по формуле (6.21)).

Из (9) видно, что с ростом числа нуклонов, А «плотность» оболочек растет (расстояние между оболочками уменьшается). Так, если при имеем МэВ, то при получаем МэВ. Этот эффект хорошо виден на рис .4.

Уровни гармонического осциллятора характеризуются вырождением по орбитальному моменту нуклона. В потенциале Вудса-Саксона снимается вырождение по орбитальному моменту нуклона в пределах одной оболочки и происходит перегруппировка высоких одночастичных уровней. Оболочками в случае произвольного потенциала следует считать группы близко расположенных одночастичных уровней.

Пользуясь формулой (8), можно найти максимальное число нуклонов одного типа на уровне и максимальное число нуклонов одного типа в ядрах с заполненными оболочками. Эти последние числа должны отвечать магическим ядрам. Для потенциалов гармонического осциллятора, прямоугольной ямы и ямы промежуточной формы (типа Вудса-Саксона) получаем следующие магические числа:

гармонический осциллятор N, Z = 2, 8, 20, 34, 58, 92, 168;

прямоугольная яма N, Z = 2, 8, 20, 34, 58, 92, 138;

потенциал Вудса-Саксона N, Z = 2, 8, 20, 34, 58, 92, 138.

Лишь первые три числа (2, 8, 20) совпадают с экспериментально установленными магическими числами. Для объяснения всего набора магических чисел, как оказалось, необходимо учесть спин-орбитальные силы, т. е. ту часть ядерного потенциала, которая зависит от взаимной ориентации орбитального и спинового моментов нуклона.

Спин-орбитальные силы играют существенную роль в атомных ядрах. С учетом спин-орбитальной добавки ядерный потенциал имеет вид.

(10).

где как и.

В потенциале (10) снимается вырождение по полному моменту j нуклона в пределах одной оболочки, который при данном l в зависимости от ориентации спина нуклона принимает 2 значения:

.

Происходит расщепление состояния с данным l на два состояния с разной взаимной ориентацией и. Таким образом, каждый одночастичный уровень расщепляется на два. Глубже опускается уровень с.

.

так как в этом случае нуклон сильнее взаимодействует с остальными.

В обозначение одночастичных уровней вводится нижний индекс, указывающий величину j. Так, вместо уровня lp появляются два уровня l и l. Величина расщепления, очевидно, тем больше, чем больше l (это следует уже из вида выражения). Начиная с уровня lg (рис.3), затем lh и т. д., ls — расщепление становится сравнимым с расстоянием между соседними осцилляторными оболочками. Расщепление уровней с настолько велико, что нижний уровень оболочки с максимальным j и l сильно опускается вниз и оказывается в предыдущей оболочке (это относится к уровням, ,, которые попадают соответственно в 4-ю, 5-ю, 6-ю и 7-ю оболочки).

Количество нуклонов одного сорта на одночастичном уровне равно — числу проекций j на ось z:

(11).

Состояния ядра в одночастичной модели оболочек определяются расположением нуклонов на одночастичных уровнях и называются конфигурациями. Основное состояние ядра отвечает расположению нуклонов на самых нижних одночастичных уровнях. Так, в ядре ¹⁶O в основном состоянии нуклоны полностью заполняют уровни, и .

Кулоновское взаимодействие протонов увеличивает энергию протонных одночастичных уровней по сравнению с нейтронными и видоизменяет потенциальную яму для протонов (она мельче нейтронной и за пределами ядра выходит на асимптотику кулоновского потенциала). С учетом этого расположение нуклонов по одночастичным уровням в основном состоянии ядра ¹⁶O показано на рис. 5.

Приведенная на рис. 3 последовательность уровней одинакова для протонов и нейтронов вплоть до Z = N = 50. При Z и N, больших 50, последовательности уровней и порядок их заполнения для протонов и нейтронов различаются. Для нейтронов с N > 50 имеет место тенденция к заполнению сначала уровней с меньшими моментами.

В трех случаях одночастичная модель оболочек однозначно предсказывает спин и четность основного состояния ядра:

1. Ядро с заполненными уровнями. Так как на каждом уровне заняты состояния со всеми возможными проекциями, результирующий момент уровня и полный момент ядра равны нулю. Каждому нуклону на уровне с проекцией будет соответствовать нуклон с и суммарный момент нуклонов уровня будет равен нулю. Возможные значения даются следующим набором чисел:

Рис 6. Нуклоны одного типа на уровне с

Например, если уровень имеет j = 3/2, то на нем может находиться 4 нуклона одного типа (4 протона и 4 нейтрона) и заполненный уровень с этими четырьмя нуклонами можно изобразить так, как на рис. 6.

Четность заполненного уровня положительна, так как она содержит четное число (2j + 1) нуклонов одинаковой четности. Поэтому для заполненного уровня (оболочки).

(12).

2. Ядро с одним нуклоном сверх заполненных уровней. Остов заполненных уровней имеет характеристики 0+, поэтому момент и четность определяются квантовыми числами единственного внешнего нуклона. Если этот нуклон в состоянии, то полный момент ядра J = j, а результирующая четность ядра. Поэтому для основного состояния ядра в этом случае имеем.

(13).

3. Ядро с «дыркой» в заполненном уровне, т. е. когда до заполнения уровня не хватает одного нуклона. Пусть квантовые числа нуклона на таком уровне. Обозначим момент и четность уровня с «дыркой» j' и p'. Так как добавление нуклона на уровень приводит к его заполнению, имеем.

(14).

т. е. для ядра с дыркой имеем те же правила определения спина и четности основного состояния, что и для ядра с одним нуклоном сверх заполненных уровней:

Рассмотрим теперь случай двух тождественных нуклонов на одном уровне. Между любой парой нуклонов одного типа на уровне действует дополнительное взаимодействие V_ост помимо общего, сводящегося к центрально симметричному V®, и это взаимодействие V_ост (не сводимое к V®) называется, поэтому, остаточным. Опыт показывает, что свойства V_ост таковы, что паре нуклонов одного сорта на одном уровне выгодно иметь результирующий момент равный нулю. V_ост снимает вырождение по J этой пары, так что низшим оказывается состояние с J = 0. Это и есть упоминавшиеся ранее при обсуждении формулы Вайцзеккера силы спаривания. Дополнительная энергия связи ядра за счет этих сил 1−3 МэВ.

С учетом этого свойства легко сформулировать следующие правила для спинов J и четностей P в основном состоянии ядра:

четно-четное ядро нечетное ядро.

(15).

нечетно-нечетно ядро.

.

где относятся к полному и орбитальному моменту нечетного нуклона (протона, нейтрона).

Возникновение сил спаривания в ядрах обусловлено особенностями взаимодействия в системе нуклонов. На характерных ядерных расстояниях нуклоны притягиваются, и им энергетически выгодно находиться на одном и том же уровне в состояниях, характеризуемых одними и теми же числами n, l, j. Поскольку кулоновское взаимодействие раздвигает протонные и нейтронные состояния (рис. 5), то наиболее выгодной является ситуация «совместного» нахождения в одном состоянии нуклонов одного типа. Однако это возможно лишь при соблюдении принципа Паули, что и диктует необходимость таким нуклонам при одинаковом иметь различные . Наиболее устойчивой при этом оказывается пара нуклонов с противоположно направленными моментами, т. е. с +j_z и -j_z. Такая пара нуклонов обладает максимально возможным набором совпадающих квантовых чисел, и, соответственно, волновые функции нуклонов этой пары характеризуются наибольшим перекрытием. Результирующий полный момент и четность такого состояния.

Таким образом, в основном и низколежаших состояниях ядер нуклоны группируются парами nn и pp с противоположно направленными, и для того чтобы разрушить хотя бы одну такую пару, в ядро нужно внести энергию 1−3 МэВ. В противном случае связанные в пары нуклоны будут сколь угодно долго сохранять неизменными свои квантовые характеристики. Возникает своеобразная ситуация сверхтекучести ядерной материи. Аналогичная ситуация имеет место с электронами проводимости, которые при низких температурах объединяются в куперовские пары.

В одночастичной модели оболочек возбужденные состояния ядер возникают при переходе одного или нескольких нуклонов на более высокие одночастичные орбиты. Наиболее просто выглядит спектр возбужденных состояний ядер с одним нуклоном или «дыркой» сверх заполненных оболочек. Нижние возбуждения такого ядра образуются перемещением этого внешнего нуклона на более высокие (свободные) уровни или дырки на нижние уровни (вглубь) ядра. Примерами возбуждений такого типа являются нижние возбужденные состояния ядер и (рис. 7).

Первое из этих ядер — это ядро с нейтронной дыркой в дважды магическом коре, второе — с одним нейтроном сверх этого же кора. В основном состоянии ядро имеет одну вакансию (дырку) на уровне. Поэтому спин J и четность основного состояния. Ядро в основном состоянии имеет одну частицу на уровне сверх заполненного остова.. Представленные на рис. 7 возбуждения обусловлены соответственно перемещением нейтронной дырки (ядро) и нейтрона (ядро) по одночастичным уровням при неизменном дважды магическом коре .

Одночастичные переходы в ядре происходят между одночастичными состояниями, расположенными над уровнем Ферми. В ядре одночастичные переходы происходят между одночастичными состояниями, расположенными ниже уровня Ферми.

Пример. Определить в сферической модели оболочек спины J и четности Р основных состояний изотопов кислорода ¹⁵O — ²³O.

Решение. Изотоп ¹⁶O имеет полностью заполненные оболочки по протонам и нейтронам, т. е. является дважды магическим ядром. Конфигурацию основного состояния ядра ¹⁶O можно записать в виде.

Числа над обозначением уровня — это числа нуклонов одного типа (нейтронов или протонов) на данном уровне. Изотопам ¹⁵O — ²²O будут соответствовать следующие нейтронные конфигурации:

Ядро ¹⁵O имеет одну вакансию (дырку) на уровне 1 Начиная с изотопа ¹⁷O, происходит заполнение нейтронами уровня 1:

В ядре ²²O полностью заполнен уровень. Со следующего изотопа ²³O начинается заполнение уровня :

Пример. Рассчитать в рамках модели оболочек магнитный момент ядра трития — .

Решение. Магнитный момент этого ядра должен быть равен собственному магнитному моменту единственного протона, входящего в его состав, т. е. должно быть.

.

Действительно, в рассматриваемом ядре в основном состоянии имеем два спаренных нейтрона наоболочке и один протон на этой же оболочке. У спаренных нейтронов спины антипараллельны. Поэтому их собственные магнитные моменты взаимно уничтожают друг друга. Орбитальный магнетизм не имеющих электрического заряда нейтронов заведомо отсутствует. У протона его тоже нет, так как орбитальный момент протона. Поэтому магнитный момент трития равен собственному магнитному моменту единственного протона.

Экспериментальное значение магнитного момента трития близко к полученной оценке. Имеющееся различие можно объяснить отклонением от простой модели оболочек за счет остаточных нуклон-нуклонных сил.