Определенный интеграл. 
Курс общей физики

Пусть на отрезке [а, 6] оси х задана функция f (x). Разделим отрезок [а, 6] на п частей точками хо = а, х_} хг,…, ^хп = Ь (хо < х < х% < … < ?_n_i < х_п). На каждом из полученных таким образом п отрезков ?,], где I = 1, 2, п, выберем по точке ?,•: & € х,]. Сумма.

где Ах, = х, — x,-_i, называется интегральной суммой для функции /(х) на отрезке [а, 6]. Шагом h разбиения отрезка [а, 6] на части называют наибольшую из длин отрезков [x,_i, х,]:

Если Л —? 0, то число отрезков п —? оо.

Предел, к которому стремится интегральная сумма при стремлении шага разбиения к нулю, называется определенным интегралом от функции /(х) на отрезке [а, Ь] и обозначается символом.

При этом числа, а и 6 называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования.

Используя определение f — F' первообразной F, определенный интеграл можно представить в виде.

т.е. можно рассматривать его как предел суммы приращений AF, величины F:

где F, = F (r,). Очевидно, что эта сумма равна полному приращению первообразной на отрезке [а, 6] :

Таким образом, приходим к формуле Ньютона — Лейбница

которую применяют для вычисления определенного интеграла.

Рис. 1.3. Определенный интеграл равен площади криволинейной трапеции A BCD.

Определенный интеграл широко используется в различных задачах, одной из которых является задача о площади плоской фигуры. Рассмотрим на плоскости ху фигуру ABCD (рис. 1.3), ограниченную отрезком [а, 6] оси х, прямыми х=аих=6и кривой у = /(х), где /(х) — функция неотрицательная при х € [а, Ь]. Такую фигуру называют криволинейной трапецией.

Как видно из рис. 1.3, общий член /(?") Лх* интегральной суммы равен площади прямоугольника с основанием Ах, и высотой /(?,). Поэтому в пределе при h —> 0 интегральная сумма для неотрицательной функции /(х) будет равна площади S криволинейной трапеции ABCD:

При вычислении определенного интеграла можно использовать с небольшими изменениями описанные выше методы подстановки и интегрирования по частям.