Этапы обучения и методы решения текстовых задач

Процесс обучения решению математических текстовых задач в общеобразовательной школе можно условно разбить на следующие этапы:

• 1) Пропедевтический этап 1−4 классы
• 2) Эмпирический этап 5−6 классы
• 3) Систематический этап 7−9 классы
• 4) Творческий этап 10−11 классы.
• · Пропедевтический этап.

На пропедевтическом этапе к концу 3, 4-го класса ученики должны иметь представление:

• — об отличительных признаках текстовой математической задачи;
• — о различных способах оформления краткой записи задачи;
• — о различных способах оформления решения задачи;
• — о рациональном и нерациональном способах решения задачи;
• — об алгебраическом методе решении задачи;
• — о возможности классификации задач по сходству их математического смысла.

Знать:

— составляющие элементы задач — условие, вопрос, данные, искомое.

Уметь:

• — определить является ли текст задачей;
• — выделить элементы задачи;
• — дополнить текст недостающими элементами, превратив его в задачу;
• — установить соответствие задач, данных в разной формулировке, заменить сложную формулировку более простой;
• — проанализировать текст задачи, начиная с вопроса, установить количество действий, необходимых для её решения, порядок действий и сами действия;
• — записать решение задачи по действиям с вопросами или пояснениями, а также сложным выражением.
• · Эмпирический этап

Решение текстовых задач традиционно является одним из основных видов учебной деятельности в 5−6 классах. На этом этапе у школьников развиваются логическое мышление, элементарные навыки абстрагирования, математическое моделирование.

К концу 6 класса ученики должны уметь решать следующие задачи, предусмотренные программой:

• — задачи, требующие понимания смысла отношений «больше на …(в…)», «меньше на…(в…)», а также задачи на известные учащимся зависимости между величинами (скоростью, временем и расстоянием; ценой, количеством и стоимостью товара и другие),
• — задачи, решаемые алгебраическим методом,
• — задачи с использованием метода пропорций,
• — три вида задач на проценты: находить несколько процентов от какой-либо величины; находить число, если известно несколько его процентов; находить, сколько процентов одно число составляет от другого.
• · Систематический этап

К концу 9 класса ученики должны уметь решать следующие задачи, предусмотренные программой:

• — задачи «на части, смеси, проценты»;
• — задачи на движение:

ь задачи на встречное движение двух тел;

ь задачи на движение двух тел в одном направлении (движение начинается одновременно из разных пунктов, движение начинается в разное время из одного пункта);

ь задачи на движение двух тел в противоположных направлениях;

ь задачи на движение по реке.

• — задачи, связанных с различными процессами (работа, наполнение бассейнов и другие), с использованием арифметического метода, алгебраического метода, а также некоторых специальных методов, например, геометрического.
• · Творческий этап

Высшая ступень продуктивного мышления — творческое мышление. Существуют показатели, по которым судят о творческом мышлении. К ним относятся оригинальность мысли, возможность получения ответов, быстрота возникновения необычных ассоциативных связей; «восприимчивость» к проблеме, её непривычное решение; беглость мысли как количество ассоциаций, идей, возникающих в единицу времени в соответствии с некоторым требованием; способность найти новые, непривычные функции ответа или его части. В творческом мышлении появляется способность к постановке проблем, чувствительность к недостаткам в имеющихся знаниях, возможность построения гипотез об отсутствующих элементах этих знаний и тому подобное.

Из выше сказанного можно сделать вывод о том, что продуктивное мышление является одним из важнейших компонентов процесса познавательной деятельности учащихся, без целенаправленного развития которого невозможно достичь высоких результатов в овладении школьниками системой математических знаний, умений и навыков.

Методы решения сюжетных задач в основной школе:

· Арифметический метод Решить задачу арифметическим методом — значит найти ответ на требование задачи посредством выполнения арифметических действий над числами. Одну и ту же задачу можно решить различными арифметическими способами. Они отличаются друг от друга логикой рассуждений, выполняемых в процессе решения задачи.

· Алгебраический метод Алгебраический метод обеспечивает общий подход, общий принцип в анализе и решении задач (всех или по крайней мере достаточно широкого круга). Его отличие от арифметического метода прежде всего состоит в введении неизвестной величины и её специального обозначения.

· Графический метод решения текстовых задач.

Большинство алгебраических задач можно решить с помощью разных графиков, схем, диаграмм. Геометрический метод решения задач базируется на основных понятиях планиметрии (точка, отрезок, длина, площадь, треугольник, прямоугольник и другие), а также свойствах плоских фигур и графиков элементарных функций. Математическая модель в этом случае представляет собой либо диаграмму, либо график.

Диаграмма — это чертёж или рисунок, на котором условно изображены в виде отдельных фигур различные значения одной и той же величины или нескольких сравнимых величин. Она служит не только для изображения величин, но и для показа соотношений между ними.

График — это множество точек (обычно некоторая линия, реже — конечное множество), координатной плоскости. График используется для изображения связи между двумя величинами, из которых одна является аргументом, а другая — функцией. Каждое значение аргумента является абсциссой некоторой точки графика, а соответствующее значение функции — ординатой той же точки. Для решения конкретной задачи используется один или несколько графиков на одном чертеже.

Решение задач геометрическим методом осуществляется двумя приёмами: конструктивным (чисто графическим) и вычислительным (графико — вычислительным). В каждом из них используется различные способы решения задач.

• · Нестандартные способы решения текстовых задач:
• — переформулировка задачи.
• — «лишние» неизвестные.
• — использование делимости
• — решение задач в общем виде.

Рассмотрим более подробно алгебраический метод решения задач.

При алгебраическом методе ответ на вопрос задачи находится в результате составления и решения уравнения. В зависимости от выбора неизвестного (неизвестных), для обозначения буквой (буквами), от хода рассуждений можно составить различные уравнения по одной и той же задаче. В этом случае можно говорить о различных алгебраических способах решения этой задачи.

Составление уравнения отличается от арифметического метода не только введением буквенных обозначений неизвестной величины, но и установление зависимостей между величинами задачи. Эти зависимости представлены здесь не в виде цепочки формул, каждое звено которой связано с выполнением предшествующих действий и все звенья которой объединяются лишь в конце, а сразу в виде уравнения, в котором фиксируются все существенные связи между известными и чаще неизвестными величинами. Это возможно благодаря особой функции «X», позволяющей замещать неизвестную величину особым символом и оперировать с ним.

При алгебраическом методе решения задачи важно не вычисление конкретных значений величин, а выявление и выражение основных зависимостей между явными и неявными значениями величин, входящих в условие задачи.

В методике обучения математике выделены четыре основных этапа процесса решения математической задачи:

• * осмысление текста задачи и анализ её содержания;
• * осуществление поиска решения и составление плана решения;
• * реализация плана решения;
• * анализ найденного решения, поиск других способов решения.

При работе с сюжетной задачей на первом этапе предполагается первоначальная работа с целью понимания сюжета, выявление величин, которыми описывается ситуация, установление различных зависимостей между этими величинами, определение отношений, заданных условием задачи. Результаты такого предварительного анализа часто бывает удобно зафиксировать в схематической записи (иногда говорят краткой модели) текста задачи.

Второй этап работы над задачей является самым трудным для учащихся. Его результатом должна являться математическая модель ситуации, причем в качестве такой модели может служить формула, уравнение, система уравнений, график и т. п.

Третий этап работы с задачей предполагает исследование построенной математической модели, интерпретацию результата исследования математической модели в заданную ситуацию, запись ответа.

На четвертом этапе работы с задачей можно предложить другие варианты решения.

Пример.

Из двух пунктов, А и В одновременно навстречу друг другу выходят два туриста. При встрече оказывается, что турист, вышедший из А, прошел на 2 км больше, чем второй турист. Продолжая движение с той же скоростью первый турист прибывает в В через 1 ч З6 мин., а второй в, А — через 2 ч З0 мин после встречи. Найдите расстояние АВ и скорость каждого туриста.

Решение задачи:

• 1 этап. Осмысление текста задачи.
• * О каком процессе идет речь в задаче? — О равномерном прямолинейном движении навстречу друг другу.
• * Какие величины характеризуют этот процесс? — v, t, S.
• * Как они связаны между собой? — S = vt.

Выполним краткую запись условия задачи в виде чертежа:

• S — ?
• * Что требуется определить в задаче? — Расстояние АВ и скорости туристов.
• * Какие данные задачи помогут нам это сделать? — АВ = АС + СВ, АВ >СВ на 2 км. По условию задачи расстояние СВ первый турист пройдёт за 1,6 часа, а расстояние СА — второй за 2,5 часа.
• 2 этап. Осуществление поиска решения и составление плана.

Так как до встречи оба туриста находились в пути одно и то же время, то это и является основанием для составления уравнения, таким образом математической моделью ситуации является уравнение: 1,6(х + 2)/х = 2,5 х/(х+2), х? 0, х? -2.

3 этап. Реализация плана решения — исследование построенной модели.

После преобразований данное уравнение примет вид: (х+2)² 1,6 = 2,5 х²; или 9х² — 64х — 64 = 0, откуда х₁= 8, х₂= - 8/9. Интерпретация результата: х₂ не удовлетворяет условию задачи, так как расстояние не может быть отрицательным. СВ = 8 км; АС = 10 км; АВ = 18 км; v₁ = 8/1,6; v₁ = 5км/ч; v₂ = 10/2,5; v₂ = 4 км/ч.

4 этап. Анализ найденного решения, поиск других способов решения.

Прежде всего, необходимо сделать проверку. Проверка делается либо по условию задачи, либо задача решается другим способом, либо составлением новой задачи. Проверка по условию задачи показана выше. Рассмотрим один из вариантов составления новой задачи:

Из двух пунктов, расстояние между которыми 18 км навстречу друг другу выходят два туриста. Скорость 1-го — 5 км/ч, скорость 2-го — 4км/ч. Сколько времени потребуется каждому туристу, чтобы преодолеть расстояние после встречи, если первый до встречи прошел на 2 км больше?

• 1) 18 — 2 = 16 (км) — прошли бы оба туриста, если бы до встречи их путь был одинаковым (как у 2-го);
• 2) 16: 2 = 8 (км) — прошел второй до встречи;
• 3) 18 — 8 = 10 (км) — прошел первый до встречи;
• 4) 8: 5 = 1,6 (ч) — время 1-го после встречи;
• 5) 10: 4 = 2,5 (ч) — время 2-го после встречи.

Вывод по первой главе

Роль задач при обучении математики чрезвычайно велика. В процессе обучения математике они имеют большое и многостороннее значение. Они могут служить многим конкретным целям обучения, выполнять разнообразные дидактические функции.

Предварение изучения математической теории постановкой задач предоставляет учителю благоприятные возможности для использования на уроках элементов проблемного обучения. Такие задачи могут служить не только средством введения новых понятий и методов, обоснования полезности изучения программного материала. Их использование обеспечивает более осознанное овладение математической теорией, учить учеников самостоятельному выполнению учебных заданий, приемам поиска, исследования и доказательства, основным мыслительным операциям, выделению существенных свойств математических объектов, формирует интерес к предмету.