Типы графиков в системах компьютерной математики

Рассмотрим некоторые системы компьютерной математики, с точки зрения построения графиков функций.

Эффективное применение системы Mathematica при решении различных задач, особенно геометрии, моделирования, механики и инженерии, связано с ее графическими возможностями, включающими анимацию.

Перечислим графические функции и охарактеризуем их основные опции.

Построим простейший график функции одной переменной f (x)= sin x² на интервале [0;3] без использования опций.

Рисунок 5- график функции f (x)= sin x².

Для визуализации поверхностей, заданных в трехмерном пространстве уравнениями и массивами данных, служат встроенные графические функции.

Plot3D, ParametricPlot3D, ListPlot3D. Приведем пример простейшего трехмерного графика с метками осей.

Plot3D[Sin[x y],{x, 0, Pi},{y, 0, Pi}, AxesLabel {x, y, z}, AspectRatio 1];

Рисунок 6- трехмерный график с метками осей.

Приведем некоторые простые примеры построения графиков функций, заданных параметрическими уравнениями:

ParametricPlot[{Sin[2 t], Sin[3 t]},{t, 0,2 Pi}] ;

Рисунок 7- параметрический график функции.

Графика в Matlab

Графические возможности системы MATLAB являются мощными и разнообразными. В первую очередь целесообразно изучить наиболее простые в использовании возможности. Их часто называют высокоуровневой графикой. Это название отражает тот приятный факт, что пользователю нет никакой необходимости вникать во все тонкие и глубоко спрятанные детали работы с графикой. 7].

Например, можно построить график функции одной вещественной переменной. Следующие команды:

x = 0: 0.01: 2;

y = sin (x);

вычисляют массив y значений функции sin для заданного набора аргументов.

После этого одной единственной командой.

plot (x, y).

удаётся построить вполне качественно выглядящий график функции:

Рисунок 8- график функции одной вещественной переменной Рассмотрим построение графиков в полярных координатах. Например, если нужно построить график функции r = sin (3f) в полярных координатах, то следующие несколько команд.

phi = 0: 0.01: 2*pi; r = sin (3* phi);

polar (phi, r).

решают эту задачу:

Рисунок 9- график функции r = sin (3f) в полярных координатах В системе MATLAB имеется специальная функция для получения двумерных массивов X и Y по одномерным массивам x, y.

Рисунок 10- функция получения двумерных массивов Пусть по оси x задан диапазон значений в виде вектора.

u = -2: 0.1: 2.

а по оси y этот диапазон есть.

v = -1: 0.1: 1.

Для получения матриц X и Y, представляющих первые и вторые координаты получающейся прямоугольной сетки точек используют специальную функцию системы MATLAB:

[ X, Y ] = meshgrid (u, v).

Данная функция получает на входе два одномерных массива (вектора), представляющие массивы точек на осях координат, и возвращает сразу два искомых двумерных массива. На прямоугольной сетке точек вычисляем значения функции, например функции exp:

Z = exp (- X.^2 — Y.^2).

Применяя описанную выше функцию plot3, получаем следующее изображение трёхмерного графика этой функции:

Рисунок 11- изображение трехмерного графика в Matlab.

Из этого рисунка видно, что функция plot3 строит график в виде набора линий в пространстве, каждая из которых является сечением трёхмерной поверхности плоскостями, параллельными плоскости yOz. По-другому можно сказать, что каждая линия получается из отрезков прямых, соединяющих набор точек, координаты которых берутся из одинаковых столбцов матриц X, Y и Z. То есть, первая линия соответствует первым столбцам матриц X, Y Z; вторая линия — вторым столбцам этих матриц и так далее. 13].

Графика в Mathcad

Для построения графика в декартовой системе координат необходимо:

• 1. ввести выражение, описывающее некоторую функцию;
• 2. вывести шаблон X-Y Plot с помощью меню или панели Graph;
• 3. заполнить две помеченные для ввода позиции: в первую ввести с клавиатуры f (x) (по оси Y), а во вторую ввести x (по оси X);
• 4. сделать щелчок мышью вне графика. 2]

Представим двумерный график функции.

.

Рисунок 12- двумерный график функции f (x)=x²−3x+0,5.

Графики в полярной системе координат В полярной системе координат каждая точка задается углом ц и модулем радиусвектора r (ц). График функции обычно строится в виде линии, которую описывает конец радиус-вектора при изменении угла ц в определенных пределах (чаще всего от 0 до 2р). Опция Polar Plot выводит шаблон таких графиков в виде окружности с шаблонами данных. Перед построением таких графиков надо задать функцию r (ц). После вывода шаблона следует ввести в шаблон внизу ц, а в местозаполнитель справа — функцию r (ц). После построения графика надо вывести графический курсор мыши из области графика. Функция и переменная могут иметь другие имена. Если необходимо, то задаются пределы изменения переменной ц.

Представим график функции.

.

Рисунок 13- график функции в полярной системе координат.

Графики двух переменных в PTC Mathcad схожи с 2D-графиками. Однако существуют различия, о которых следует знать. В PTC Mathcad есть два типа 3D-графиков:

• 1. Контурный график.
• 2. 3D-график поверхности, в трех осях.

Контурный график Контурный график отражает изменение поверхности по высоте. Он представляет собой линий равных высот. Чтобы вставить контурный график, выберите Графики -> Кривые -> Вставить график -> Контурный график рассмотрим элементы 3D-графика.

Рисунок 14- элементы 3D графика У графика есть три оси: X, Y и Z. Ось Z обычно вертикальная. Сам график (здесь — розовая поверхность с красной сеткой) заключена в прямоугольную область, ограниченную осями. В 2D-графиках были отдельные место заполнители для осей X и Y. Здесь есть только один место заполнитель для оси Z.

В правом верхнем углу есть кнопка для выбора осей. Выбранная ось будет подсвечена синим, как на кнопке выбора, так и в области графика. Вы можете изменять значение первой, второй и последней метки, как на 2D-графике. Так можно менять диапазоны по осям и число меток. 15].

Можно перемещать, сжимать и расширять область с графиком с помощью кнопок на границе области. С помощью кнопок в левом верхнем углу можно перемещать, вращать и масштабировать график, а также сбросить вид графика (что-то вроде кнопки «Отменить»).

Трудно переоценить значение наглядных образов в научном и инженерном творчестве. Графики и рисунки служат прекрасным средством для лучшего понимания особенностей поведения математических объектов, которые часто остаются скрытыми от исследователя в формульном или численном представлении. Mathematica, Matlab и Mathcad позволяют строить двухи трехмерные графики функций и массивов численных данных, контурные и плотностные графики функций от двух аргументов и т. д., а также предоставляет в распоряжение пользователя более мощное средство визуализации — графические примитивы.