Теоретические распределения вероятностей

При решении целого ряда теоретических и прикладных вопросов теории вероятностей и математической статистики возникает задача нахождения такого математического описания случайных величин, получаемых либо в ходе теоретических построений, либо при проведении экспериментов, с помощью которого они могут быть охарактеризованы посредством небольшого числа параметров. Этот подход состоит в попытке найти математическое выражение для так называемого теоретического распределения, и определить на основании аналитических выкладок и экспериментов параметры этого распределения таким образом, чтобы вся существенная информация, заключенная в анализируемых наборах случайных величин, сконцентрировалась в этих параметрах, а также в функциональной форме распределения.

Из большого числа теоретических распределений мы рассмотрим достаточно подробно в этом параграфе только три, играющие важнейшую роль в теории вероятностей: биномиальное, пуассоновское и нормальное. О некоторых других теоретических распределениях речь пойдет в следующем разделе.

Биномиальное распределение. Прежде, чем приступить к обсуждению вопросов, непосредственно связанных с биномиальным распределением, рассмотрим некую теоретическую схему к которой сводятся многие интересные задачи теории вероятностей, представляющие как теоретический, так и практический интерес.

Определение. Повторные независимые испытания называются испытаниями Бернулли, если при каждом испытании имеется только два возможных исхода и вероятности этих исходов остаются неизменными для всех испытаний.

Пространство элементарных событий для каждого отдельного испытания состоит из двух точек, которые принято называть «успехом» (У) и «неудачей» (Н), а их вероятности обозначать соответственно через р и q (p+q=1). Для n испытаний Бернулли пространство элементарных событий содержит точек или последовательностей из n символов У и Н, где каждая точка представляет возможный исход составного опыта. Можно подсчитать вероятность появления какой-то определенной последовательности. Так как опыты независимы, то такая вероятность получается перемножением вероятностей элементарных событий У и Н, составляющих данную последовательность.

Рассмотрим следующий пример. Пусть пол новорожденного не зависит от пола детей, родившихся в семье до него. Примем для простоты, что соотношение полов 1:1, а это значит, что вероятности рождения мальчика или девочки одинаковы и равны ½. Если в семье двое детей, то можно оценить вероятность и того, что оба ребенка мальчики или девочки или один — мальчик, а другой — девочка. При принятом упрощении вероятности рождениядвух мальчиков или двух девочек равны ½=1/4, а вероятности рождения сначала девочки, а потом мальчика и наоборот также равны ¼.

Ситуация может быть более сложной. Пусть в семье пятеро детей и нас интересует вероятность того, что трое из них — мальчики, а двое девочки, и при этом последовательность, в которой рождались эти дети, неважна. Тогда, исходя из тех же предположений, что и в предыдущем параграфе, вероятность рождения трех мальчиков будет равна, а двух девочек -, а общая вероятность в семье с пятью детьми иметь трех мальчиков и двух девочек равна, где — число различных последовательностей рождений трех мальчиков и двух девочек в рассматриваемой семье. Чему же равно это число? Очевидно, что оно равно числу сочетаний из пяти по два или по три, т. е.. Таким образом, интересующая нас вероятность равна 5/16. Этот результат может быть записан в виде.

.

Как в этой, так и в большом числе других задач представляет интерес лишь общее число успехов или неудач, достигнутых в последовательности из n испытаний Бернулли, независимо от порядка их следования. В общем случае, если производится серия из n независимых испытаний, в каждом из которых возможны два исхода с вероятностями pи q = 1-p, не меняющимися от испытания к испытанию, и при этом к раз имел место успех, а (n-k) раз — неудача (), то вероятность.

(9).

Из элементарного курса алгебры известно, что для любых действительных чисел aи b и целого положительного n имеет место следующее соотношение (формула бинома Ньютона):

Подставляя вместо aи b соответственно p и qи меняя индекс суммирования iна k, получим.

.

Отсюда следует, что является членом биномиального разложения, а функция для k = 0, 1,…, n задает биномиальное распределение.

Для различных значений nи p будут получаться различные распределения. На рис. 5 приведены графики биномиального распределения для p = = ½ и различных n.

Функция разрывна, так как она определена только для целых k. Описание ее поведения можно получить исследованием отношения двух последовательных членов:

k = 0, 1, …, n-1. (10).

Функция :

— строго убывающая, если g (k)< 1 для всехk, откуда.

— строго возрастающая, если g (k)>1 для всех k, т. е.

— сначала возрастает, а затем убывает, если g (0)>1>(n-1) или.

В этом последнем случае может быть найдена максимальная вероятность или «наиболее вероятное число успехов» r для биномиального распределения.

Сделать это можно, используя неравенство.

(11).

Подставляя в него (10), получим.

откуда.

(12).

т.е. наиболее вероятное число успехов равно наибольшему целому числу, меньшему или равному (n + 1) p.

Рассмотрим несколько гипотетических примеров, связанных со схемой испытаний Бернулли и приводящих к биномиальному распределению.

Пример. Пусть в аудитории имеется 6 светильников и каждый из них при включении может перегореть с вероятностью ¼. Считается, что аудитория непригодна для занятий, если горят меньше, чем четыре лампочки. Интерес представляет определение вероятности того, что после включения аудитория будет непригодна для занятий.

Событие, означающее пригодность светильника при включении обозначим через А. Тогда p (А) = ¾, а q (A) = ¼. Аудитория будет пригодна для занятий, если в ней будет гореть 4, 5 или 6 лампочек. Вероятность сложного события, состоящего в том, что не менее 4 лампочек будет исправно, может быть подсчитана следующим образом:

Пример. Представим себе, что некоторое редкое заболевание встречается у 0,1% данной большой популяции. Из этой популяции случайно выбирают 5000 человек и проверяют на это заболевание. Интерес представляет определение того каково наиболее вероятное число людей, имеющих это заболевание, и какова вероятность, что оно будет обнаружено именно у этого количества людей.

Условия задачи полностью соответствуют схеме Бернулли, поэтому в соответствии с формулой (12) наиболее вероятное число людей, у которых будет обнаружено заболевание при обследовании 5000 людей, равно Вероятность того, что именно у 5 человек будет найдено это заболевание, может быть найдено из распределения Бернулли:

.

Даже на непросвещенный взгляд вычисление интересующего нас результата по этой формуле с такими параметрами получить довольно сложно. Мы отложим получение численного значения интересующей нас вероятности и перейдем к рассмотрению нового распределения, которое может быть представлено как приближение биномиального.

Распределение Пуассона. Пусть в нашем распоряжении имеется биномиальная случайная величина с параметрами nи p, распределение вероятностей которой задается формулой (10). Предположим, что n неограниченно увеличивается, а параметр p стремится к нулю таким образом, что произведение остается постоянным.

Так как.

то при все члены произведения в квадратных скобках, а также стремятся к нулю, в то время как равен. Отсюда следует, что.

(13).

Полученный предельный закон распределения и называется распределением Пуассона. Для того, чтобы убедиться, что полученное выражение в самом деле является функцией плотности вероятности, необходимо показать, что сумма от нее, взятая в пределах от нуля до бесконечности, равна единице. Это доказательство предлагается в качестве самостоятельного упражнения.

Теперь вернемся к численной оценке вероятности обнаружения в случайной популяции из 5000 людей ровно пяти человек, страдающих неким заболеванием, встречающимся с частотой 0,001. Используя пуассоновское приближение биномиального распределения имеем ():

В следующей главе мы еще раз вернемся к этим вычислениям, когда речь пойдет о теореме Муавра-Лапласа.

Другой пример, связанный с пуассоновским приближением биномиального распределения, относится к подсчету клеток под микроскопом и иллюстрирует распределение случайных точек в пространстве.

Предположим, что nклеток определенного типа случайным образом распределены по предметному стеклу, которое разбито квадратной решеткой на равных участков. Вероятность, что конкретная клетка лежит в данном участке равнаp = 1/900. Процесс размещения n клеток на предметном стекле можно рассматривать как nповторных испытаний для биномиального эксперимента, где «успех» определяется как попадание клетки в конкретный участок решетки. Если n велико, то для вычисления вероятности того, что конкретный участок решетки содержит k клеток, можно воспользоваться пуассоновским приближением биномиального распределения. Параметр и, значит,.

Величина дает долю тех из 900 участков, в которых содержится по k клеток. Общее количество участков, содержащих по k клеток, равно 900. Например, ожидается, что участков не содержат ни одной клетки.

Это дает метод оценки общего числа имеющихся клеток путем определения числа тех участков квадратной решетки, которые не содержат этих клеток. Например, если мы определили, что в 75 участках решетки нет клеток, то.

А сейчас рассмотрим еще один способ получения распределения Пуассона, являющийся более естественным, по сравнению с использованным выше и раскрывающий большое практическое значение этого распределения.

Пусть вероятность того, что некоторое событие произойдет в интервале времени, равна, где — положительная постоянная, а длина этого временного интервала настолько мала, что вероятность того, что данное событие произойдет более чем один раз за интервал есть величина более высокого порядка малости, чем, и ею можно пренебречь. Обозначим через вероятность появления рассматриваемого события k раз за промежуток времени (0, t). Тогда вероятность того, что событие ни разу не произойдет в интервале (), можно записать в виде. Если допустить, что событие не произошло в интервале (), это значит допустить, что оно не произошло ни в интервале, ни в интервале. Так как вероятность того, что интересующее нас событие не произойдет в интервале, равна, а соответствующая вероятность для интервала равна 1-, то, полагая, что эти два исхода независимы, имеем и, следовательно,.

.

Переходя в этом равенстве к пределу при, получим дифференциальное уравнение.

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, решение которого есть. (Константа, которая получается при интегрировании равна нулю, так как должно выполняться естественное условие, что).

На следующем шаге рассмотрим вероятность при k>0. Имеем.

событие появится k раз за время ()=.

= событие появится k раз за время.

событие не появится за время +.

+ событие появится k-1 раз за время (0, t).

событие появится один раз за время =.

=.

Перегруппировывая и переходя к пределу, получим дифференциальное уравнение:

решением которого будет.

(14).

Поэтому распределение числа появлений нашего события в интервале (0, t) является распределением Пуассона с параметром .

Аналогичный подход может быть использован, если вместо распределения случайных событий по оси t, рассматривать случайное распределение точек по площади или в пространстве.

Для пуассоновских распределений справедлива следующая теорема, доказательство которой предлагается в качестве самостоятельного упражнения.

Теорема 1. Сумма двух независимых случайных величин, подчиняющихся распределению Пуассона с параметрами, снова имеет распределение Пуассона с параметром.

Распределение Пуассона крайне важно в большом количестве физических, биологических и технических задач. Например, этому распределению подчиняется числочастиц, достигающих в течение времени t некоторого участка пространства, число клеток с измененными под действием рентгеновского излучения хромосомами, число ошибочных телефонных вызовов в течение суток и т. д.

Нормальное распределение. В теоретических построениях теории вероятностей и математической статистики важнейшую роль играет так называемое нормальное или гауссовское распределение. Оно также широко применяется и при решении прикладных задач. Значимость нормального распределения определяется тем, что оно служит хорошим приближением для большого числа наборов случайных величин, получаемых при наблюдениях и экспериментах. Нормальное распределение почти всегда имеет место, когда наблюдаемые случайные величины формируются под влиянием большого числа случайных факторов, ни один из которых существенно не превосходит остальные.

С другой стороны, нормальное распределение появляется как точное решение некоторых математических задач в рамках принятых моделей исследуемых явлений. Одни из первых таких решений, приводящие к нормальному закону распределения, были получены К. Гауссом при решении задач теории ошибок наблюдений и Дж. Максвеллом при определении закона распределения скоростей молекул в газе.

Определение. Функция.

(15).

носит название плотности нормального распределения, а ее интеграл.

называется нормальной функцией распределения.

Постоянные называются параметрами распределения.

Случайная величина с плотностью распределения (15) называется нормально распределенной случайной величиной с параметрами .

Постоянная определена таким образом, что вероятность попадания случайной величины в интервал равна единице, т. е.

(17).

Доказательство. Вместо того чтобы доказывать непосредственно, что.

проще доказать, что Введем новую переменную.

и получим.

.

Далее.

=.

Перейдем в этом интеграле к полярным координатам, определяемым уравнениями.

так что.

а элемент области, соответствующий .

С учетом этого получим.

что и требовалось доказать.

Кстати, переход к новой переменной носит название стандартизации и приводит к так называемому единичному нормальному распределению, которое характеризуется математическим ожиданием равным нулю и единичной дисперсией.

Графическое представление плотности и функции нормального распределения приведено на рис. 6 а, б.

Исследуя форму «колоколообразной» плотности распределения, заметим, что кривая симметрична относительно прямой. Наклон кривой выражается величиной.

Эта производная положительна при и отрицательна при Отсюда следует, что возрастает до максимума, когда увеличивается до значения, а затем убывает с уменьшением. Вторая производная имеет вид.

Если, т. е. =+ и =-, то получаются точки перегиба. Ясно, что >0 при всех значениях и что стремится к нулю, когда стремится к бесконечности.

Практическом невозможно протабулировать значения всех нормальных распределений, которые встречаются при решении практических задач. Но оказывается, что этого и не требуется, что вытекает из следующей теоремы.

Теорема 2. Если Х — нормальная случайная величина со средним и дисперсией, то является случайной величиной с единичным нормальным распределением.

Доказательство. Функция распределения для Х имеет вид.

Если.

Значит,.

Произведя в этом интеграле замену переменных получаем.

Таким образом, показано, что Y имеет единичное нормальное распределение.

Обращение этой теоремы состоит в том, что если Y имеет единичное нормальное распределение, то величина распределена нормально со средним и дисперсией .

В приложении приведена таблица функции распределения для единичного нормального распределения (рис.7), значения которой могут быть использованы при вычислении вероятностей нормальных случайных величин с произвольными значениями средних и дисперсий.

Рассмотрим пример. Пусть случайная величина Х распределена нормально со средним 5 и стандартным отклонением 2. Какова вероятность того, что Х принимает значение между 2,4 и 6? Какова вероятность значений больше 10?

Определим единичную нормальную случайную величину (рис.8) Тогда.

В соответствии с доказанной теоремой для первой интересующей нас вероятности Для ответа на второй вопрос заметим, что.

Тогда.

Общим для всех кривых нормального распределения является то, что примерно 68%, 95,6% и 99,7% площади под ними лежат соответственно в пределах.