Исследование модели пуассоновского процесса с помощью производящих функций

[10]. Будем считать, что на вход СМО поступает пуассоновский поток заявок с интенсивностью и вероятностью Рn (t) того, что за время t в СМО поступит n-заявок. Делаем предположение, что при сколь угодно малом отрезке t вероятность поступления заявки определится через t. Вероятность непоступления заявки определится как 1-t. Поток является ординарным. Можно записать уравнение в частных приращениях. Вероятность того, что к моменту времени t+t в системе не будет заявок, определится через вероятность того, что в системе в момент времени t не было заявок, и за отрезок времени t заявки в систему не поступили:

Р0(t+t)=Р0(t)(1-t).(5.5).

Вероятность того, что к моменту времени 1+t в СМО будет n заявок, определится как вероятность того, что в момент t в СМО было n заявок, и за время t заявка не поступила, или к моменту времени t в СМО была n-1 заявок, и за время t поступила еще одна заявка:

Рn (t+t)=Рn (t)(1-t)+ Рn-1(t) t.(5.6).

После проведения преобразований уравнений (5.5) и (5.6), аналогичных преобразованиям уравнений (5.1), (5.2), получим дифференциальные уравнения.

(5.7).

Рассмотрим решение уравнений (5.7) с применением производящих функций. Производящая функция Р (z, t) для функции Рn (t) определится.

Вероятность Рn (t) получим из производящей функции после того, как продифференцируем ее n раз и положим z=0.

При решении уравнения в частных приращениях начало отсчета времени выбирается произвольно даже после того, как в систему поступило i заявок. Будем считать, что при t=0 в СМО есть i-заявок. В этом случае Рn (0)=0, если ni и Рn (0)=1, если n=i. Таким образом,.

Если умножим дифференциально-разностное уравнение (5.5) на zn, а дифференциально-разностное уравнение (5.6) на z0 и просуммируем по всем значениям n, так что.

то получим, что сумма в левой части равна.

а сумма первых членов правой части равна — Р (z, t). Просуммировав вторые члены правой части по n, получим.

.

Если в правой части выделить множитель z, то всю сумму можно записать в виде zР (z, t). Таким образом, система приводится к линейному дифференциальному уравнению для производящей функции, которое имеет вид.

Решение этого уравнения при постоянном значении z (поскольку оно не зависит от t) имеет вид Р (z, t)=Сe (z-1)t.

Допустим, что к моменту t=0 не поступило ни одного требования, тогда Р (z, 0)=1, так как i=0. Таким образом, С=1 и.

Р (z, t)=e (z-1)t.

Как говорилось выше, Рn (t) определится.

Таким образом,.

что является искомой математической моделью пуассоновского потока.