Принцип суперпозиции состояний

В заданных физических условиях частица находится в различных состояниях в зависимости от способа, которым она в эти условия попала. Для свободной частицы в отсутствие воздействия внешних сил могут иметь место состояния, различающиеся как величиной, так и направлением импульсов. Каждое из этих состояний может быть реализовано само по себе. Однако существуют и более сложные случаи. Например, дифракция (опыт Дэвиссона и Джермера), когда падающий пучок разбивается на систему дифрагированных пучков. После взаимодействия с кристаллом движение проходит опять-таки в пустом пространстве, но имеется уже целая совокупность волн де Бройля, отличающихся друг от друга направлениями.

Направляя на кристалл пучок определённой длины волны под углом и, мы не можем получить какую-либо из дифрагированных волн, а получаем сразу всю совокупность этих волн (вместе с падающей), находящихся к тому же в определённых фазовых отношениях и поэтому способных к интерференции. Вся эта совокупность волн есть единое волновое пространство и изображается одной волновой функцией. Однако такое волновое поле есть сумма простых волн де Бройля, каждая из которых сама по себе может описывать возможное состояние движущейся частицы в пустом пространстве. В этом можно убедиться, если выделить из всего волнового поля один из дифрагированных пучков и затем вторично подвергнуть его дифракции.

Таким образом, состояние, возникающее при дифракции частиц на поверхности металла, есть суперпозиция (наложение) состояний свободных движений, описываемых простыми волнами де Бройля. Этот случай является частным проявлением общего принципа суперпозиции состояний, составляющего одну из основ квантовой механики. Этот принцип формулируется так: если квантово-механическая система способна находиться в состоянии, описываемом волновой функцией, и в другом состоянии —, то она может находиться и в состоянии, изображаемом волновой функцией.

.

где и — произвольные (в том числе и комплексные) числа, определяющие амплитуды и фазы частных состояний и. Чтобы истолковать это утверждение физически, обратимся к опыту прохождения электрона через две щели (рис. 9).

Рис. 9.

Если оставить открытой только щель 1, то распределение вероятностей найти электрон в различных точках экрана имеет вид кривой а. Если была бы открыта только щель 2, то распределение осталось бы таким же, но смещённым вниз на расстояние, равное расстоянию между щелями, чему соответствует кривая б. Если сложить эти вероятности, то получатся значения, которым отвечает кривая в. Экспериментальное же распределение вероятностей при двух открытых щелях (кривая г) имеет совершенно иной вид. Это истинное, подтверждённое опытом, распределение можно получить теоретически, если складывать не вероятности, а амплитуды вероятностей. Это значит, что когда открыты обе щели волновая функция должна определиться так. При переходе от амплитуд к вероятностям получаем.

Где — перекрёстное (интерференционное) слагаемое, которое может быть, как положительным, так и отрицательным. В то же время это слагаемое показывает, что в отличие от частиц классических, каждая из которых могла бы пролететь только через одну из щелей (что дало бы распределение), электроны (каждый из них) чувствуют одновременное влияние двух щелей. Происходит не интерференционное наложение различных волн электронов, прошедших через разные щели, а интерференция волн каждого электрона на обеих щелях.

Можно обобщить, что если есть ряд возможных состояний системы, отличающихся значением какой-либо величины (импульса, энергии, момента импульса и др.), которые изображаются волновыми функциями то по принципу суперпозиции возможно и сложное состояние, такое, что Если состояния суперпозиции отличаются друг от друга бесконечно мало, вместо суммы будем иметь интеграл. Важным примером суперпозиции последнего рода является представление произвольного волнового поля в виде суперпозиции волн де Бройля.

Где.

амплитуда волны де Бройля, имеющей импульс.

Смысл амплитуд в том, что значение пропорционально вероятности обнаружить микрочастицу в состояниис импульсом.

Любое волновое состояние можно рассматривать как суперпозицию волн де Бройля, то есть состояний с заданным импульсом частицы.