Превращение непрерывной модели в дискретную с выбором периода квантования

Содержание Введение

1. Преобразование непрерывной модели в дискретную и выбор периода квантования

2. Моделирование дискретного варианта системы и нахождение ошибки

3. Расчёт структуры и параметров дискретного регулятора и моделирование по каналу отклонения

4. Расчёт дискретного компенсатора и моделирование системы

5. Моделирование дискретной системы с учётом нелинейности

6. Формирование интегрального квадратического критерия и выбор весовых коэффициентов

7. Переход к модели в переменных состояниях

8. Аналитическое конструирование регулятора

9. Моделирование оптимальной системы Заключение Литература

Введение

Совершенствование технологии и повышение производительности труда во всех отраслях народного хозяйства относятся к важнейшим задачам технического прогресса нашего общества. Решение этих задач возможно лишь при широком внедрении систем автоматического регулирования и управления как отдельными объектами, так и производством, отраслью и всем народным хозяйством в целом. Научно-техническая революция, вызванная созданием цифровых вычислительных машин, сказалась на развитии многих отраслей науки и техники. Особо сильному влиянию подверглись теория и практика автоматического регулирования и управления объектами и совокупностями объектов как в гражданской, так и в военной технике. Применение цифровой вычислительной техники открывает большие возможности при управлении такими сложными устройствами и системами, как прокатные станы, домны, бумагоделательные машины, поточные линии, подвижные объекты (самолеты, ракеты, космические корабли и др.), автоматизированные системы управления производством, железнодорожным транспортом, воздушным движением и т. п.

Импульсные автоматические системы в отличие от непрерывных систем работают на импульсных сигналах определённой периодичности. Импульсы характеризуются периодом повторения (цикла) Тц, высотой импульса hи, длительностью Тц, полярностью и моментом начала импульса. Импульсные системы обычно представляют соединение импульсного элемента и некоторй непрерывной части. Устройство, формирующее последовательность импульсов, определяемую непрерывным входным сигналом, называется импульсным элементом.

Импульсные системы могут быть как линейные так и нелинейные.

Динамику импульсной автоматической системы можно рассматриватьв виде реакции непрерывной части системы на серию импульсов, чередующихся с заданным периодом. Конечные значения переменных для предыдущего цикла являются начальными для последующего цикла и т. д. Зная закон изменения внешнего воздействия, приведённого ко входу импульсного элемента можно определить форму импульсов, поступающих на вход непрерывной части системы, и рассчитать переходной процесс на всём промежутке регулирования. Однако, этот метод не позволяет исследовать устойчивость системы в целом и оценить влияние параметров на динамику системы.

Для устранения указанного недостатка было предложено контролировать процесс регулирования не непрерывно во времени, а дискретно один раз за период, например, в момент начала каждого цикла. В связи с этим в работах Н. Е. Жуковского и Хорта для исследования импульсных систем регулирования был применён аппарат дифференциально-разностных преобразований Лапласса и частотный метод, позволяющий применять известные в линейной теории методы анализа.

Преобразование непрерывного сигнала в дискретный называется квантованием сигнала. Существуют два основных вида квантования:

1) по уровню;

2) по времени.

Сигнал, квантованный по времени, изменяется скачком в фиксированные моменты времени и изображающиеся горизонтальной линией.

В соответствии с названными выше видами дискретных сигналов САУ дискретного действия делятся на три типа: релейные, импульсные и цифровые.

Релейные САУ — это системы с квантованием по уровню, импульсные — с квантованием по времени, а цифровые — с применением обоих видов квантования.

1. Преобразование непрерывной модели в дискретную и выбор периода квантования Каждую систему управления, в которой присутствует хотя бы один элемент, который не подчиняется непрерывному характеру изменения сигналов можно отнести к классу дискретных систем. Для этих систем характерным является исчезновение сигналов информации хотя бы на одном элементе на небольшой отрезок времени.

Пусть имеем на входе в дискретный элемент непрерывный сигнал. .В этом случае реальное время заменяем на кванты и вводим период квантования t=кТ, к=0,1,…,. Если Т 0 тогда имеем непрерывную модель.

Непрерывную систему, структурная схема которой приведена

необходимо перевести в дискретную область. Для этого выбрать период квантования. Известно, что период квантования должен быть кратен запаздыванию. В этом случае выберем Ткв =1 (что кратно -3 и -10).

Воспользуемся приложением Simulink математического пакета MATLAB, при этом используем функцию foh (экстрополятор 1-го порядка).

>> w=tf ([1],[10 1],'td', 3)

Transfer function:

exp (-3*s) * ——;

10s + 1

>> w1=tf ([1],[50 1 0],'td', 10)

Transfer function:

exp (-10*s) * ———;

50s² + s

>> w2=tf ([1],[1 0])

Transfer function:

1/ s

>> w3=c2d (w, 1,'foh')

Transfer function:

0.9 516

z^(-3) * ————————;

z — 0.9049

Sampling time: 1

>> w4=c2d (w1,1,'foh')

Transfer function:

0.1 041 z + 0.1 041

z^(-10) * —————————;

z² -1.98z+0.9802

Sampling time: 1

>> w5=c2d (w2,1,'foh')

Transfer function:

0.5 z + 0.5

z — 1

Sampling time: 1

>> w6=w3*w4*w5

Transfer function:

0.4951z²+0.9902z+0.4 951

z^(-13) *

z³ — 2.885 z² + 2.772 z — 0.8869

Sampling time:1

2. Моделирование дискретного варианта системы и нахождение ошибки Структурная схема объекта в непрерывной области и дискретной области.

На рис 2.1. представлен график переходного процесса данной структурной схемы объекта.

Рассчитаем ошибку дискретизации по формуле :

=((x1-x2)/x1)100 ;

На такте =68 имеем ошибку:

1=((15.2−14.5)/15.2)100=4.6;

Cледовательно, ошибка дискретизации удовлетворяет заданному условию 6 начиная с 68-го такта.

3. Расчёт структуры и параметров дискретного регулятора и моделирование по каналу отклонения Для системы вида:

дискретный регулятор компенсатор требуется рассчитать дискретный регулятор.

Воспользуемся методикой расчёта цифрового регулятора обеспечивающего минимальное время переходного процесса для системы с запаздыванием.

Передаточная функция регулятора рассчитывается по формуле:

Передаточная функция объекта:

Объект задан в виде:

Домножим передаточную функцию объекта на и запаздывание :

получили, что коэффициенты

Перейдём к виду:

;

Коэффициенты при z найдём следующим образом:

;

;

Умножим числитель и знаменатель на :

;

Промоделируем систему:

График переходного процесса системы с регулятором представлен на рис. 3.1.

Eуст.=0; Tрег=18; перерегулирование 0%.

4. Расчёт дискретного компенсатора и моделирование системы Основная задача корректирующих устройств состоит в улучшении точности системы и качества переходных процессов. Однако наряду с этим путем введения корректирующих устройств можно решать и более общую задачу — сделать систему устойчивой, если она была без них неустойчивой, а затем и добиться и желаемого качества процесса регулирования.

Если относительно основной переменной, которая должна быть нечувствительна к возмущению, построить систему таким образом, что бы воздействие этого возмущения проходило как минимум через два канала, то в этом случае можно реализовать инвариантную систему относительно данного возмущения на эту переменную.

Внешние воздействия делятся на задающие, сигнал которых система должна воспроизводить, и возмущающие, действие которых нужно нейтрализовать. В нашем случае нужно скомпенсировать возмущающее воздействие.

Исходный непрерывный вариант системы с учётом возмущающего воздействия:

Переведём передаточную функцию по каналу возмущения в Z-область:

>> w=tf ([0.5],[1 1])

Transfer function:

0.5

s + 1

>> w1=c2d (w, 1,'zoh')

Transfer function:

0.3161

z — 0.3679

Sampling time: 1

Расчёт дискретного компенсатора будем вести по той же методике, что и непрерывного.

Передаточная функция компенсатора рассчитывается по формуле:

;

Чтобы W_k(z) представляла собой физически реализуемую передаточную функцию, наивысший показатель степени знаменателя должен быть равным или превосходить соответствующий показатель степени числителя nm. В нашем случае это условие выполняется.

Сруктурная схема системы с компенсатором.

График переходного процесса системы с компенсатором представлен на рис. 4.1.

Для сравнения промоделируем также систему c введением регулятора в цепь обратной связи (рис. 4.2.).

Из графиков видно, что компенсатор устраняет возмущающее воздействие практически вдвое. Это не идеальный вариант, но преимущества использования компенсатора все же существенны.

5. Моделирование дискретной системы с учётом нелинейности Произведём замену в нашей системе непрерывного регулятора на релейный. В такой системе возникают автоколебания.

Автоколебанияустойчивые собственные периодические колебания, обладающие свойствами:

1) являются собственными свободными колебаниями системы.

2) имеют вполне определенную амплитуду и частоту, не зависящую от начальных условий процесса, а зависящую только от параметров самой системы (регулятора и объекта).

Наличие автоколебаний является замечательным специфическим свойством нелинейных систем. Если в какой-нибудь реальной системе регулирования на практике наблюдаются автоколебания, то это всегда обязательно является следствием наличия определенного вида нелинейности в этой системе. В чисто линейных системах автоколебаний быть не может.

Для моделирования систем с учётом нелинейности используем нелинейный элемент типа идеальное реле (зона нечувствительности равна нулю). На рис. 5.1. представлена релейная статическая характеристика.

Идеальное реле обеспечивает переключение сигнала ошибки по уровню +к илик. Изменение величины сигнала происходит как только входной сигнал (сигнал ошибки) принимает нулевое значение.

Промоделируем дискретную систему с нелинейностью, а также для сравнения, эту же систему в непрерывной области.

Структурная схема непрерывной и дискретной системы с нелинейностью.

Графики переходных процессов представлены на рис. 5.2.

Из рис. 5.2. определяем параметры автоколебаний:

А=0.52 w=0.022

Для непрерывной модели имеем следующие значения:

A=0.51 w=0.023

Полученные значения амплитуды и частоты автоколебаний близки.

6. Формирование интегрального квадратического критерия и выбор весовых коэффициентов Любой критерий оптимальности есть аналитическая оценка оптимизируемого качества системы, зависящая от её параметров, задающих x и возмущающих f воздействий на объект управления u. Таким образом, критерий оптимальности выражается в виде функционала J (u), зависящего от функции управления, а оптимальное управление U_опт определяется как функция, реализующая экстремум критерия качества, т. е. функционал J (u).

Изначально объект задан в виде:

Имеем систему, которая описывается моделью в области переменных состояния:

A, B, S — постоянные матрицы;

x — ошибка по каждой из координат и равна:

Необходимо построить систему, которая обеспечит стабилизацию этих координат, т. е. сформировать оптимальный закон управления, минимизирующий функционал качества. Для этой задачи выберем интегральный квадратичный критерий.

Уравнение Беллмана для непрерывных систем:

т.к. рассматривается стационарная система, не зависящая от t, то в этом случае принимаем .

(1)

Таким образом, получим оптимальный закон управления, выразив U из последнего уравнения:

(2)

Нахождение матрицы L .

Подставим (2) в (1):

Если раскрыть скобки, упростить выражение и собрать коэффициенты при заданных степенях x, то получим систему уравнений:

Из последнего уравнения выразим L:

;

В качестве весовых коэффициентов возьмём единичные матрицы С и D

7. Переход к модели в переменных состояниях Для начала надо перейти к модели переменных состояний. Для этого необходимо избавиться от запаздывания.

Разобьём запаздывание на 10 равных:

Разложим экспоненту в ряд, ограничиваясь двумя первыми членами:

;

Таким образом, наше исходное запаздывание можно представить в виде пяти последовательно-соединённых блоков и переходить в область переменных состояний от следующей модели:

Его мы заменяем апериодическими звеньями. Система будет иметь вид:

Перейдём к модели переменных состояния:

На основе полученных дифференциальных уравнений запишем матрицы A, B, S.

8. Аналитическое конструирование регулятора Приведём структуру аналитического конструирования регуляторов непрерывных систем. На основе метода динамического программирования показано, что синтез регулятора для систем стабилизации оптимальных в смысле квадратичного функционала сводится к решению обыкновенных дифференциальных уравнений (уравнение Рикатти) с известными начальными условиями. Численные решения этих уравнений осуществляется с помощью стандартных программ на ЭВМ.

где — матрица коэффициентов обратной связи по переменным x.

Для нахождения этих коэффициентов используем математический пакет MATLAB-Simulink, причём матрицами C и D задаёмся произвольно.

D=І, С=І

>> [k, s, e]=lqr (A, B, C, D)

k1=1.26 043

k2=0.77 739

k3=1.76 148

k4=1.50 794

k5=0.98 030

k6=0.9 236

k7=0.4 327

k8=0.1 654

k9=0.461

k10=0.0007

При расчёте коэффициентов обратной связи необходимо учитывать, что все значения матрицы R должны быть положительными, в противном случае задаются другими значениями матрицы D, т. к. матрица D задаётся разработчиком АКР регулятора.

Если в формулу для Uопт подставить, полученное ранее выражение для L, то получим

;

Таким образом, значения матрицы l являются коэффициентами обратной связи по возмущению.

В результате вычислений матрица l равна:

При проектировании структуры, учтём, что для снятия показаний с выхода необходимо усилить сигнал в x раз, где x — коэффициент матрицы с, которую будем искать следующим образом:

w=(w1*w2+w3)*w4*w5*w6*w7*w8*w9*w10

wss=ss (w)

c =

x1 x2 x3 x4 x5

y1 0 0 0 0 0

x6 x7 x8 x9 x10

y1 0 0 0.0025 0.115 0.24

9. Моделирование оптимальной системы Таким образом, в соответствии c полученным законом оптимального управления синтезируем структурную схему регулятора.

В качестве начальных условий возьмём единицы, которые зададим в блоке State-Space.

График переходного процесса, реализуемого данной системой, представлен на рис. 9.1.

На этом аналитическое конструирование регулятора завершено

Заключение

В рамках курсовой работы нами осуществлено превращение непрерывной модели в дискретную с выбором периода квантования. Так же найдена ошибка дискретизации на разных тактах и установлено, что мы укладываемся в рамки исходных данных () начиная с 30-го такта.

Прежде всего характерным является преимущественное применение аналитических методов в противоположность применяемым при синтезе непрерывных систем графоаналитических методов.

Весьма удобным аппаратом для аналитического синтеза линейных импульсных систем явилось дискретное преобразование Лапласса (Z — преобразование), разработанное Цыпкиным, Заде и др.

Далее нами произведён расчёт структуры и параметров дискретного регулятора и дискретного компенсатора. В конце курсовой работы произведено аналитическое конструирование регулятора с выбором его структуры и параметров.

В заключении отметим, что в настоящее время для целей синтеза систем автоматического регулирования используются электронные вычислительные машины, позволяющие производить полное или частичное моделирование проектируемой системы. Большие перспективы имеет использование цифровых вычислительных машин (ЦВМ) для управления автоматизированными объектами. Это объясняется значительными вычислительными и логическими возможностями ЦВМ, что позволяет реализовывать сложные алгоритмы управления.

1. Бесекерский В. А., Попов Е. П. Теория автоматического регулирования. — М.: Наука, 1974

2. Р. Изерман «Цифровые системы управления». — М.: Наука, 1986.

3. Александров «Оптимальные и адаптивные системы управления».

4. Б. Куо «Теория проектирования цифровой системы управления».

— М.: Наука.

Размещено на