Математическая модель ВТГ

В настоящем разделе приводятся основные положения математической модели ВТГ, разработанной Журавлевым В. Ф. для тонкого упругого кругового кольца. Известны следующие уравнения колебаний такого кольца в своей плоскости [11]:

(1.4.1)Через w (t,) обозначено радиальное перемещение точки кольца, имеющей на кольце угловую координату . Штрихи означают дифференцирование по углу , а точки — по времени, (t) — угловая скорость вращения кольца в его плоскости, предполагаемая известной и зависящая произвольным образом от времени Примечание. В данной пояснительной записке сохранены обозначения авторов, используемые в работах, на которые приводятся ссылки. Поэтому в процессе изложения текста встречаются переобозначения.

Например, выше угловая скорость вращения резонатора в инерциальном пространстве обозначена? (t), а в этом разделе (t), как это сделано в работе [ 11 ]. Поскольку везде приводятся расшифровки, то переобозначения не должны мешать восприятию текста.

Уравнение (1.1.1) допускает точное решение в виде гармонической волны:

w = q1 (t)cos k + q2(t)sin k, k = 2,3,… (1.4.2).

Значение k = 0 не имеет смысла рассматривать, поскольку такая форма колебаний соответствует деформациям растяжения, в то время как уравнение (1.4.1) выведено для нерастяжимого кольца. Значение k = 1 формально возможно, однако оно означает перемещение кольца как жесткого целого без каких-либо деформаций, что не представляет интереса для разработки ВТГ.

Если рассматривать только колебания вида (1.4.2), т. е. колебания по одной из собственных форм (общее решение есть сумма по k всех таких форм с произвольными константами), то кольцо, как колебательная система, эквивалентна плоскому изотропному осциллятору, положение которого определяется двумя координатами q1 и q2.

Подставляя (1.4.2) в (1.4.1), находим уравнения движения такого осциллятора:

(1.4.3).

Систему (1.4.3) удобно записать в векторной форме.

(1.4.4).

Если кольцо не вращается, т. е. 0, система (1.4.3) распадается на уравнения двух независимых осцилляторов, для которых общее решение имеет вид:

(1.4.5).

с произвольными постоянными, a, b, m, n и с частотой.

= k(k2 -1)(k2 +1)-½.

В соответствии с (1.4.2) решение (1.4.5) определяет в этом случае следующий закон колебаний кольца:

w = (a cos k + b sin k) cos t+ (m cos k + п sin k) sin t (1.4.6).

При произвольных начальных условиях уравнения (1.4.5) определяют в плоскости (qvq2) эллипс. В случае, когда этот эллипс вырождается в отрезок прямой, решение (1.4.6) определяет в кольце стоячую волну. В случае противоположного вырождения, когда эллипс превращается в окружность, формула (1.4.6) определяет в кольце бегущую волну.

Если 0, то прямолинейных колебаний в плоскости (q}, q2) в общем случае система (1.4.3) не имеет. Иными словами во вращающемся кольце стоячие волны невозможны. Однако, в этом случае в кольце существуют такие колебания, которые в некоторой вращающейся системе координат имеют вид стоячих волн. Такие волны мы будем называть прецессирующими волнами. Скорость соответствующей вращающейся системы координат будем называть скоростью прецессии волны.

Покажем существование такой системы координат и её единственность.

Переход к вращающейся системе координат в уравнении (1.4.1) означает замену угловой переменной на + (t), где угол (t) определяет положение подвижной системы координат относительно кольца.

Если вместо в формулу (1.4.2) подставить + , то получим, что q1 и q2 надо заменить на q1 cosk+ q2 sink и q1 sin k + q2 cosk, соответственно.

Это преобразование поворота в плоскости (ql, q2) приводит к тому, что во вращающейся системе координат уравнение (1.4.4) приобретает вид.

(k2 + 1) + Г{2k[(k2 + 1) — 2]+ k[(k2 + 1) — 2)]q} + [v2 + 4k2 — (k2 +1)k22]q = 0 (1.4.7).

Для переменных во вращающейся системе координат сохраняются прежние обозначения.

Найдем условия существования в этой системе координат прямолинейной формы колебаний:

(1.4.8).

Здесь - произвольные константы, а — скалярная функция времени, подлежащая определению.

Если подставить (1.4.8) в (1.4.7), то можно заметить, что для существования в (1.4.7) решения вида (1.4.8) достаточно потребовать обращения в нуль коэффициента при Г:

2[(k2 +1) — 2] + [(k2 +1) — 2] = 0 (1.4.9).

При любых (t) это можно обеспечить выбором угла по формуле:

(1.4.10).

После чего скалярная функция (t) найдется из уравнения.

.

в котором вместо надо подставить (1.4.10).

Покажем, что условие (1.4.10) является и необходимым для существования в системе (1.4.7) прямолинейной формы колебаний. Обозначим (к 2 +1) — 2 = и и рассмотрим (3.9):

2u+ = 0.

Откуда находим.

(1.4.11).

где с — произвольная постоянная.

Решение (1.4.11) показывает, что функция (t) не может менять знак. Следовательно, она не определяет колебательный процесс. Таким образом, к стоячим волнам относится только рассмотренный выше случай, приводящий к формуле (1.4.10).

Изложенное выше можно суммировать в виде теоремы.

Какой бы ни была зависимость угловой скорости кольца от времени (в классе дифференцируемых на бесконечном полуинтервале функций) существует и единственна вращающаяся относительно кольца система координат, в которой при определённых начальных условиях колебания кольца представляют собой стоячие волны.

Скорость этой системы координат выражается формулой (1.4.10). Частным случаем из неё вытекает результат Брайана [8], установленный им только для случая постоянной угловой скорости кольца 0.

Поэтому формула (1.4.10) описывает новый физический эффект, не замеченный Брайаном, и доказанный Журавлевым В.Ф.

Формулу (1.4.10) ввиду её точного характера можно сколько угодно раз дифференцировать. В частности можно заметить, что ускорение волны пропорционально ускорению кольца:

Поскольку ускорение кольца пропорционально приложенному к нему моменту внешних сил I, то можно утверждать, что этот момент вызывает не только ускорение кольца, но и ускорение прецессирующей волны.

Описанный выше физический эффект в неравномерно вращающемся кольце Журавлев В. Ф. определил как эффект инертности прецессирующих упругих волн.

Эффект (1.4.10), который установлен для уравнения колебаний кольца (1.4.1) без каких-либо приближений, с различной степенью точности верен и для произвольных упругих тел, обладающих осевой симметрией. Различие будет состоять только в величине масштабного коэффициента. В статье Журавлева В. Ф., готовящейся к публикации — «Волновой твердотельный гироскоп. Современное состояние теории» сделан вывод, точно определяющий физическую природу явления, лежащего в основе работы ВТГ.

Этот вывод сформулирован следующим образом.

Если вычислить момент количества движения вращающегося и одновременно совершающего упругие колебания кольца, то он будет состоять из двух слагаемых:

К= Ко + Кв,.

где Ко = I•? — кинетический момент собственно кольца,.

а.

кинетический момент стоячей волны, m — масса кольца, r — амплитуда волны, -угловая скорость волны, определяемая формулой.