Графики векторных полей

Для построения графика векторного поля прежде всего нужно задать функцию, которую этот график будет в дальнейшем визуализировать — здесь, в общем-то, как видите, все так же, как с обычными трехмерными графиками. Функцию задайте скалярную и от двух переменных, которыми будут координаты x и y. Конечно, функцию можно выбрать практически любую, но хрестоматийным примером стала зависимость, аналогичная той, которую имеет напряженность электрического поля, создаваемого точечным зарядом: f (x, y) = 1 / (x2 + y2). Думаю, именно ее мы и будем использовать для построения нашего с вами первого графика векторного поля.

Собственно говоря, на этом сходство с обычным трехмерным графиком как бы и заканчивается, потому что дальше нужно вручную задать базис, в котором будут строиться векторы нашего с вами поля. Только сначала нужно задать сетку разбиения нашей области построения для этого поля (см. иллюстрацию). Она задается границами xa и xb, ya и yb, обозначающими, соответственно, наибольшее и наименьшее значение координат. Далее мы рассчитываем по предельно простым формулам равномерно распределенные между границами опорные точки, и рассчитываем значения векторов в этих точках. Вот на этом-то расчете, я так думаю, имеет смысл остановиться и подробнее. Как вы знаете, должно быть, каждый вектор имеет смысл только будучи построенным в определенном базисе. Базис — это линейно независимая система векторов, через которые может быть выражен любой другой вектор в данном пространстве. Что значит «линейно независимая»? Это значит, что в данной системе один вектор не может быть линейно выражен через другие, то есть сумма остальных векторов, умноженных на любые скалярные коэффициенты, никогда не даст этот самый вектор. В качестве базиса могут использоваться разные векторы. Чаще всего используется прямоугольная декартова система координат, в которой базисом являются векторы единичной длины, направленные вдоль координатных осей x, y и z. Однако все эти соображения никоим образом не помогают понять, каким должен быть базис для векторов, поле которых мы с вами сейчас строим. Ответ прост: в качестве базисных векторов используются линейно независимые векторы из градиента нашей скалярной функции, которую мы задавали в самом начале данного, с позволения сказать, упражнения. Градиент — это векторная производная скалярной функции, направленная в сторону ее убывания. Компоненты градиента направлены параллельно координатным осям, то есть в нашем случае мы можем просто написать в качестве базисных векторов X и Y компоненты градиента. Именно это и отражено на приведенной иллюстрации.

К сожалению, по той же иллюстрации видно, что с построением векторного поля существует одна досадная, но практически неустранимая мелочь — векторы, отстоящие достаточно далеко от его силового центра, настолько малы, что MathCAD изображает их даже и не стрелками, а просто точками. Виноват здесь, впрочем, совсем не MathCAD, который просто максимально честно отображает то, что мы его попросили отобразить. Дело в том, что по мере удаления от силового центра (он у нас пришелся на начало координат) поле уменьшается обратно пропорционально квадрату расстояния до этого самого центра, то есть убывает модуль (длина) наших векторов очень и очень быстро. Чуть лучше их будет видно, если растянуть картинку до достаточно больших размеров (фактически лучше всего — на весь экран), но и это не спасает положения в целом. Так что приготовьтесь к тому, что зачастую визуализация векторных полей будет совсем не так хороша, как вам хотелось бы. Можно попробовать несколько улучшить ситуацию, поэкспериментировав с границами отображаемого участка векторного поля, однако и это, как правило, редко дает удовлетворительные результаты. Лучшим выходом будет логарифмирование входной скалярной функции, что будет гораздо лучше, однако в таком случае стоит помнить, что и график у нас получится в логарифмическом масштабе, а не в линейном. В качестве иллюстрации того, что картинка, получаемая в результате визуализации векторного поля больше зависит от функции, которая его задает, чем от размеров области отображения, приведу иллюстрацию векторного поля на участке х = (-50; 50), у = (-50; 50) и с f (x, y) = x2 + y2. Как видите, положение вещей кардинально отличается от того, что мы видели на рисунке, когда f (x, y) была записана как 1/(x2 + y2). Если вы попробуете для любого из этих случаев умножить каждую из границ диапазона отображения на какую-нибудь отличную от нуля произвольную константу, то увидите, что картинка никак не изменится. Думаю, вполне понятно, что это происходит потому, что MathCAD изображает относительную, а не абсолютную величину векторов поля.

Вычисление градиента (Рис. 3).

Решение.

2. Решить неравенство.

3.

Правая часть матрицы Матрица системы.

Формирование расширенной матрицы.

Приведение матрицы к ступенчатому виду.

Формирование столбца решения системы.

Проверка.

Задача 4.

Исследовать функцию, построить её график Проведем исследование функции.

Область допустимых значений.

x=1-вертикальнаяасимптота Точки пересечения с осями координат пересечение с осью OY.

пересечение с осью OX.

Производные первого и второго порядка.

Монотонность, точки экстремума функция убывает функция возрастает.

точка минимума Вогнутость, точки перегиба вогнутая выпуклая точка перегиба.

векторный трехмерный график форматирование.