Построение и анализ математической модели объекта управления

Техническое задание

Данные

Эквивалентная схема объекта управления

Рисунок 1. Исходная схема Содержание

1. Построение математической модели объекта управления в пространстве состояния

2. Построение математической модели

3. Построение сигнального графа

4. Нахождение передаточной функции по формуле Мейсона

5. По передаточной функции определить временные и частотные характеристики и построить их графики

6. Определить прямые и косвенные оценки качества ОУ по полученным зависимостям

Заключение

Список используемой литературы математический управление передаточный временный

1. Построим математическую модель объекта управления в пространстве состояния Рисунок 2 Структурная схема ОУ В схеме четыре элемента, запасающих энергию: L1,L2,C1,C2, следовательно, математическая модель должна быть четвертого порядка.

При построении математических моделей следует учитывать следующие выражения для связи токов, напряжений и комплексных сопротивлений элементов электрической схемы.

Для сопротивления R

Для индуктивности L

Для емкости C

2. Построение математической модели Задаемся направлением контурных токов i1, i2,i3,i4. Составляем четыре уравнения по второму закону Кирхгофа для контуров:

В уравнениях (1),(4) есть интегралы, поэтому продифференцируем их:

В уравнениях и есть производные, в качестве x1, x2,x3,x4 выбираем элементы с производными и производные берем на порядок ниже:

Запишем введенный вектор состояния в виде дифференциальных уравнений первого порядка.

Уравнение в пространстве состояний записывается в левой части:

Выразим токи i1, i2,i3,i4 из уравнений :

Найдем :

выходной параметр:

Получили четыре дифференциальных уравнения и одно уравнение для выходного параметра.

Запишем полученную систему уравнений в матричном виде:

Получим матричное уравнение для выходной переменной:

3. Построение сигнального графа Перепишем уравнения в общем, виде для построения графа системы:

4. Нахождение передаточной функции по формуле Мейсона

где к — количество возможных прямых путей от входа к выходу;

? — определитель графа;

Рk — коэффициент передачи кого пути от входа к выходу;

?к — определитель всех касающихся контуров при удалении кого пути;

— сумма коэффициентов передачи всех отдельных контуров;

— сумма всех возможных произведений из 2-х не касающихся контуров;

— сумма всех возможных комбинаций из 3-х не касающихся контуров.

С учетом всех перечисленных формул для нахождения передаточной функции по формуле Мейсона необходимо выполнить действия в определенной последовательности:

— определить и записать уравнения всех к прямых путей от входа к выходу Р1, Р2,…, РК ;

— выявить число замкнутых контуров и записать их уравнения Lx, L2,…, Ln;

— записать выражение для определителя системы ?;

— записать определители путей: ?1, ?2, ?k;

— записать и преобразовать выражение передаточной функции W (p).

В данном случае есть 5 пути от входа к выходу:

;

В системе имеется 7 замкнутых контуров:

Определитель системы ?:

Количество сомножителей равно количеству прямых путей. Выражение для записывается как выражение для, но разрываются контуры, через которые проходит прямой путь P_i.

Определитель путей? k:

Запишем и преобразуем выражение передаточной функции:

5. По передаточной функции определить временные и частотные харак теристики и построить их графики Переходная функция:

Рис. 5 График переходной функции.

Весовая функция:

Рис. 6 График весовой функции.

Строим графики АЧХ и ФЧХ.

Рис. 7 График АЧХ (амплитудно-частотная характеристика).

Рис. 8 График ФЧХ (фазо-частотная характеристика):

6. Определить прямые и косвенные оценки качества ОУ по полученным зависимостям Определим качество системы по графику переходного процесса h (t).

а) Прямые оценки качества:

t_p= 11 с — время переходного процесса (время регулирования);

— перерегулирование;

n=0.5 — колебательность;

t_H= 0.385 -время нарастания регулируемой величины;

t_cor=0.66 — время первого согласования;

б) Косвенные оценки качества:

Показатель колебательности:

Резонансная частота:

Частота среза: сp=10

Полоса пропускания частот:

Заключение

В ходе выполнения курсовой работы была построена математическая модель объекта управления в пространстве состояния, составлены граф системы и структурная схема. По формуле Мейсона найдена передаточная функция системы, построены графики временных и частотных характеристик системы, определены оценки качества системы по данным характеристикам.

Список используемой литературы

1. Брофеев Ю. И. Импульсная техника. -М.: Высшая школа, 1984.

2. Р. Ли Оптимальные оценки, определение характеристик и управление. -М.: Наука, 1966.

3. Справочное пособие по теории систем автоматического регулирования и управления под ред. Е. А. Санковского — Минск: Высшая школа, 1973.