Основные этапы формирования межпредметных понятий: функция и координаты

Основные этапы формирования межпредметных понятий: функция и координаты Усвоение межпредметных понятий лежит в основе формирования целостной естественнонаучной картины мира, поэтому является важной образовательной задачей.

Если рассматривать треугольник Фреге относительно математических понятий, то терминами понятий мы обозначаем математические объекты, которые изучает математика; значениями понятий являются идеи; смысл понятий может быть передан определением, системой аксиом, признаком, описанием свойств объектов, существенных для понятия. Здесь имеется в виду объективный (связанный с общественно-историческим опытом) смысл, который конструирует способ получения понятия в определённой науке. Но по причине того, что большинство терминов знакомы ученику, можно говорить и о субъективном (связанном с личностным опытом) смысле понятия. Что же такое «межпредметные понятия»? Чтобы ответить на этот вопрос, обратимся к логическому подходу к трактовке понятия, который преимущественно используется при изучении математики.

С точки зрения логики, любое понятие может быть охарактеризовано термином (имя, языковое выражение, знак понятия), смыслом (способ, которым может быть задано понятие) и значением (тот реальный предмет, который обозначен термином понятия). межпредметный понятие функция Связь между термином, его значением и смыслом обычно изображают в виде семантического треугольника (треугольника Фреге).

Проведенный нами анализ научной литературы не дал однозначного ответа на этот вопрос. В глоссарии ФГОС, методической, философской литературе нет четкого определения межпредметных понятий, поэтому надо договориться, что мы будем понимать под ними.

Понятие является объектом рассмотрения различных наук — логики, философии, психологии, поэтому существуют различные его трактовки.

В математике, в частности, в школьной, чаще всего используется логический подход к трактовке понятия [2]. С точки зрения логики, любое понятие может быть охарактеризовано термином (имя, языковое выражение, знак понятия), смыслом (способ, которым может быть задано понятие) и значением (тот реальный предмет, который обозначен термином понятия) [3]. Терминами математических понятий мы обозначаем объекты, которые изучает математика; значениями понятий являются идеальные объекты; смысл понятий может быть передан определением, системой аксиом, признаком, описанием свойств объектов, существенных для понятия [2].

Например, значения понятий «система уравнений», «кровеносная система» и «солнечная система» — различные, исключают друг друга. Такие понятия в логике называют соподчинёнными. Соподчинённые понятия принадлежат более общему родовому понятию и являются подчинёнными ему. Объём родового понятия содержит в себе объёмы всех подчинённых ему понятий. А содержание родового понятия представляет совокупность общих свойств подчинённых понятий.

В разных учебных дисциплинах можно выделить понятия, обозначенные одним и тем же термином и имеющие одинаковое значение и смысл. Такие понятия называются межпредметными. Например, понятие линии, модели, функции, отношения, угла, круга, системы, координаты и т. д.

Межпредметные и подчинённые им понятия требуют разработки методики их формирования.

Было выделено четыре этапа формирования межпредметных и подчинённых им понятий при изучении математики:

I этап. Выделение понятий, соподчинённых изучаемому на уроках математики понятию.

Этап реализуется учителем с помощью анализа содержания других учебных предметов.

II этап. Выявление содержательной составляющей субъектного опыта.

Этот этап проходит уже непосредственно на уроке. Необходим он для выявления субъективного смысла понятия у каждого ученика и установления связи с вводимым понятием.

III этап. Формирование у учащихся обобщённого представления (предпонятия) о межпредметном понятии и их выполнение на уроке.

На этом этапе происходит знакомство учащихся с разными значениями (объемом) межпредметного понятия и разными его смыслами через определенную систему заданий.

IV этап. Демонстрация специфики понятия данной предметной области, подчинённого межпредметному, связи его с другими учебными предметами.

Рассмотрим эти этапы на примере понятия «функция». Функция является межпредметным понятием. В процессе изучения алгебры дети знакомятся с числовой функцией.

I этап. Понятия, соподчинённые понятию «числовая функция», встречаются при изучении многих учебных предметов и жизненных ситуациях — функция мобильного телефона, функция внутренних органов, функция государства, функция частей речи и т. д.

Для математики специфичными являются следующие свойства функции:

• 1) рассматриваются только числовые множества;
• 2) каждому элементу множества Х ставится в соответствие единственный элемент множества У.

Впервые термин «функция» встречается в учебнике по природоведению для 5-го класса при изучении функций растений и функций животных. Здесь функция понимается как действие, выполняемое растениями и животными. В таком же смысле можно понимать функции государства на уроках обществознания, функции внутренних органов на уроках биологии. И в бытовом значении термин «функция» звучит в таком контексте. То есть используемый термин «функция» явно выделяет только одно множество — множество действий. Но действие всегда связано с определёнными объектами. И именно от объектов, выполняющих функции, будет зависеть содержание этих функций. То есть рассматривая функции, можно выделить два множества объектов — выполняющие функции и сами функции этих объектов. Переход от одного множества при рассмотрении функций к двум и связи между ними имел место и в математике.

II этап. В начале первого урока по теме «Функция» в 7-м классе необходимо выявить субъективный смысл понятия «функция», использовав одну из методик выявления субъектного опыта. Нами был проведён следующий эксперимент. Детям на уроках алгебры, истории и биологии предлагалось ответить на вопрос: «Что такое функция?». Эксперимент проводился в параллелях 7-х и 8-х классов. В 7-х классах — до изучения темы «Функция» на уроках алгебры, в 8-х классах — после изучения этой темы. Эксперимент показал, что 90% учащихся 7-х классов под функцией понимают действия или назначения человека или предмета. 89% учащихся 8-х классов на уроках биологии и истории под функцией подразумевают то же, что и ученики 7-х классов. А на уроках алгебры только 12% детей могут сформулировать определение функции с точки зрения математики, 23% в качестве ответа приводят пример графика функции, 21% затрудняется с ответом. И 44% под функцией понимают действие. Можно сделать вывод, что у детей — либо жизненное, либо образное представление о понятии. III этап. Необходимо сформировать образ понятия, представленного схемой, на которой окружностями обозначены элементы одного множества, прямоугольниками другого множества, а стрелками — установлена связь между элементами этих множеств:

С помощью схемы учащиеся смогут самостоятельно выделить свойства, существенные для межпредметного понятия: «функция»: выделены два множества, установлена связь между элементами этих множеств.

На данном этапе можно предложить задания такого типа — установить соответствие между элементами групп:

В каждом примере оговаривается, что выделено два множества. Можно предложить детям дать названия этим множествам. И с помощью стрелок установлена связь между ними. Связь можно обозначить по-разному: соответствие, закон, зависимость, правило.

Результатом выполнения этих заданий является формирование обобщённого представления о межпредметном понятии «функция».

IVэтап. На этом этапе можно предложить учащимся решить несколько задач, которые позволят выделить специфичные для математики свойства функции: каждому элементу одного множества ставится в соответствие единственный элемент другого множества; рассматриваются только числовые множества.

Итогом урока является формулировка определения функции. Учащиеся сравнивают полученную формулировку с той, которую они написали в начале урока.

Координаты.

I этап. Понятия, соподчиненные понятию «прямоугольные координаты» встречаются в жизненных ситуациях (адрес, местонахождение), а также на уроках истории, географии (координаты на шкале времени, географические координаты.

«Большой энциклопедический словарь» определяет координаты (в математике) как числа, заданием которых определяется положение точки на плоскости, на поверхности или в пространстве.

География — учебный предмет, на уроках которого учащиеся впервые встречаются с общим родовым понятием соподчиненных понятий. Согласно учебному плану понятие «географические координаты» изучается в 6 классе, в первом полугодии, понятие «прямоугольные координаты» в 6 классе, второе полугодие [61]. Поэтому рассматриваемые этапы формирования понятия, сводимого к межпредметному понятию, необходимо выполнить на уроках географии при введении понятия «географические координаты». При этом на уроках математики необходимо приводить примеры из географии, других учебных предметов, где встречается понятие «координаты» (история и др.), а также из жизни.

II этап. Если рассматривать понятие «декартовы (прямоугольные) координаты», то можно говорить о следующих уровнях формирования целостного представления об этом понятии:

• 1 уровень — учащийся имеет представление о родовом понятии понятия «декартовы (прямоугольные) координат» — о понятии «координаты;
• 2 уровень — учащийся может сформулировать свойства, существенные для понятий «декартовы (прямоугольные) координаты» и «декартова система координат», а также умеет определять координаты точек и изображать точки в системе координат по заданным координатам;
• 3 уровень — учащийся умеет применять свойства понятий «координаты» и «декартова система координат» на уроках различных учебных предметов при обращении к понятию «декартова система координат» (умеет изображать систему координат, формулирует название пересекающихся прямых и точки пересечения, умеет находить точку по заданным координатам и определять координаты точки).
• 4 уровень — учащийся умеет применять полученные знания о декартовой системе координат при решении задач межпредметного характера.

Проведенная диагностика показала, что большинство учащихся 6 класса находятся на первом уровне формирования целостного представления об этом понятии.

III этап. Понятие «координаты» в географии (географические координаты) и в математике (декартовы координаты) имеют общее свойство: обозначение положения объекта в пространстве с помощью определенных символов и слов. Это свойство — та общая основа, которая позволяет установить связь между этими понятиями при их изучении в географии и математике. Различие же свойств понятия «координаты» в географии и математике состоит в том, что в географии объект реален, положение в пространстве конкретизируется как положение на поверхности Земли, символы и слова, сопровождающие это понятие — градусы долготы или широты; в математике же объект абстрактен, положение в пространстве конкретизируется как положение на прямой, плоскости или, в общем случае, в n-мерном пространстве, определенные символы и слова, сопровождающие понятие — числа со знаками или градусные или радианные меры на единичной окружности.

IVэтап. Понятие «координаты» в географии (географические координаты) и в математике (декартовы координаты) имеют общее свойство: обозначение положения объекта в пространстве с помощью определенных символов и слов. Это свойство — та общая основа, которая позволяет установить связь между этими понятиями при их изучении в географии и математике. Различие же свойств понятия «координаты» в географии и математике состоит в том, что в географии объект реален, положение в пространстве конкретизируется как положение на поверхности Земли, символы и слова, сопровождающие это понятие — градусы долготы или широты; в математике же объект абстрактен, положение в пространстве конкретизируется как положение на прямой, плоскости или, в общем случае, в n-мерном пространстве, определенные символы и слова, сопровождающие понятие — числа со знаками или градусные или радианные меры на единичной окружности.

Например, значения понятий «система уравнений», «кровеносная система» и «солнечная система» — различные, исключают друг друга. Такие понятия в логике называют соподчинёнными. Соподчинённые понятия принадлежат более общему родовому понятию и являются подчинёнными ему. Объём родового понятия содержит в себе объёмы всех подчинённых ему понятий. А содержание родового понятия представляет совокупность общих свойств подчинённых понятий. Выделим общие свойства понятий «система уравнений», «кровеносная система» и «солнечная система»:

• 1) рассматривается множество объектов;
• 2) объекты находятся в отношениях и связях друг с другом;
• 3) образуют определённую целостность. Совокупность этих свойств представляет с логической точки зрения понятие (в данном случае — понятие «система»), и его целесообразно назвать межпредметным. А понятия «кровеносная система», «система уравнений» и т. д. являются подчинёнными межпредметному понятию «система» и соподчинёнными между собой.