Построение контрольных карт в статистике

Роль статистики в нашей жизни настолько значительна, что люди, часто не задумываясь и не осознавая, постоянно используют элементы статистической методологии не только в трудовых процессах, но и в повседневном быту. Работая и отдыхая, делая покупки, знакомясь с другими людьми, принимая какие-то решения, человек пользуется определённой системой имеющихся у него сведений, сложившихся вкусов и привычек, фактов, систематизирует, сопоставляет эти факты, анализирует их, делает выводы и принимает определённые решения, предпринимает конкретные действия. Таким образом, в каждом человеке заложены элементы статистического мышления, представляющего собой способности к анализу и синтезу информации об окружающем нас мире.

Можно без преувеличения сказать, что статистическими методами сегодня пронизана вся наша жизнь.

В ХХ в. статистику обычно рассматривают как самостоятельную научную дисциплину. Статистика есть совокупность методов и принципов, согласно которым проводится сбор, анализ, сравнение, представление и интерпретация числовых данных (1925). В 1954 г. академик АН УССР Б. В. Гнеденко дал следующее определение: «Статистика состоит из трех разделов:

1) сбор статистических сведений, т. е. сведений, характеризующих отдельные единицы каких-либо массовых совокупностей;

2) статистическое исследование полученных данных, заключающееся в выяснении тех закономерностей, которые могут быть установлены на основе данных массового наблюдения;

3) разработка приемов статистического наблюдения и анализа статистических данных. Последний раздел, собственно, и составляет содержание математической статистики".

Термин «статистика» употребляют еще в двух смыслах. Во-первых, в обиходе под «статистикой» часто понимают набор количественных данных о каком-либо явлении или процессе. Во-вторых, в специальной литературе статистикой называют функцию от результатов наблюдений, используемую для оценивания характеристик и параметров распределений и проверки гипотез.

В условиях постоянно расширяющегося ассортимента выпускаемой продукции основным фактором, определяющим целесообразность приобретения изделий потребителем, является качество.

Качество стало залогом успеха и основным условием, предопределяющим увеличение объема продукции, поставляемой на национальные и международные рынки. Тщательно разработанные и эффективно функционирующие системы управления качеством продукции обеспечивают рентабельность фирм и получение значительных прибылей на инвестированный капитал. В результате внедрения систем управления качеством предприятия увеличивают объем выпускаемой продукции, добиваются повышения производительности труда, обеспечивают существенное снижение расходов на качество и повышают свою конкурентоспособность.

Однако далеко не все предприятия добиваются равнозначного эффекта от реализации своей продукции на рынках сбыта. Так, качество продукции, выпускаемой одними фирмами, существенно отличается от качества продукции, выпускаемой другими.

В настоящее время понятие качества стало намного шире восприниматься производителями и потребителями. Уже недостаточным условием успешной работы предприятия является только производство качественной продукции, так как производитель, не обеспечивший на высоком уровне договорные и сопроводительные мероприятия по реализации своей продукции потребителям, рискует в будущем уступить конкурентам.

При таком положении дел потребитель, который в настоящее время может легко отличить более качественную продукцию от менее качественной, отдает, естественно, предпочтение продукции более высокого качества.

Стремление фирм во всем мире повысить качество выпускаемой продукции объясняется наличием различных уровней качества. В связи с этим методы и средства, обеспечивающие улучшение качества продукции, приобретают первостепенное значение и играют решающую роль в производственной деятельности.

К одному из таких методов относится организация работы предприятия по общепринятым нормам или стандартам, которые помогают организовать работу предприятия в направлении повышения качества продукции или услуги. В настоящее время одними из таких стандартов являются международные стандарты ISO 9000, в соответствии с которыми можно создавать систему качества на предприятии.

В методологическом плане принципиально важным для всего семейства стандартов ISO серии 9000 является введенное положение о том, что вся работа, выполняемая организацией, рассматривается как совокупность взаимосвязанных процессов. Соответственно общее руководство качеством достигается через управление процессами, реализуемыми в организации и умением применять статистические методы.

Основным результатом работы систем менеджмента качества является завоевание изготовителем соответствующего доверия в отношении его способности обеспечивать качество, как самого продукта, так и всех процессов его создания.

Системы ISO 9000 являются моделью СМК, то есть их задача состоит в организации системы управления качеством.

Стандарты ISO 9000, в том числе устанавливают возможность и необходимость принятия обоснованных решений в области качества на базе достоверной информации — принцип «Принятие решений, основанное на фактах». Этот принцип может быть реализован, если возможно будет осуществить следующие действия:

1) проведение измерений, сбор данных и информации на всех этапах технологического цикла продукции;

2) обеспечение точности, надежности и доступности данных и информации;

3) проведение соответствующего анализа и информации с помощью различных методов.

Поскольку в реальных условиях часто затруднено использование детермированных параметров, используют методы математической статистики (статистического анализа).

Статистические методы подразумевают работу со случайными величинами.

В системе стандартов ISO указывается, что должна обеспечиваться возможность реализации статистических методов для подтверждения возможности производства и достижения требуемых характеристик продукции. В целом, статистические методы рассматриваются как средства измерений, описания, анализа, интерпретации и моделирования изменчивости качества при наличии определенного количества данных.

Основные этапы выполнения статистического анализа:

1. Сбор и первичный анализ информации. При кажущейся тривиальности данный этап по трудоемкости является наиболее весомым и во многом определяет достоверность получаемых результатов.

2. Описательная статистика и первичная обработка выборки. Целью является выявление и устранение грубых погрешностей, расчет числовых характеристик и установление вида распределения, как правило, подтверждение нормальности распределения (распределение Гаусса).

3. Дисперсионный анализ одноили двухфакторного комплекса. На данном этапе качественно устанавливается или опровергается гипотеза о зависимости (влиянии) параметров управления на параметры состояний.

Фактически, нужно дать ответ на вопрос — влияет или не влияет на (- параметры управления, то есть факторы, которыми можно варьировать; - результат процесса, параметры состояния).

4. Корреляционный анализ — количественно (численно) устанавливается степень влияния на .

5. Регрессионный анализ — устанавливается конечная математическая зависимость между и, которая в дальнейшем позволяет, варьируя значениями, получать значений .

6. Анализ полученных результатов и возможностей использования (построение контрольных карт, диаграмм, корректировка технологического процесса, осуществление организационных мероприятий, внесение изменений в нормативную документацию и др.).

Рассмотрим подробнее этап описательной статистики.

1. Статистическая обработка данных

1.1 Теоретические сведения

статистический контрольный карта

Описательная статистика применяется для систематизации и описания данных наблюдения. Задачи, которые решает описательная статистика — это, прежде всего, задачи соединения и обобщения данных. Цель здесь состоит не только в том, чтобы извлечь и представить в самом сжатом виде существенную информацию об изделии или процессе, придав ей форму некоторой системы данных.

Описание данных обычно является начальным этапом в анализе количественных данных и часто — первым шагом к использованию других статистических процедур.

В качестве данных для описательной статистики может быть любая информация, которая отражает содержание наблюдений: опросы общественного мнения, показатели экономической и финансовой деятельности, характеристики производственных процессов и т. д. Характеристики выборочных данных могут служить основанием для выводов относительно характеристик всей совокупности данных. И какова бы ни была генеральная совокупность наблюдений, из которой черпаются данные, описательная статистика предлагает наиболее целесообразные способы, с помощью которых можно не только быстро выделить основное содержание полученной информации, но и провести дальнейший ее анализ с минимальной трудоемкостью.

На этапе описательной статистики определяются следующие основные характеристики выборки:

1. Минимум и максимум. Максимум — самое большое значение из анализируемого набора данных, минимум — самое маленькое (может быть и отрицательным числом). Это крайние значения в совокупности данных, обозначающие границы их вариации.

2. Размах выборки — обозначается буквой R. Это самый простой показатель, который можно получить для выборки — разность между максимальной и минимальной величинами данного конкретного вариационного ряда, т. е.

[5].

3. Среднее арифметическое выборки характеризует средний уровень значений изучаемой случайной величины в наблюдавшихся случаях и вычисляется путем деления суммы отдельных величин исследуемого признака на общее число наблюдений:

где — выборочное среднее, — объем выборки, — i-й элемент выборки.

4. Медиана представляет собой срединное значение упорядоченного массива чисел. Если массив не содержит повторяющихся чисел, то половина его элементов окажется меньше, а половина — больше медианы. Если выборка содержит экстремальные значения, для оценки среднего значения лучше использовать не среднее арифметическое, а медиану. Чтобы вычислить медиану выборки, ее сначала необходимо упорядочить.

элемент упорядоченного массива.

Эта формула неоднозначна. Ее результат зависит от четности или нечетности числа :

если выборка содержит нечетное количество элементов, медиана равна (n+1)/2-му элементу;

если выборка содержит четное количество элементов, медиана лежит между двумя средними элементами выборки и равна среднему арифметическому, вычисленному по этим двум элементам.

5. Мода. Термин был впервые введен Пирсоном в 1894 г. Мода — это число, которое чаще других встречается в выборке (наиболее модное). Мода хорошо описывает, например, типичную реакцию водителей на сигнал светофора о прекращении движения. Классический пример использования моды — выбор размера выпускаемой партии обуви или цвета обоев. Если распределение имеет несколько мод, то говорят, что оно мультимодально или многомодально (имеет два или более «пика»). Мультимодальность распределения дает важную информацию о природе исследуемой переменной. Например, в социологических опросах, если переменная представляет собой предпочтение или отношение к чему-то, то мультимодальность может означать, что существуют несколько определенно различных мнений. Мультимодальность также служит индикатором того, что выборка не является однородной и наблюдения, возможно, порождены двумя или более «наложенными» распределениями. В отличие от среднего арифметического, выбросы на моду не влияют. Для непрерывно распределенных случайных величин, например, для показателей среднегодовой доходности взаимных фондов, мода иногда вообще не существует (или не имеет смысла). Поскольку эти показатели могут принимать самые разные значения, повторяющиеся величины встречаются крайне редко.

6. Дисперсия и стандартное отклонение. Эти показатели позволяют оценить степень колебания данных вокруг среднего значения. Выборочная дисперсия является приближением среднего арифметического, вычисленного на основе квадратов разностей между каждым элементом выборки и выборочным средним. Для выборки выборочная дисперсия, обозначаемая символом, задается следующей формулой:

[5].

В общем случае выборочная дисперсия — это сумма квадратов разностей между элементами выборки и выборочным средним, деленная на величину, равную объему выборки минус один:

[5].

Наиболее практичной и широко распространенной оценкой разброса данных является стандартное выборочное отклонение. Этот показатель обозначается символом и равен квадратному корню из выборочной дисперсии:

[5].

Ни выборочная дисперсия, ни стандартное выборочное отклонение не могут быть отрицательными. Единственная ситуация, в которой показатели и могут быть нулевыми, — если все элементы выборки равны между собой.

7. Асимметрия распределения — качественное свойство кривой распределения, указывающее на отличие от симметричного распределения. Асимметрия распределения положительна (отрицательна), если коэффициент асимметрии положителен (отрицателен). При положительной (отрицательной) асимметрии распределения более «длинная» часть кривой плотности распределения лежит правее (левее) моды.

где — общее количество выборки, — стандартное выборочное отклонение.

8. Эксцесс — характеризует остроконечность или сглаженность функции распределения:

[4].

Различают относительную и кумулятивную частоты. В общем случае, частота — это количество значений случайной величины в выборке.

Относительная частота:

.

где — частота отдельных значений в выборке.

Кумулятивная частота:

[4].

В первом приближении совпадает с вероятностью.

Относительная кумулятивная частота:

[4].

Причем

[4].

Как правило, оперируют не с отдельными значениями, а с интервалами (подгруппами) по правилу:

[4].

1.2 Практическая часть

Исходные данные: содержание марганца в сварочной проволоке Св-08Г2С

Определить:

1. Максимальное и минимальное значение выборки.

2. Размах варьирования.

3. Частоту отдельных значений.

4. Признак или интервал группирования.

5. Групповую или частную частоту.

6. Относительную групповую или частную частоту.

7. Кумулятивную абсолютную групповую или частную частоту.

8. Кумулятивную относительную групповую или частную частоту.

9. Среднее арифметическое выборки.

10. Медиану выборки.

11. Моду выборки.

12. Дисперсию выборки.

13. Среднее квадратическое отклонение выборки.

14. Вероятность.

15. Теоретическую вероятность.

16. Дать графическое изображение (если возможно) указанных ранее величин, функций.

17. Какими программными пакетами может быть обработана данная выборка.

Рисунок 1 — График распределения относительных частот по интервалам

Рисунок 2 — График распределения частот отдельных значений по интервалам

Рассчитаем теоретические частоты. Для этого из нижней границы каждого интервала вычитаем среднее арифметическое выборки и делим полученное выражение на среднее квадратическое отклонение выборки. Затем построим стандартное нормальное интегральное распределение, для каждого из полученных значений. После этого, попарно вычитая найденные значения друг из друга, умножаем полученные результаты на 100 и строим график распределения теоретических частот по интервалам, представленный на рисунке 3.

Рисунок 3 — График распределения теоретических частот по интервалам

2. Контрольные карты

2.1 Теоретические сведения

Контрольные карты считают одним из наиболее важных инструментов статистического управления качеством. Они представляют собой относительно простое графическое средство оценки управляемости (стабильности) процесса по результатам сравнения отдельных измерений с заданными контрольными границами.

Контрольные карты — инструмент, позволяющий отслеживать ход протекания процесса и воздействовать на него (с помощью соответствующей обратной связи), предупреждая его отклонения от предъявляемых к процессу требований.

У.А. Шухарт считал, что контрольные карты должны отвечать трем главным требованиям:

­ Определять требуемый уровень или номинал процесса, на достижение которого должен быть нацелен персонал предприятия.

­ Использоваться как вспомогательное средство для достижения этого номинала.

­ Служить в качестве основы для определения соответствия номиналу и допускам.

Таким образом, принципы построения контрольных карт Шухарта охватывают круг понятий, связанных со стабилизацией производственного процесса, его производительностью и оценкой качества, а реализация этих принципов способствует взаимоувязке различных направлений хозяйственной деятельности.

Общий подход к построению различных карт сводится к следующему:

­ Проводятся последовательные измерения значений контролируемого показателя. Измерения группируются в выборки, состоящие из нескольких измерений.

­ Для каждой выборки рассчитывается некоторая числовая характеристика, анализ которой позволяет оценить соответствие процесса определенным требованиям. Важно иметь в виду, что характеристика представляет собой не абсолютные значения контролируемого показателя качества, а статистическую оценку его изменчивости.

­ Устанавливаются центральная или средняя линия процесса (CL — center line), а также верхняя (UCL — upper control limit) и нижняя (LCL — lower control limit) контрольные границы для анализируемой числовой характеристики.

­ Если числовая характеристика выходит за контрольные границы, или в расположении точек наблюдаются некоторые тенденции, то делается вывод о потере качества на соответствующей выборке.

Наблюдаемые на контрольных картах отклонения изучаемой характеристики (например — показателя качества) происходят под воздействием различных причин, которые могут быть классифицированы на две группы: обычные и особые. К обычным причинам относят естественные возмущения, такие, как вибрации, колебания питающих напряжений, температуры, влажности и т. п. Особыми причинами являются возмущения, которые проявляются при нарушении условий нормальной организации или нормального осуществления процесса (сдвиг шкалы измерительного прибора, разладка или поломка технологического оборудования, несоответствие сырья или комплектующих техническим условиям по номинальному значению).

Средняя линия и границы регулирования отображают закономерности вариации контролируемой характеристики при нормальном осуществлении процесса, т. е. при отсутствии особых причин. Ордината средней линии соответствует статистической оценке положения, а контрольные границы — наибольшему и наименьшему пределам объективно присущего ей интервала варьирования. Если оценку положения контролируемой характеристики условно обозначить как, а стандартное отклонение данной оценки контролируемой характеристики как, то можно записать:

;

;

где и — коэффициенты, значения которых зависят от доверительной вероятности и особенностей распределения контролируемой характеристики.

Основная цель использования контрольных карт — обнаружить и отделить случайные отклонения, связанные с обычными причинами, от отклонений, вызванных действием особых причин.

Существуют два типа контрольных карт: один предназначен для контроля параметров качества, представляющих собой непрерывные случайные величины, значения которых являются количественными данными параметра качества (значения размеров, масса, электрические и механические параметры и т. п.), а второй — для контроля параметров качества, представляющих собой дискретные (альтернативные) случайные величины значения, которые являются качественными данными (годен — не годен, соответствует — не соответствует, дефектное — бездефектное изделие и т. п.).

В зависимости от вида данных и методов их статистической обработки выделяют различные типы контрольных карт, основные из которых представлены на рисунке 4.

Все перечисленные карты относятся к категории карт Шухарта, которые широко применяются в Европе и Японии. Как правило, при анализе процессов метод контрольных карт используется совместно с гистограммами и расслоением данных.

Что важнее всего в процессе управления, так это точное понимание состояния объекта управления с помощью чтения контрольных карт и быстрое осуществление соответствующих действий, как только в объекте обнаружилось что-нибудь необычное, неслучайное. Контролируемое состояние объекта — это такое состояние, когда процесс стабилен, а его среднее и разброс не меняются.

Дискретная случайная величина принимает лишь отдельные, изолированные одно от другого значения. Таким свойством обладают атрибутивные признаки (цвет предмета, сорт продукции, годное или бракованное изделие и т. д.).

Непрерывная случайная величина принимает любые значения от некоторого свойственного ей числового интервала. Таким свойством обладают количественные признаки (механические свойства материала, фактические размеры продукции, производительность агрегата при обработке конкретного профилеразмера и т. п.).

В литературе, посвященной управлению качеством с применением контрольных карт, указывают на следующие достоинства карт по альтернативному признаку:

­ отображают состояние производства с учетом всех аспектов качества анализируемой продукции;

­ иногда позволяют обойтись без применения дорогих точных приборов и длительных измерительных процедур;

­ более понятны менеджерам, которые не разбираются в особенностях статистических характеристик.

Применительно к картам по количественному признаку указывают, что они являются наиболее чувствительными индикаторами ухудшения качества и предупреждают о возможных проблемах задолго до того, как в процессе производства резко возрастет доля бракованных изделий.

Выход из контролируемого состояния определяется по контрольной карте на основании следующих критериев:

1) Выход точек за контрольные пределы.

2) Серия — это проявление такого состояния, когда точки неизменно оказываются по одну сторону от средней линии; число таких точек называется длиной серии. Серия длиной в семь точек рассматривается как неслучайная. Даже если длина серии оказывается менее шести, в ряде случаев ситуацию следует рассматривать как неслучайную, например, когда:

а) не менее 10 из 11 точек оказываются по одну сторону от центральной линии;

б) не менее 12 из 14 точек оказываются по одну сторону от центральной линии;

в) не менее 16 точек из 20 оказываются по одну сторону от центральной линии.

3) Тренд (дрейф) Если точки образуют непрерывно повышающуюся или понижающуюся кривую, говорят, что имеет место тренд.

4) Приближение к контрольным «зонам» пределам. Рассматриваются точки, которые приближаются к 3-сигмовым контрольным пределам, причем если 2 или 3 точки оказываются за 2-сигмовыми линиями, то такой случай надо рассматривать как ненормальный.

Приближение к центральной линии. Когда большинство точек концентрируется внутри центральных полуторосигмовых линий, что обусловлено неподходящим способом разбиения на подгруппы. Приближение к центральной линии вовсе не означает, что достигнуто контролируемое состояние, напротив, это значит, что в подгруппах смешиваются данные из различных распределений, что делает размах контрольных пределов слишком широким. В таком случае надо изменить способ разбиения на подгруппы.

Одним из важных этапов при составлении контрольных карт является способ определения контрольных границ (границ регулирования). Для определения контрольных границ необходимо собрать большое количество данных, характеризующих состояние процесса, и на их основе рассчитать по установленной формуле контрольные нормативы. Обычно диапазон от средней до границ регулирования содержит трехкратное среднее квадратичное отклонение.

Контрольные карты для количественного признака применяют в тех случаях, когда при регистрации данных фиксируют измеренные значения характеристик процесса. Контрольные карты для количественного признака предпочтительны по следующим причинам:

1. Численное значение (например, диаметр равен 16.45 мм) содержит больше информации, чем регистрация альтернативных событий «да-нет» (например диаметр внутри поля допуска или вне поля допуска)

2. Общие затраты на измерения в некоторых случаях оказываются ниже, хотя получение одного отдельного измерения дороже, чем получение единицы данных в виде «да — нет», так как для

получения достаточной информации о процессе зачастую требуется измерить меньшее число единиц продукции, чем при контроле по альтернативному признаку

3. Благодаря меньшему числу единиц продукции, подлежащих контролю, сокращается время между изготовлением продукции и корректирующими действиями, если по результатам контроля они необходимы

4. Улучшение процесса может быть оценено количественно, даже если все индивидуальные значения лежат внутри установленного допуска. Это важно при проведении анализа и дальнейшего непрерывного совершенствования процесса.

5. С помощью контрольных карт по количественному признаку можно объяснить поведение процесса как по разбросу (изменение от единицы к единице), так и по расположению уровня процесса (среднему процесса). Благодаря этому контрольные карты по количественному признаку можно анализировать попарно: одна карта для среднего процесса, другая — для разброса.

Контрольные карты для альтернативных признаков могут использоваться по следующим причинам.

1. Альтернативные данные можно получить в результате работы любого технического и административного процесса. Самая трудная задача при этом — создать точные рабочие определения несоответствия (что это такое, как измерить, при каких условиях и т. п.).

2. Получение альтернативных данных (при контроле, ремонте сортировке и т. п.) не требует дополнительных затрат; необходимо только нанести эти данные на контрольную карту.

3. Необходимы оперативность, простота и небольшие затраты при сборе данных, например, с использованием простых калибров (типа «да — нет») не требуется специального обучения.

4. Отчеты для руководства содержат альтернативные данные. Например, процент изделий, принятых с первого предъявления объем брака, число отклонений при проверке качества изделий и материалов Контрольные карты могут быть полезны при анализе этих отчетов, благодаря возможности различать изменчивость от обычных и особых причин.

При введении контрольных карт в организации важно определить первоочередные проблемы и использовать карты там, где они наиболее необходимы. Сигналы о проблемах могут исходить от системы управления издержками, претензий потребителей и т. п. Применение контрольных карт для альтернативных признаков по основным показателям качества продукции может указать на возможное использование конкретных карт для количественного.

Х-карта. Отображает изменчивость выборочных характеристик положения показателя качества (среднего или медианы). Позволяет контролировать смещения фактических показателей от целевого значения.

R-карта. Отображает изменчивость фактического интервала варьирования (размаха). Позволяет контролировать соответствие размаха полю допуска.

S-карта. Отображает изменчивость выборочного стандартного отклонения. Позволяет контролировать динамику степени изменчивости анализируемого показателя.

S²-карта. Отображает изменчивость выборочной дисперсии. Позволяет контролировать динамику степени изменчивости анализируемого показателя.

С-карта. Отображает изменчивость числа дефектов (в партии, в день, на один станок и т. п.) в тех случаях, когда обнаружение дефекта является редким событием.

U-карта. Отображает изменчивость относительной частоты дефектов (т.е. отношения числа обнаруженных дефектов к числу проверенных единиц продукции) в тех случаях, когда вероятность дефекта является редким событием. Удобно использовать при анализе партий различного объема.

Np-карта. Отображает изменчивость числа дефектов, когда обнаружение дефекта не является редким событием (например, происходит более, чем у 5% проверенных единиц продукции).

P-карта. Отображает изменчивость процента обнаруженных дефектных изделий (в расчете на партию, в день, на станок и т. д.), когда обнаружение дефекта не является редким событием.

2.2 Построение контрольных карт

— и R-карты

Карты для количественных данных отражают состояние процесса через разброс (изменчивость от единицы к единице) и через расположение центра (среднее процесса). Поэтому контрольные карты для количественных данных почти всегда применяют и анализируют парами — одна карта для расположения и одна — для разброса. Наиболее часто используют пару — икарту.

1. По осям x на обеих картах наносим моменты времени, по которым мы располагаем данными и на протяжении которых мы хотим изучить ситуацию (обычно 20 или больше периодов). Например, январь, февраль, март, … или 1-й час, 2-й час, 3-й час, и т. д. [9]

2. По осям y создаем шкалу, соответствующую измерениям (вес, температура…).

3. По каждому моменту времени, на X-карте отобразим средние значения в выборках и на R-карте размах в выборках ().

4. Посчитаем центральную линию для Х-карты:.

5. Посчитаем центральную линию для R-карты:.

где n — количество элементов в выборке.

.

6. Посчитаем верхний и нижний пределы для Х-карты, верхний и нижний пределы для R-карты.

Значение констант, , зависят от n (количества элементов в выборке) и находятся по таблице 1.

Таблица 1 — Коэффициенты для вычисления линий контрольных карт [8]

Уточнения к формулам: Контрольные границы для X-карты вычисляются как, где оценка стандартного отклонения равна [9]:

.

Значение находится по таблице 1.

Если исследователю известно, что процесс не имеет трендов, то можно достичь лучших результатов, используя следующую оценку [9]:

где — это все измерения по всем выборкам.

7. На X-карте отобразим, и как линии, параллельные оси x.

8. На R-карте отобразим, и.

9. Подобно нижней и верхней границам, на X-карте посчитаем и отобразим пределы первого и второго сигма-уровней.

— пределы первого сигма-уровня.

— пределы второго сигма-уровня.

— пределы третьего сигма-уровня, они же контрольные границы.

Приведем пример.

Размер выборки: 5

Константы:

U-карта

U — карта контроля числа несоответствий на одно изделие в выборке (применяются как при постоянном, так и при переменном объеме выборки).

Методика построения контрольных карт U типа:

1. В зависимости от того заданы ли стандартные значения показателя качества или нет, первый этап разбивается на два варианта:

I. Стандартные значения не заданы:

· Соберите предварительные данные о протекании процесса. Для этого зафиксируйте наличие или отсутствие выбранных признаков у каждого изделия рассматриваемой подгруппы.

· Определите:

— число несоответствий на единицу в подгруппе;

где — индекс измеренного показателя качества в подгруппе;

— число несоответствий в подгруппе;

— индекс подгруппы;

— количество изделий в подгруппе;

· Рассчитайте среднеарифметическое значение, вычисленного на предыдущем шаге статистического показателя:

— среднеарифметическое значение несоответствий на единицу во всех подгруппах;

где — количество подгрупп.

· Вычислите значения для центральной линии, нижнего и верхнего контрольного пределов

II. Стандартные значения заданы (т.е. заданы):

· Вычислите значения для центральной линии, нижнего и верхнего контрольного пределов:

Когда объем выборки меняется незначительно (не более ±25% среднего объема подгруппы), то можно ограничиться одним набором контрольных границ, рассчитанным для среднего объема подгруппы. Если объем выборки меняется существенно, то для каждой подгруппы рассчитывают свои контрольные границы.

1) Начертите вертикальную ось. Выберите масштаб и отображаемый диапазон значений, разметьте в соответствии с ними ось.

2) Начертите горизонтальную ось и разбейте ее на интервалы, представляющие собой подгруппы.

3) Нанесите на карту вычисленные в п. 1 центральную линию, нижний и верхний контрольные пределы.

4) В соответствии с получаемыми данными наносите точки контролируемых параметров показателя качества и проводите анализ контрольной карты.

Пример построения контрольной карты U типа.

На заводе по производству шин каждые полчаса контролировали 15 шин и записывали общее число несоответствий и их число на единицу. Было решено применить U-карту для числа несоответствий на единицу, чтобы определить состояние процесса.

Данные приведены в таблице 2.

Завод по производству шин. Число несоответствий на единицу (единицы проверялись по 14 подгруппам, объемом n = 15 каждая)

Таблица 2

Среднее значений u подсчитывалось из таблицы делением общего числа несоответствий (из ряда с-значений) на общее число проконтролированных единиц (т.е. 14: 15).

U-карта:

центральная линия: ;

;

(т.к. отрицательные значения невозможны, нижняя граница отсутствует).

Данные и контрольные линии нанесены на рисунке 5. Карта показывает, что процесс находится в состоянии статистической управляемости.

Рисунок 5 — U-карта по данным таблицы 2

Отметим, что поскольку объемы подгрупп постоянны, можно применить и с-карту.

C-карта

В таких контрольных картах строится график числа дефектов (в партии, в день, на один станок, в расчете на 100 футов трубы и т. п.). При использовании карты этого типа делается предположение, что дефекты контролируемой характеристики продукции встречаются сравнительно редко, при этом контрольные пределы для данного типа карт рассчитываются на основе свойств распределения Пуассона (распределения редких событий).

При использовании Си U-карт принимается предположение о том, что дефекты контролируемой характеристики продукции встречаются сравнительно редко и контрольные пределы для данных типов карт рассчитываются на основе свойств распределения Пуассона (распределения редких событий).

При этом на Си Np-картах отображается число дефектов (в партии, в день, на один станок), а на Uи P-картах отображается относительная частота дефектов, то есть отношение числа обнаруженных дефектов к числу проверенных единиц продукции.

Методика построения контрольных карт C типа:

1. В зависимости от того заданы ли стандартные значения показателя качества или нет первый этап разбивается на два варианта:

I. Стандартные значения не заданы:

· Соберите предварительные данные о протекании процесса. Для этого зафиксируйте наличие или отсутствие выбранных признаков у каждого изделия рассматриваемой подгруппы.

— число несоответствий в подгруппе;

2. Рассчитайте среднеарифметическое значеник вычисленного на предыдущем шаге статистического показателя :

— среднеарифметическое значение несоответствий во всех подгруппах;

где — количество подгрупп.

· Вычислите значения для центральной линии, нижнего и верхнего контрольного пределов

II Стандартные значения заданы (т.е. заданы):

1. Вычислите значения для центральной линии, нижнего и верхнего контрольного пределов

Когда объем выборки меняется незначительно (не более ±25% среднего объема подгруппы), то можно ограничиться одним набором контрольных границ, рассчитанным для среднего объема подгруппы. Если объем выборки меняется существенно, то для каждой подгруппы рассчитывают свои контрольные границы.

1) Начертите вертикальную ось. Выберите масштаб и отображаемый диапазон значений, разметьте в соответствии с ними ось.

2) Начертите горизонтальную ось и разбейте ее на интервалы, представляющие собой подгруппы.

3) Нанесите на карту вычисленные в п. 1 центральную линию, нижний и верхний контрольные пределы.

4) В соответствии с получаемыми данными наносите точки контролируемых параметров показателя качества и проводите анализ контрольной карты.

На этой С-карте показан хорошо управляемый технологический процесс: количество бракованной продукции в каждой выборке находится в рамках контрольных пределов.

А в этом примере на C-карте наблюдается выброс (первая выборка). Однако соответствующие статистики по остальным выборкам находятся в рамках контрольных пределов. Таким образом, на основании этой карты, исключив первую выборку, можно считать процесс управляемым. Если проблемная выборка отражает начало реального технологического процесса, то, скорее всего, ее неудовлетворительное качество связано с первоначальной настройкой процесса. В этом случае рекомендуется провести дополнительный анализ качества продукции, выпущенной на начальном этапе и, исключив имеющийся выброс, признать процесс управляемым.

Np-карта

Np-карта — (контрольная карта количества брака) используется при контроле некоторого свойства детали, которое достаточно часто встречается в измерениях Контрольная np-карта служит для отображения изменения числа дефектов по выборкам (партиям) i, i=1,…, N, при условии равенства объемов выборок, большом количестве дефектов (более 5%) и биномиальном распределении переменной величины.

В контрольных картах этого типа строится график для числа дефектов (в партии, в день, на станок), как и в случае С-карты. Однако, контрольные пределы этой карты рассчитываются на основе биномиального распределения, а не распределения редких событий Пуассона. Поэтому данный тип карт должен использоваться в том случае, когда обнаружение дефекта не является редким событием (например, когда обнаружение дефекта происходит более чем у 5% проверенных единиц продукции). Этой картой можно воспользоваться, например, при контроле числа единиц продукции, имеющих небольшой брак.

Например, с помощью Np-карты можно отслеживать число единиц продукции в партии, у которых обнаружены потемнения.

Контрольные пределы для Np-карты считаются на основе Биномиального распределения Рисунок 6 — Пример контрольной карты на основе биноминального распределения Биномиальное распределение:

Вероятность в n испытаниях с вероятностью успеха p и неудачи 1-p получить ровно k успехов и n-k неудач.

Np-карта строится в случаях, когда объем выборки постоянный. Только в этом случае имеет смысл сравнивать количество брака для разных партий.

Основные области применения контрольных карт:

· уменьшение отклонений процесса.

· контроль результатов процесса.

· установление общего языка для обсуждения показателей процесса.

Построение: np =4,7 UCL=11,0 LCL=0,0 n=100 np =4,7 UCL=11,0 LCL=0,0 n=100

Рисунок 7 — Количество дефектов Таблица 3 — Данные для построения np-карты

1. 1. По оси x нанесите моменты времени, по которым вы располагаете данными и на протяжении которых вы хотите изучить ситуацию (обычно 20 или больше периодов). Например, январь, февраль, март, … или 1-й час, 2-й час, 3-й час, и т. д.

2. По оси y создайте шкалу соответствующую измерениям (процент дефектов, количество дефектов, количество дефектов на одну единицу продукции).

3. Отобразите данные по каждому моменту времени.

4. В зависимости от карты, которую вы используете, посчитаете соответствующую центральную линию CL.

Центральная линия, определяющая среднее число дефектных изделий для N-го количества выборок:

где — количество выборок,

— количество дефектных единиц в i-ой выборке,

5. Посчитать соответствующие верхний UCL и нижний LCL пределы.

Комментарии. Контрольные границы вычисляются как 3 стандартных отклонения от среднего значения данных.

6. На карте отобразите CL, UCL и LCL как линии параллельные оси x.

7. Подобно нижней и верхней границам, посчитайте и отобразите пределы первого и второго сигма уровней.

Пределы первого сигма уровня — одно отклонение от среднего.

Пределы второго сигма уровня — два отклонения от среднего.

Пределы третьего сигма уровня они же контрольные границы — три отклонения от среднего.

Пример np-карты.

В таблице 4 указано число несоответствующих единиц в час с учетом неисправностей, найденных при сплошном контроле небольших выключателей с помощью устройств автоматического контроля. Выключатели производят на автоматической сборочной линии. Поскольку неисправность серьезна, для определения момента выхода сборочной линии из статистически управляемого состояния используют контрольную карту процента несоответствующих единиц.

Таблица 4 — Выключатели. Предварительные данные

Отметим, что для приведенных данных в той же степени пригодна np-карта, поскольку объемы всех выборок равны. Вычисления для np-карты даны в таблице 4, карта представлена на рисунке 8.

Рисунок 8 — np-Карта по данным таблицы 4

np-Карта:

;

;

.

S — карта

Контрольная карта средних значений и средних квадратичных отклонений (X-S). Данная карта практически идентична карте (X — R), но точнее её и может рекомендоваться при отладке технологических процессов при массовом производстве ответственных деталей. Её можно применить в случаях, когда имеется система встроенного контроля с автоматическим вводом данных в ЭВМ, используемые для автоматического управления процессом.

В картах X — S вместо размаха R используется более эффективная статистическая характеристика рассеивания наблюдаемых значений — среднее квадратичное отклонение (S).

Она показывает, насколько тесно группируются отдельные значения вокруг средней арифметической или как они рассеиваются вокруг неё. Среднее квадратичное отклонение определяется по формуле:

В остальном построение и применение карты (X — S) не отличается от карты (X — R).

Иногда для контроля используется карта (Me — R) — контрольная карта медиан и размахов. Медиана — это среднее значение в выборке, если все значения расположены в порядке возрастания или убывания. В выборке из трёх значений медиана — второе значение, в выборке из пяти значений медиана занимает третье место. Такая карта менее точна, чем карта (X — R), но она проще в пользовании и нередко применяется.

Пример. В качестве примера контрольной карты средних значений и средних квадратичных отклонений рассмотрим контроль точности попадания в мишень на спортивных соревнованиях с участием 7 стрелков. Объект измерения и контроля — расстояние места попадания от центра мишени. Радиус мишени составляет 15 сантиметров. Если расстояние между местом попадания и центром составляет более 15 сантиметров, говорят, что спортсмен попал в «молоко» и не засчитывают ему очки за этот выстрел. Каждому стрелку предоставляется по 3 выстрела, и его результат определяется как сумма набранных баллов.

Точность стрельбы представлена в таблице 5.

Для построения контрольной карты необходимо вычислить:

При вычислении необходимо использовать коэффициенты, ,, значения которых берём из таблицы 1.

Таблица 5

Нанесём полученные контрольные границы и значения параметра на контрольные карты (рис. 9, 10):

Рисунок 9 — Контрольная карта X — типа

Рисунок 10 — Контрольная карта S-типа

Построенные диаграммы позволяют сделать следующее заключение: исследуемый процесс не является статистически управляемым (множественные выходы значений за контрольные пределы). Из чего следует, что в соревнованиях принимали участие спортсмены разной квалификации. Максимальное отклонение на тринадцатом выстреле свидетельствует о полной неготовности спортсмена к соревнованиям или о каком-то серьёзном происшествии (помехе выстрелу). В качестве рекомендаций можно выдать введение в систему отборочных туров.

P-карта

Обычно p — карту используют для определения среднего процента несоответствующих единиц, обнаруженных за определенный период времени. Она привлекает внимание персонала процесса и управляющих к любым изменениям этого среднего. Процесс признается находящимся в состоянии статистической управляемости так же, как и при использовании — и-карт. Если все выборочные точки ложатся внутри пробных контрольных границ без выбросов, указывающих на наличие особых причин, то о процессе можно сделать заключение, что он управляем. В этом случае средняя доля несоответствующих единиц берется как стандартное значение для доли несоответствующих единиц .

Построение p-карты:

1. По оси x нанесите моменты времени, по которым вы располагаете данными и на протяжении которых вы хотите изучить ситуацию (обычно 20 или больше периодов). Например, январь, февраль, март, … или 1-й час, 2-й час, 3-й час, и т. д.

2. По оси y создайте шкалу, соответствующую измерениям (процент дефектов, количество дефектов, количество дефектов на одну единицу продукции).

3. Отобразите данные по каждому моменту времени.

4. Посчитаем центральную линию для p-карты

где — количество выборок,

— процент дефекта вой выборке,

5. Посчитаем верхний и нижний пределы для p-карты

— количество элементов в выборках (p-карты могут использоваться для выборок разного размера).

Комментарии. Контрольные границы вычисляются как 3 стандартных отклонения от среднего значения данных.

6. На карте отобразите CL, UCL и LCL как линии параллельные оси x.

7. Подобно нижней и верхней границам, посчитайте и отобразите пределы первого и второго сигма уровней.

Пределы первого сигма уровня — одно отклонение от среднего.

Пределы второго сигма уровня — два отклонения от среднего.

Пределы третьего сигма уровня они же контрольные границы — три отклонения от среднего

Пример p-карты. В таблице 6 указано число несоответствующих единиц в час с учетом неисправностей, найденных при сплошном контроле небольших выключателей с помощью устройств автоматического контроля. Выключатели производят на автоматической сборочной линии. Поскольку неисправность серьезна, для определения момента выхода сборочной линии из статистически управляемого состояния используют контрольную карту процента несоответствующих единиц. Карта получена при сборе предварительных данных по 25 подгруппам каждая из 4000 выключателей (таблица 6).