Подходящие дроби. 
Цепные дроби

Подходящей дробью для цепной бесконечной и не периодической дроби называется конечная цепная дробь значение которой есть некоторое рациональное число .

Подходящие дроби с чётными номерами-n образуют возрастающую последовательность, предел которой равен. Аналогично, подходящие дроби с нечётными номерами-n образуют убывающую последовательность, предел которой также равен. Таким образом, значение цепной дроби всегда находится между значениями соседних подходящих дробей.

Эйлер вывел формулы для вычисления числителей и знаменателей подходящих дробей:

Та же самая дробь 13.75 подберём по формуле подходящие дроби.

Р1 = А1 P1−1+P1−2.

P1= 1* 13+ 1 = 14.

q1= А1*q1+q1−2.

q1= 1*1+0=1.

Если продолжать подбирать подходящие дроби то не четные будут уменьшаться от 14 (и далее стремясь к значению дроби13.75, а чётные 13 2/3 наоборот увеличиваться в сторону 13.75.

Теория календаря

При разработке солнечного календаря необходимо найти рациональное приближение для числа дней в году, которое равно 365,2 421 988… Подсчитаем подходящие дроби для дробной части этого числа:

цепной дробь числитель знаменатель Первая дробь означает, что один раз в 4 года надо добавлять лишний день. Этот принцип лёг в основу юлианского календаря. При этом ошибка в 1 день накапливается за 128 лет. Вторая дробь (8/33), то есть 8 високосных лет за период в 33 года, была предложена Омаром Хайямом в XI веке и положила начало персидскому календарю, в котором ошибка в день накапливается за 4500 лет (в григорианском — за 3280 лет). Очень точный вариант с третью дробью (31/128, ошибка в сутки накапливается только за 100 000 лет).