Упражнения к главе iv

• 2+/
• 1. Вычислить R (z)dz, если путём интегрирования служит нрямо. п-

о нейный отрезок z =.(2-(-/)/, вычислить этот же интеграл, приняв за путь интегрирования ломаную, первое звено которой есть прямолинейный отрезок [0,2], а второе — отрезок [2,2 + /]- Отв. 2 + /; 2(1 +/)•.

z г

. • Г*

2. Вычислить интегралы ^ dz, ^zdz для произвольного пути интегрнро;

Za г₀

вання процессом суммирования.

z² — z о.

Отв. z — z₀ —-—.

3. Вычислить С (г — z^)^m dz_t если путем интегрирования служит окружность с центром в точке zq радиуса R или эллипс с центром в точке z₀ и осями, параллельными осям координат (т — целое).

Отв. 0, если /я^О или т <�— 1; 2и при т — — 1.

• -f¹
• 4. Вычислить ^ zdz, когда путями интегрирования служат: а) прямолинейный отрезок, б) верхняя половина окружности радиуса единица, в) нижняя половина этой окружности.

Отв. а) 1; б) 2; в) 2.

5. Вычислить^ (г — ZQ)^mdz (m— целое), если путем интегрирования служит периметр квадрата с центром в точке zq и сторонами, параллельными осям координат.

Отв. 0, если т ф— 1; 2тл при т = — 1.

6. Функция f (z) непрерывна при | z — г₀1 > г₀. Обозначим через М (г) максимум |/ (z) | на окружности z — z₀1 — г > г₀ и предположим, что гМ{г) -+ 0.

Доказать, что ^f{z)dz —?О при г—*? оо, если k_r есть окружность z—

кг

• — Zq | = Л
• 7. Функция / (г) непрерывна при 0 < | z — z₀1< R. Обозначим через- М{г) максимум |/(z)| на окружности z — z₀ =r < R н предположим, что гМ (г) -> 0.

Доказать, что ^f (z)dz-+ О, когда г -*• О, если k_r есть окружность |2—г₀=.

= r

8. Обозначим через L радиус единичного круга. Для каких амплитуд этого радиуса имеет смысл интеграл

Отв. Абсолютно сходится, если —< arg z <±j, расходится при к ^ ^ Зк *.

• — < arg z < — сходится, если arg z = rt-j.
• 9. Доказать формулу fin) {г) = при произвольном целом

L

положительном л, если положено:

• 00 оо
• 10. Вычислить интегралы J cos x²dx и ^ sin^rfxr, отправляясь от функции e~^z* и принимая за путь интегрирования границу кругового сектора радиуса R с углом

°ш. J ]/|.

11. Полагая a* = e^glaa₉ исследовать эту функцию. Что означает it?

г г

12. Исследовать функции arctg* = Г, narcsins= (—=.

J^1+c У¹-*¹

13. Выразить arctg z через логарифмическую функцию.

О/лв. ?-г In г-.

21 i—z

fd z

если с.

С обозначает окружности: а) г — /1 = 1; б) |z *f* /| = 1; в) | г = 2, проходимые в положительных направлениях.

принимать любые пути, вдоль которых подинтегральная функция непрерывна? Отв. ^ кк, где k — целое числа.