Построение математических моделей
Имеются данные, характеризующие выручку (у, млн. руб.) предприятия «АВС» в зависимости от капиталовложений (х1, млн. руб.) и основных производственных фондов (х2, млн. руб.) за последние 10 лет (табл. 8). Построить матрицу коэффициентов парной корреляции. Сделать соответствующие выводы о тесноте связи результата у и факторов х1 и х2. Установить, проявляется ли в модели мультиколлинеарность. 06… Читать ещё >
Построение математических моделей (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Содержание Задание 1.
Задание 2.
Вариант 6.
Задание 1.
Имеются данные, характеризующие выручку (у, млн. руб.) предприятия «АВС» в зависимости от капиталовложений (х, млн. руб.) за последние 10 лет (табл. 1).
Таблица 1.
Время, t. | |||||||||||
Выручка, у. | 3,0. | 2,9. | 3,0. | 3,1. | 3,2. | 2,8. | 2,9. | 3,4. | 3,5. | 3,6. | |
Объем капитало; вложений, х. | 1,1. | 1,1. | 1,2. | 1,4. | 1,4. | 1,4. | 1,3. | 1,6. | 1,3. | 1,4. | |
1. Построить поле корреляции.
2. Найти параметры уравнения линейной регрессии; дать экономическую интерпретацию параметров, а и b.
3. Составить уравнения нелинейных регрессий:
· гиперболической ;
· степной ;
· показательной.
4. Для каждой из моделей:
— найти коэффициент парной корреляции (для нелинейных регрессий — индекс корреляции);
— найти коэффициент детерминации;
— проверить значимость уравнения регрессии в целом с помощью F — критерия Фишера;
— найти среднюю относительную ошибку аппроксимации.
5. Составить сводную таблицу вычислений; выбрать лучшую модель; дать интерпретацию рассчитанных характеристик.
6. По лучшей модели составить прогноз на следующие два года показателя у (выручка), если х (объем капиталовложений) увеличивается на 10% по сравнению с последним годом.
7. Построить графики уравнений регрессии; отметить точки прогноза.
РЕШЕНИЕ:.
1. ПОСТРОИМ ПОЛЕ КОРРЕЛЯЦИИ.
Поле корреляции — точечный график, осями X и Y которого сопоставлены изучаемые признаки (рис. 1).
Рис. 1.
Точки на графике поля корреляции находятся довольно хаотично, что говорит о слабой зависимости объема капиталовложений Х и выручки Y.
2. НАЙДЕМ ПАРАМЕТРЫ ЛИНЕЙНОЙ РЕГРЕССИИ.
Расчет неизвестных параметров выполним методом наименьших квадратов (МНК), построив систему нормальных уравнений и решая ее, относительно неизвестных параметров, а и b.
Система нормальных уравнений имеет вид:
Необходимые расчеты представлены в таблице 2.
Построена линейная модель зависимости выручки предприятия «АВС» от объема капиталовложений:
В линейном регрессии коэффициент регрессии показывает направление связи между переменной Y и фактором X. А также, указывает насколько в среднем изменяется значение результативного признака Y, если фактор увеличить на единицу измерения.
b = 0,843, т. е. при увеличении объема капиталовложений (Х) на 1 млн руб. выручка предприятия (Y) в среднем увеличится на 0,843 млн руб.
Таблица 2.
Вспомогательные вычисления для нахождения параметров линейной модели.
t. | Y. | X. | X2. | X*Y. | |
3,0. | 1,1. | 1,21. | 3,3. | ||
2,9. | 1,1. | 1,21. | 3,19. | ||
3,0. | 1,2. | 1,44. | 3,6. | ||
3,1. | 1,4. | 1,96. | 4,34. | ||
3,2. | 1,4. | 1,96. | 4,48. | ||
2,8. | 1,4. | 1,96. | 3,92. | ||
2,9. | 1,3. | 1,69. | 3,77. | ||
3,4. | 1,6. | 2,56. | 5,44. | ||
3,5. | 1,3. | 1,69. | 4,55. | ||
3,6. | 1,4. | 1,96. | 5,04. | ||
У. | 31,4. | 13,2. | 17,64. | 41,63. | |
3. РАССЧИТАЕМ:
— коэффициент парной корреляции.
Коэффициент парной корреляции показывает направление и тесноту линейной связи.
Т. е. связь между объемом капиталовложений и выручкой предприятия прямая и слабая.
Таблица 3.
Вспомогательная таблица для расчета коэффициента парной корреляции, средней относительной ошибки аппроксимации.
t. | Y. | X. | A. | |||||
3,0. | 1,1. | 0,048. | 0,020. | 0,031. | 2,955. | 0,015. | ||
2,9. | 1,1. | 0,048. | 0,058. | 0,053. | 2,955. | 0,019. | ||
3,0. | 1,2. | 0,014. | 0,020. | 0,017. | 3,039. | 0,013. | ||
3,1. | 1,4. | 0,006. | 0,002. | — 0,003. | 3,207. | 0,035. | ||
3,2. | 1,4. | 0,006. | 0,004. | 0,005. | 3,207. | 0,002. | ||
2,8. | 1,4. | 0,006. | 0,116. | — 0,027. | 3,207. | 0,146. | ||
2,9. | 1,3. | 0,000. | 0,058. | 0,005. | 3,123. | 0,077. | ||
3,4. | 1,6. | 0,078. | 0,068. | 0,073. | 3,376. | 0,007. | ||
3,5. | 1,3. | 0,000. | 0,130. | — 0,007. | 3,123. | 0,108. | ||
3,6. | 1,4. | 0,006. | 0,212. | 0,037. | 3,207. | 0,109. | ||
У. | 31,4. | 13,2. | 0,216. | 0,684. | 0,182. | 0,530. | ||
коэффициент детерминации Коэффициент детерминации показывает долю вариации результативного признака Y под влиянием фактора Х, включенного в модель.
22,42% изменения выручки предприятия обусловлено изменением объема капиталовложений, на 77,58% влиянием прочих факторов, не учтенных в модели.
Рис. 2.
F — критерий Фишера Для проверки значимости уравнения регрессии в целом найдем расчетное значение критерия Фишера:
Расчетное значение статистики Фишера сравниваем с табличным.
F (б; d.f.1; d.f.2), где б — уровень значимости (для большей надежности примем его равным 0,05);
Число степеней свободы d.f.1 = k = 1, где k — число факторов в модели;
Число степеней свободы d.f.2 = n — k — 1 = 10 — 1 — 1 = 8.
F (0.05; 1; 8) = 5,318.
В силу того, что F (расч.) = 2,312 < F (табл.)= 5,318, то уравнение в целом можно считать статистически незначимым.
Среднюю относительную ошибку аппроксимации:
Фактические значения выручки отличаются от расчетных, полученных по модели на 5,3%. Ошибка небольшая, модель считается точной.
4. НАЙДЕМ ПАРАМЕТРЫ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ РЕГРЕССИИ.
Расчет неизвестных параметров выполним методом наименьших квадратов (МНК).
Система нормальных уравнений имеет вид:
Необходимые расчеты представлены в таблице 4.
Таблица 4.
Вспомогательная таблица для расчетов показателей по гиперболической модели.
t. | Y. | X. | 1/Х. | 1/Х2. | Y/X. | A. | |||
3,0. | 1,1. | 0,909. | 0,826. | 2,727. | 2,940. | 0,004. | 0,020. | ||
2,9. | 1,1. | 0,909. | 0,826. | 2,636. | 2,940. | 0,002. | 0,014. | ||
3,0. | 1,2. | 0,833. | 0,694. | 2,500. | 3,047. | 0,002. | 0,016. | ||
3,1. | 1,4. | 0,714. | 0,510. | 2,214. | 3,215. | 0,013. | 0,037. | ||
3,2. | 1,4. | 0,714. | 0,510. | 2,286. | 3,215. | 0,000. | 0,005. | ||
2,8. | 1,4. | 0,714. | 0,510. | 2,000. | 3,215. | 0,172. | 0,148. | ||
2,9. | 1,3. | 0,769. | 0,592. | 2,231. | 3,137. | 0,056. | 0,082. | ||
3,4. | 1,6. | 0,625. | 0,391. | 2,125. | 3,341. | 0,004. | 0,017. | ||
3,5. | 1,3. | 0,769. | 0,592. | 2,692. | 3,137. | 0,132. | 0,104. | ||
3,6. | 1,4. | 0,714. | 0,510. | 2,571. | 3,215. | 0,148. | 0,107. | ||
У. | 31,4. | 13,2. | 7,672. | 5,962. | 23,983. | 0,533. | 0,549. | ||
Построена гиперболическая модель зависимости выручки предприятия «АВС» от объема капиталовложений:
5. РАССЧИТАЕМ:
— индекс корреляции:
Связь между объемом капиталовложений и выручкой предприятия в гиперболической модели слабая.
— коэффициент детерминации.
22,13% изменения выручки предприятия в гиперболической модели происходит под влиянием изменением объема капиталовложений и на 77,87% под влиянием факторов, не включенных в модель.
— F — критерий Фишера Проверим значимость уравнения.
F (расч.) = 2,274< F (табл.)= 5,318, т. е. уравнение в целом можно считать статистически незначимым.
Среднюю относительную ошибку аппроксимации:
Ошибка меньше 7%, модель можно считать точной.
Рис. 3.
6. НАЙДЕМ ПАРАМЕТРЫ СТЕПЕННОЙ МОДЕЛИ РЕГРЕССИИ.
Произведем линеаризацию переменных путем логарифмирования обеих частей уравнения.
Сделаем замену переменной Y = lg y, A = lg a, X = lg x. Тогда Y = A + b • X — линейная модель парной регрессии. Можно применить МНК.
Необходимые расчеты представлены в таблице 5.
Построена степенная модель зависимости выручки предприятия «АВС» от объема капиталовложений:
Таблица 5.
Вспомогательная таблица для расчетов показателей по степенной модель.
t. | y. | x. | Y = lg y. | X = lg x. | X2 =. =lg x2. | X*Y =. lg x*lg y. | A. | |||
3,0. | 1,1. | 0,477. | 0,041. | 0,002. | 0,020. | 2,946. | 0,003. | 0,018. | ||
2,9. | 1,1. | 0,462. | 0,041. | 0,002. | 0,019. | 2,946. | 0,002. | 0,016. | ||
3,0. | 1,2. | 0,477. | 0,079. | 0,006. | 0,038. | 3,035. | 0,001. | 0,012. | ||
3,1. | 1,4. | 0,491. | 0,146. | 0,021. | 0,072. | 3,200. | 0,010. | 0,032. | ||
3,2. | 1,4. | 0,505. | 0,146. | 0,021. | 0,074. | 3,200. | 0,000. | 0,000. | ||
2,8. | 1,4. | 0,447. | 0,146. | 0,021. | 0,065. | 3,200. | 0,160. | 0,143. | ||
2,9. | 1,3. | 0,462. | 0,114. | 0,013. | 0,053. | 3,120. | 0,048. | 0,076. | ||
3,4. | 1,6. | 0,531. | 0,204. | 0,042. | 0,108. | 3,350. | 0,002. | 0,015. | ||
3,5. | 1,3. | 0,544. | 0,114. | 0,013. | 0,062. | 3,120. | 0,145. | 0,109. | ||
3,6. | 1,4. | 0,556. | 0,146. | 0,021. | 0,081. | 3,200. | 0,160. | 0,111. | ||
У. | 31,4. | 13,2. | 4,955. | 1,178. | 0,163. | 0,592. | 0,532. | 0,531. | ||
7. РАССЧИТАЕМ:
индекс корреляции:
Связь между объемом капиталовложений и выручкой предприятия в степенной модели слабая.
коэффициент детерминации Степенная модель всего на 13,44% детерминирует зависимость выручки предприятия от объема капиталовложений. 86,56% детерминации происходит под влиянием факторов не учтенных в модели.
F — критерий Фишера Проверим значимость уравнения.
F (расч.) = 1,242 < F (табл.)= 5,318, т. е. уравнение степенной модели в целом можно считать статистически незначимым.
Среднюю относительную ошибку аппроксимации:
Ошибка меньше 7%, степенную модель можно считать точной.
Рис. 4.
8. НАЙДЕМ ПАРАМЕТРЫ ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ МОДЕЛИ РЕГРЕССИИ.
Произведем линеаризацию переменных путем логарифмирования обеих частей уравнения.
Сделаем замену переменной Y = lg y, A = lg a, В = lg b. Тогда Y = A + B • x — линейная модель парной регрессии. Можно применить МНК.
Необходимые расчеты представлены в таблице 6.
Таблица 6.
Вспомогательная таблица для расчетов показателей по показательной модели.
t. | y. | x. | Y = lg y. | x2. | x*Y =. x*lg y. | A. | |||
3,0. | 1,1. | 0,477. | 1,21. | 0,525. | 2,953. | 0,002. | 0,016. | ||
2,9. | 1,1. | 0,462. | 1,21. | 0,509. | 2,953. | 0,003. | 0,018. | ||
3,0. | 1,2. | 0,477. | 1,44. | 0,573. | 3,032. | 0,001. | 0,011. | ||
3,1. | 1,4. | 0,491. | 1,96. | 0,688. | 3,196. | 0,009. | 0,031. | ||
3,2. | 1,4. | 0,505. | 1,96. | 0,707. | 3,196. | 0,000. | 0,001. | ||
2,8. | 1,4. | 0,447. | 1,96. | 0,626. | 3,196. | 0,157. | 0,141. | ||
2,9. | 1,3. | 0,462. | 1,69. | 0,601. | 3,113. | 0,045. | 0,073. | ||
3,4. | 1,6. | 0,531. | 2,56. | 0,850. | 3,369. | 0,001. | 0,009. | ||
3,5. | 1,3. | 0,544. | 1,69. | 0,707. | 3,113. | 0,150. | 0,111. | ||
3,6. | 1,4. | 0,556. | 1,96. | 0,779. | 3,196. | 0,163. | 0,112. | ||
У. | 31,4. | 13,2. | 4,955. | 17,640. | 6,565. | 0,531. | 0,524. | ||
Построена показательная модель зависимости выручки предприятия «АВС» от объема капиталовложений:
9. РАССЧИТАЕМ:
индекс корреляции:
Связь между объемом капиталовложений и выручкой предприятия в степенной модели очень слабая.
коэффициент детерминации В показательной модели изменение выручки на 22,30% обусловлено изменением объема капиталовложений, на 77,70% - влиянием факторов, не включенных в модель.
F — критерий Фишера Проверим значимость уравнения.
F (расч.) = 2,297 < F (табл.) = 5,318, т. е. показательное уравнение в целом можно считать статистически незначимым.
Среднюю относительную ошибку аппроксимации:
Ошибка меньше 7%, показательную модель можно считать точной.
Рис. 5.
10. СОСТАВИМ СВОДНУЮ ТАБЛИЦУ ВЫЧИСЛЕНИЙ (таблица 7).
Таблица 7.
Пар; аметры. | Модель. | ||||
линейная. | гиперболическая. | степенная. | показательная. | ||
Ryx. | 0,4735. | 0,4705. | 0,3666. | 0,4723. | |
Ryx2. | 0,2242. | 0,2213. | 0,1344. | 0,2230. | |
Fрасч. | 2,31. | 2,27. | 1,24. | 0,78. | |
A, %. | 5,30. | 5,49. | 5,31. | 5,24. | |
Все модели имеют примерно одинаковые характеристики. Но большее значение индекса корреляции, коэффициента детерминации, F — критерия Фишера и меньшее значение средней относительной ошибки аппроксимации имеет линейная модель. Т. е. она лучше и точнее из всех построенных моделей описывает зависимость выручки от объема капиталовложений.
Ее можно взять в качестве лучшей для построения прогноза.
11. СДЕЛАЕМ ПРОГНОЗ НА СЛЕДУЮЩИЕ ДВА ГОДА показателя у.
(выручка), если х (объем капиталовложений) увеличивается на 10% по сравнению с последним годом.
Лучшей является линейная модель вида.
Сначала найдем прогнозные значения показателя х (объем капиталовложений). В 2007 году объем капиталовложений составил 1,4 млн руб. Следовательно, в 2008 году он составит — 1,4 • 1,1 = 1,54 млн руб., а в 2009 году — 1,54 • 1,1 = 1,69 млн руб.
Подставим прогнозные значения х в уравнение регрессии.
Это будут точечные прогнозы результата у (выручка предприятия).
В 2008 году выручка предприятия составит: 2,028+0,843*1,54 = 3,33 (млн. руб.).
В 2009 году: 2,028+0,843*1,69 = 3,46 (млн. руб.).
Рис. 6.
Задание 2.
Имеются данные, характеризующие выручку (у, млн. руб.) предприятия «АВС» в зависимости от капиталовложений (х1, млн. руб.) и основных производственных фондов (х2, млн. руб.) за последние 10 лет (табл. 8).
Таблица 8.
Время, t. | |||||||||||
Выручка, у. | 3,0. | 2,9. | 3,0. | 3,1. | 3,2. | 2,8. | 2,9. | 3,4. | 3,5. | 3,6. | |
Объем капитало; вложений, х1. | 1,1. | 1,1. | 1,2. | 1,4. | 1,4. | 1,4. | 1,3. | 1,6. | 1,3. | 1,4. | |
Основные. производственные фонды, х2. | 0,4. | 0,4. | 0,7. | 0,9. | 0,9. | 0,8. | 0,8. | 1,1. | 0,4. | 0,5. | |
1. Построить матрицу коэффициентов парной корреляции. Сделать соответствующие выводы о тесноте связи результата у и факторов х1 и х2. Установить, проявляется ли в модели мультиколлинеарность.
2. Построить линейную модель множественной регрессии; дать экономическую интерпретацию параметров b1 и b2.
3. Построить степенную модель множественной регрессии; дать экономическую интерпретацию параметров в1 и в2.
4. Для каждой из моделей:
— найти коэффициент множественной корреляции;
— найти коэффициент детерминации;
— проверить значимость уравнения регрессии в целом с помощью F — критерия Фишера;
— найти среднюю относительную ошибку аппроксимации.
5. Составить сводную таблицу вычислений; выбрать лучшую модель.
6. Пояснить экономический смысл всех рассчитанных характеристик.
7. Найти частные коэффициенты эластичности и в — коэффициенты.
8. По линейной модели регрессии сделать прогноз на следующие два года показателя у (выручка), в зависимости от х1 (объема капиталовложений) и х2 (основных производственных фондов).
РЕШЕНИЕ:.
1. ПОСТРОИМ МАТРИЦУ КОЭФФИЦИЕНТОВ ПАРНОЙ КОРРЕЛЯЦИИ.
Для этого рассчитаем коэффициенты парной корреляции по формуле:
Необходимые расчеты представлены в таблице 9.
связь между выручкой предприятия Y и объемом капиталовложений Х1 слабая и прямая;
связи между выручкой предприятия Y и основными производственными фондами Х2 практически нет;
;
связь между объемом капиталовложений Х1 и основными производственными фондами Х2 тесная и прямая;
Таблица 9.
Вспомогательная таблица для расчета коэффициентов парных корреляций.
t. | Y. | X1. | X2. | (y-yср)2. | (х1-х1ср)2. | (x2-x2ср)2. | (y-yср)*. (x1-x1ср). | (y-yср)*. (x2-x2ср). | (х1-х1ср)*. (x2-x2ср). | |
3,0. | 1,1. | 0,4. | 0,0196. | 0,0484. | 0,0841. | 0,0308. | 0,0406. | 0,0638. | ||
2,9. | 1,1. | 0,4. | 0,0576. | 0,0484. | 0,0841. | 0,0528. | 0,0696. | 0,0638. | ||
3,0. | 1,2. | 0,7. | 0,0196. | 0,0144. | 1E-04. | 0,0168. | — 0,0014. | — 0,0012. | ||
3,1. | 1,4. | 0,9. | 0,0016. | 0,0064. | 0,0441. | — 0,0032. | — 0,0084. | 0,0168. | ||
3,2. | 1,4. | 0,9. | 0,0036. | 0,0064. | 0,0441. | 0,0048. | 0,0126. | 0,0168. | ||
2,8. | 1,4. | 0,8. | 0,1156. | 0,0064. | 0,0121. | — 0,0272. | — 0,0374. | 0,0088. | ||
2,9. | 1,3. | 0,8. | 0,0576. | 0,0004. | 0,0121. | 0,0048. | — 0,0264. | — 0,0022. | ||
3,4. | 1,6. | 1,1. | 0,0676. | 0,0784. | 0,1681. | 0,0728. | 0,1066. | 0,1148. | ||
3,5. | 1,3. | 0,4. | 0,1296. | 0,0004. | 0,0841. | — 0,0072. | — 0,1044. | 0,0058. | ||
3,6. | 1,4. | 0,5. | 0,2116. | 0,0064. | 0,0361. | 0,0368. | — 0,0874. | — 0,0152. | ||
У. | 31,4. | 13,2. | 6,9. | 0,684. | 0,216. | 0,569. | 0,182. | — 0,036. | 0,272. | |
Средн. | 3,14. | 1,32. | 0,69. | |||||||
Также матрицу коэффициентов парных корреляций можно найти в среде Excel с помощью надстройки АНАЛИЗ ДАННЫХ, инструмента КОРРЕЛЯЦИЯ.
Матрица коэффициентов парной корреляции имеет вид:
Y. | X1. | X2. | ||
Y. | ||||
X1. | 0,4735. | |||
X2. | — 0,0577. | 0,7759. | ||
Матрица парных коэффициентов корреляции показывает, что результативный признак у (выручка) имеет слабую связь с объемом капиталовложений х1, а с Размером ОПФ связи практически нет. Связь между факторами в модели оценивается как тесная, что говорит о их линейной зависимости, мультиколлинеарности.
2. ПОСТРОИТЬ ЛИНЕЙНУЮ МОДЕЛЬ МНОЖЕСТВЕННОЙ РЕГРЕССИИ.
Параметры модели найдем с помощью МНК. Для этого составим систему нормальных уравнений.
Расчеты представлены в таблице 10.
Решим систему уравнений, используя метод Крамера:
Таблица 10.
Вспомогательные вычисления для нахождения параметров линейной модели множественной регрессии.
y. | x1. | x2. | x12. | x1*x2. | x22. | y*x1. | y*x2. | |
3,0. | 1,1. | 0,4. | 1,21. | 0,44. | 0,16. | 3,3. | 1,2. | |
2,9. | 1,1. | 0,4. | 1,21. | 0,44. | 0,16. | 3,19. | 1,16. | |
3,0. | 1,2. | 0,7. | 1,44. | 0,84. | 0,49. | 3,6. | 2,1. | |
3,1. | 1,4. | 0,9. | 1,96. | 1,26. | 0,81. | 4,34. | 2,79. | |
3,2. | 1,4. | 0,9. | 1,96. | 1,26. | 0,81. | 4,48. | 2,88. | |
2,8. | 1,4. | 0,8. | 1,96. | 1,12. | 0,64. | 3,92. | 2,24. | |
2,9. | 1,3. | 0,8. | 1,69. | 1,04. | 0,64. | 3,77. | 2,32. | |
3,4. | 1,6. | 1,1. | 2,56. | 1,76. | 1,21. | 5,44. | 3,74. | |
3,5. | 1,3. | 0,4. | 1,69. | 0,52. | 0,16. | 4,55. | 1,4. | |
3,6. | 1,4. | 0,5. | 1,96. | 0,7. | 0,25. | 5,04. | 1,8. | |
31,4. | 13,2. | 6,9. | 17,64. | 9,38. | 5,33. | 41,63. | 21,63. | |
Линейная модель множественной регрессии имеет вид:
Если объем капиталовложений увеличить на 1 млн руб., то выручка предприятия увеличиться в среднем на 2,317 млн руб. при неизменных размерах основных производственных фондов.
Если основные производственные фонды увеличить на 1 млн руб., то выручка предприятия уменьшиться в среднем на 1,171 млн руб. при неизменном объеме капиталовложений.
3. РАССЧИТАЕМ:
коэффициент множественной корреляции:
Связь выручки предприятия с объемом капиталовложений и основными производственными фондами тесная.
коэффициент детерминации:
67,82% изменения выручки предприятия обусловлено изменением объема капиталовложений и основных производственных фондов, на 32,18% - влиянием факторов, не включенных в модель.
F — критерий Фишера Проверим значимость уравнения Табличное значение F — критерия при уровне значимости б = 0,05 и числе степеней свободы d.f.1 = k = 2 (количество факторов), числе степеней свободы d.f.2 = (n — k — 1) = (10 — 2 — 1) = 7 составит 4,74.
Так как Fрасч. = 7,375 > Fтабл. = 4.74, то уравнение регрессии в целом можно считать статистически значимым.
Рассчитанные показатели можно найти в среде Excel с помощью надстройки АНАЛИЗА ДАННЫХ, инструмента РЕГРЕССИЯ.
Таблица 11.
Вспомогательные вычисления для нахождения средней относительной ошибки аппроксимации.
y. | x1. | x2. | yрасч. | y-yрасч. | А. | |
3,0. | 1,1. | 0,4. | 2,97. | 0,03. | 0,010. | |
2,9. | 1,1. | 0,4. | 2,97. | — 0,07. | 0,024. | |
3,0. | 1,2. | 0,7. | 2,85. | 0,15. | 0,050. | |
3,1. | 1,4. | 0,9. | 3,08. | 0,02. | 0,007. | |
3,2. | 1,4. | 0,9. | 3,08. | 0,12. | 0,038. | |
2,8. | 1,4. | 0,8. | 3,20. | — 0,40. | 0,142. | |
2,9. | 1,3. | 0,8. | 2,96. | — 0,06. | 0,022. | |
3,4. | 1,6. | 1,1. | 3,31. | 0,09. | 0,027. | |
3,5. | 1,3. | 0,4. | 3,43. | 0,07. | 0,019. | |
3,6. | 1,4. | 0,5. | 3,55. | 0,05. | 0,014. | |
0,353. | ||||||
среднюю относительную ошибку аппроксимации В среднем расчетные значения отличаются от фактических на 3,53%. Ошибка небольшая, модель можно считать точной.
4. Построить степенную модель множественной регрессии.
Для построения данной модели прологарифмируем обе части равенства.
lg y = lg a + в1 • lg x1 + в2 • lg x2.
Сделаем замену Y = lg y, A = lg a, X1 = lg x1, X2 = lg x2.
Тогда Y = A + в1 • X1 + в2 • X2 — линейная двухфакторная модель регрессии. Можно применить МНК.
Расчеты представлены в таблице 12.
Таблица 12.
Вспомогательные вычисления для нахождения параметров степенной модели множественной регрессии.
y. | x1. | x2. | lg x1. | lg x2. | lg y. | lg2 x1. | lg x1*. lg x2. | lg y*lg x1. | lg2 x2. | lg y*. lg x2. | |
3,0. | 1,1. | 0,4. | 0,041. | — 0,398. | 0,477. | 0,002. | — 0,016. | 0,020. | 0,158. | — 0,190. | |
2,9. | 1,1. | 0,4. | 0,041. | — 0,398. | 0,462. | 0,002. | — 0,016. | 0,019. | 0,158. | — 0,184. | |
3,0. | 1,2. | 0,7. | 0,079. | — 0,155. | 0,477. | 0,006. | — 0,012. | 0,038. | 0,024. | — 0,074. | |
3,1. | 1,4. | 0,9. | 0,146. | — 0,046. | 0,491. | 0,021. | — 0,007. | 0,072. | 0,002. | — 0,022. | |
3,2. | 1,4. | 0,9. | 0,146. | — 0,046. | 0,505. | 0,021. | — 0,007. | 0,074. | 0,002. | — 0,023. | |
2,8. | 1,4. | 0,8. | 0,146. | — 0,097. | 0,447. | 0,021. | — 0,014. | 0,065. | 0,009. | — 0,043. | |
2,9. | 1,3. | 0,8. | 0,114. | — 0,097. | 0,462. | 0,013. | — 0,011. | 0,053. | 0,009. | — 0,045. | |
3,4. | 1,6. | 1,1. | 0,204. | 0,041. | 0,531. | 0,042. | 0,008. | 0,108. | 0,002. | 0,022. | |
3,5. | 1,3. | 0,4. | 0,114. | — 0,398. | 0,544. | 0,013. | — 0,045. | 0,062. | 0,158. | — 0,217. | |
3,6. | 1,4. | 0,5. | 0,146. | — 0,301. | 0,556. | 0,021. | — 0,044. | 0,081. | 0,091. | — 0,167. | |
31,4. | 13,2. | 6,9. | 1,178. | — 1,894. | 4,955. | 0,163. | — 0,165. | 0,592. | 0,614. | — 0,943. | |
Решаем систему уравнений применяя метод Крамера.
Степенная модель множественной регрессии имеет вид:
В степенной функции коэффициенты при факторах являются коэффициентами эластичности. Коэффициент эластичности показывает на сколько процентов измениться в среднем значение результативного признака у, если один из факторов увеличить на 1% при неизменном значении других факторов.
Если объем капиталовложений увеличить на 1%, то выручка предприятия увеличиться в среднем на 0,897% при неизменных размерах основных производственных фондов.
Если основные производственные фонды увеличить на 1%, то выручка предприятия уменьшиться на 0,226% при неизменных капиталовложениях.
5. РАССЧИТАЕМ:
коэффициент множественной корреляции:
Связь выручки предприятия с объемом капиталовложений и основными производственными фондами тесная.
Таблица 13.
Вспомогательные вычисления для нахождения коэффициента множественной корреляции, коэффициента детерминации, ср.относ.ошибки аппроксимации степенной модели множественной регрессии.
Y. | X1. | X2. | Y расч.. | (Y-Yрасч.)2. | (Y-Yср)2. | A. | |
3,0. | 1,1. | 0,4. | 2,978. | 0,000. | 0,020. | 0,007. | |
2,9. | 1,1. | 0,4. | 2,978. | 0,006. | 0,058. | 0,027. | |
3,0. | 1,2. | 0,7. | 2,838. | 0,026. | 0,020. | 0,054. | |
3,1. | 1,4. | 0,9. | 3,079. | 0,000. | 0,002. | 0,007. | |
3,2. | 1,4. | 0,9. | 3,079. | 0,015. | 0,004. | 0,038. | |
2,8. | 1,4. | 0,8. | 3,162. | 0,131. | 0,116. | 0,129. | |
2,9. | 1,3. | 0,8. | 2,959. | 0,003. | 0,058. | 0,020. | |
3,4. | 1,6. | 1,1. | 3,317. | 0,007. | 0,068. | 0,024. | |
3,5. | 1,3. | 0,4. | 3,460. | 0,002. | 0,130. | 0,012. | |
3,6. | 1,4. | 0,5. | 3,516. | 0,007. | 0,212. | 0,023. | |
31,4. | 13,2. | 6,9. | 0,198. | 0,684. | 0,342. | ||
коэффициент детерминации:
71,06% изменения выручки предприятия в степенной модели обусловлено изменением объема капиталовложений и основных производственных фондов, на 28,94% - влиянием факторов, не включенных в модель.
F — критерий Фишера Проверим значимость уравнения Табличное значение F — критерия при уровне значимости б = 0,05 и числе степеней свободы d.f.1 = k = 2, числе степеней свободы d.f.2 = (n — k — 1) = (10 — 2 — 1) = 7 составит 4,74.
Так как Fрасч. = 8,592 > Fтабл. = 4.74, то уравнение степенной регрессии в целом можно считать статистически значимым.
среднюю относительную ошибку аппроксимации В среднем в степенной модели расчетные значения отличаются от фактических на 3,42%. Ошибка небольшая, модель можно считать точной.
6. СОСТАВИМ СВОДНУЮ ТАБЛИЦУ ВЫЧИСЛЕНИЙ (табл. 14).
Таблица 14.
Параметры. | Модель. | ||
линейная. | степенная. | ||
Коэффициент множественной корреляции. | 0,8235. | 0,8429. | |
Коэффициент детерминации. | 0,6782. | 0,7106. | |
F — критерий Фишера. | 7,375. | 8,592. | |
Средняя. относительная ошибка аппроксимации, %. | 3,53. | 3,42. | |
В целом модели имеют примерно одинаковые характеристики. Но лучшей считается степенная модель, т. к значение коэффициента корреляции, индекса детерминации, F — критерия Фишера немного больше, а средняя относительная ошибка аппроксимации немного меньше, чем у линейной модели.
7. НАЙДЕМ ЧАСТНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ ЭЛАСТИЧНОСТИ И в — КОЭФФИЦИЕНТЫ Для нахождения частных коэффициентов эластичности составим частные уравнения регрессии, т. е. уравнения регрессии, которые связывают результативный признак с соответствующим фактором х при закреплении других учитываемых во множественной регрессии на среднем уровне.
и т.д.
Результаты расчетов представлены в таблице 15.
Таблица 15.
Вспомогательная таблица для вычисления частных коэффициентов эластичности.
Y. | X1. | X2. | Э (ух1). | Э (ух2). | |
3,0. | 1,1. | 0,4. | 0,524. | — 0,135. | |
2,9. | 1,1. | 0,4. | 0,524. | — 0,135. | |
3,0. | 1,2. | 0,7. | 0,545. | — 0,262. | |
3,1. | 1,4. | 0,9. | 0,583. | — 0,364. | |
3,2. | 1,4. | 0,9. | 0,583. | — 0,364. | |
2,8. | 1,4. | 0,8. | 0,583. | — 0,311. | |
2,9. | 1,3. | 0,8. | 0,565. | — 0,311. | |
3,4. | 1,6. | 1,1. | 0,615. | — 0,484. | |
3,5. | 1,3. | 0,4. | 0,565. | — 0,135. | |
3,6. | 1,4. | 0,5. | 0,583. | — 0,174. | |
Бета коэффициент рассчитываем по формуле:
— среднее квадратическое отклонение.
Необходимые вычисления для расчета СКО представлены в таблице 9.
Если объем капиталовложений увеличить на величину своего СКО, т. е. 0,147 млн руб., то выручка предприятия увеличится на 1,302 величины своего СКО, т. е. на 1,302 * 0,262 = 0,341 млн руб.
Если основные производственные фонды увеличить на величину своего СКО, т. е. на 0,239 млн руб., то выручка предприятия уменьшится на 1,068 своего СКО, т. е. на 1,068 * 0,262 = 0,280 млн руб.
8. ПО ЛИНЕЙНОЙ МОДЕЛИ РЕГРЕССИИ СДЕЛАЕМ ПРОГНОЗ НА СЛЕДУЮЩИЕ ДВА ГОДА показателя у (выручка), в зависимости от х1 (объема капиталовложений) и х2 (основных производственных фондов).
Прогнозные значения факторов можно получить, используя метод прогнозирования с помощью среднего абсолютного прироста:
.
где — средний абсолютный прирост, рассчитываемый по формуле:
;
k — период упреждения;
n — количество наблюдений.
тогда Х1, 11 = 1,4 + 1 • 0,0333 = 1,4333 (млн.руб.).
Х1, 12 = 1,4 + 2 • 0,0333 = 1,4667(млн.руб.).
Х2, 11 = 0,5 + 1 • 0,0111 = 0,5111.
Х2, 12 = 0,5 + 2 •0,0111 = 0,5222.
Составляем вектор прогнозных значений факторов:
.
Вычислим точечные прогнозы поведения выручки предприятия на моменты времени t = 11 и t = 12. Для этого подставим прогнозные значения факторов в уравнение регрессии.
(млн. руб.).
(млн. руб.).
Для получения интервального прогноза рассчитываем доверительные интервалы, используя величину отклонения от линии регрессии (U):
.
Операции с матрицами осуществим в среде Excel с помощью встроенных математических функций МУНОЖ и МОБР.
Среднее квадратическое отклонение расчетных значений от фактических:
Коэффициент Стьюдента tб для m = 10 — 2 — 1 = 7 степеней свободы и уровня значимости б = 0,05 равен 2,36.
U (11) = 0,1773 • 2.36 • 0,61610,5 = 0,329.
U (11) = 0,1773 • 2.36 • 0.74810,5 = 0,362.
Результаты вычислений представим в виде таблицы.
Таблица 16.
Шаг. | Точечный прогноз, млн. руб. | Нижняя граница, млн. руб. | Верхняя граница,. млн. руб. | |
3,6121. | 3,2829. | 3,9412. | ||
3,6763. | 3,3136. | 4,0390. | ||
1. Доугерти К.
Введение
в эконометрику. — М.: Инфра — М, 2001. — 402 с.
2. Катышев П. К., Пересецкий А. А. Сборник задач к начальному курсу эконометрики. — М.: Дело, 1999. — 72 с.
3. Практикум по эконометрике: Учеб. пособие; Под ред. И. И. Елисеевой. — М.: Финансы и статистика, 2001. — 192 с.
4. Тутыгин А. Г., Амбросевич М. А., Третьяков В. И. Эконометрика. Краткий курс лекций. Учебное пособие. — М.-Архангельск, Издательский дом «Юпитер», 2004. — 54 с.
5. Эконометрика: Учеб. пособие; Под ред. И. И. Елисеевой. — М.: Финансы и статистика, 2001. -245 с.