Интегрирование представлений бесконечномерных алгебр ли и некоммутативная проблема моментов

Источником интереса к задачам, связанным сю локально компактными группами Ли, являются с одной стороны, приложения: изучение математических моделей физических систем с бесконечным числом степеней свободы, в частности, систем квантовой статистической физики и теории поля, а так же теория точных решений нелинейных уравнений, и, с другой стороны, внутренняя логика развития теории представлений. Многочисленные работы посвящены как развитию теории таких «болыпих, груш (работы Де ла Харпа I 69 ], Омори [ 81J, Босека, Чеховского, Рудольфа [67 ] и др.), так и изучению их представлений (А.М.Вершик, И. М. Гельфанд, М. И. Граев {12 — 16 ], Р. С .Исмагилов [28 — 34 ], А. А. Кириллов.

35 — 40 ], Г. И. Ольшанский [ 48 — 51 ], Араки {б4 ~ 66 ], Хегерфельд [ 77, 78 ], Леповский, Вильсон { 79 ] и др.).

Большую роль в исследовании представлений коммутативных групп играют методы теории меры (см., напр., монографии И. М. Гельфанда, Н. Я. Виленкина {19 ] и Ю. М. Березанского { 4, 5 ]). Естественным является развитие возникающих при этом вероятностных аналогий в некоммутативной ситуации. Например, как и вероятностная мера, представление может быть задано с помощью положительно определенной функции (И.М.Гельфанд, М. А. Наймарк [ 20 | И. Сигал { 85 ]), конструктивно — с помощью меры и коцикла (Гординг, Вайтман { 74 J, Араки [б4,66 ], Войкулеску, С тратила 90 ], И. М. Гельфанд, Н. Я. Виленкин 19 ] и др.), и с помощью некоммутативного аналога моментов (Воронович 91 ] ,.

Пауэре I 82 ], Рихтер [ 84 1, Шмюдген [ 87 j).

Основная тема диссертации — некоммутативный аналог проблемы моментов и возникающие при этом задачи интегрирования представлений алгебр Ли. Теория интегрирования представлений конечномерных алгебр Ли построена Нельсоном [ 80 ] и развита Фла-то, Симоном, Снеллманом и Стернгеймером [ 71, 72, 86 ] .В диссертационной работе дается обобщение этой теории на случай некоторых бесконечномерных алгебр Ли.

Кроме того, в работе рассматриваются гауссовские представления канонических коммутационных соотношений (см. работы А. С. Холево [ 60 — 62 ], Араки[60,66], Ван Даэле (80, 89]) с бесконечным числом степеней свободы — некоммутативный аналог гауссовой меры — в форме Гординга-Вайтмана. Конструктивная форма задания (с помощью меры и коцикла) позволяет использовать при их изучении свойства гауссовых мер в бесконечномерных пространствах.

Перейдем к более подробному изложению результатов работы. Первая глава посвящена вопросам интегрируемости некоторых бесконечномерных алгебр Ли.

Существует взаимнооднозначное соответствие между связными одноевязными локально компактными группами Ли и конечномерными алгебрами Ли (см., напр., [35, 52, 93 ])• Действительно, каждой такой группе можно поставить в соответствие алгебру Лиее касательное пространство в единице, определив скобку Ли как коммутатор векторных полей. Наоборот, по алгебре Ли.

Существует также связь между унитарными представлениями вещественных групп Ли и представлениями вещественных алгебр Ли ко-сосимметричными, вообще говоря, неограниченными операторами в сепарабельном гильбертовом пространстве. Напомним, что представлением алгебры Ли называется линейное отображение э я: —* Т (ас) е о€(Н) алгебры Ли }f в множество линейных операторов в гильбертовом пространстве Я такое, что:

1) существует общая инвариантная область определения .

2) на ЯЭ имеют место коммутационные соотношения.

3) для любого it g: Ю отображение за Тфс) k е: Н непрерывно.

Пусть G — локально компактная вещественная группа Ли, (j U-(fy) — ее унитарное представление. Алгебру Ли ^ грушш G можно отождествить с множеством ее однопараметри-чееких подгрупп. Рассмотрим генераторы соответствующих однопа-раметрических групп унитарных операторов {d тесраж Оку®-. гежратор однопараметрической группы dtl — кососамосопряженный операторсм., напр., [ 53 ])• Отображение^э ас является представлением алгебры Ли $ с плотной инвариантной областью определения Ю, на которой все операторы dt^(oc) в существенном кососамосопряжены (И.М.Гельфанд 117 ], Гординг [73]).

Это представление называется дифференциалом представления И. Более того, область Т) можно выбрать состоящей из совместных аналитических векторов для представителей базиса алгебры Ли % (Нельсон [ 80 ] - см. также [ 3 ]). Напомним, что вектор iv называется аналитическим для оператора, А, если на нем определены все степени, А и ряд.

IU^И сходится при некотором в Q, и совместным аналитическим для набора операторов Аг,., А^, если на 1ъ определены все произведения этих операторов и при gft- 171 некотором г >0 сходится ряд ZZТП Аk\ .

Пространства аналитических и совместных аналитических векторов обозначаются соответственно.

ИГШ и Н (А-,., А^).

Пространство аналитических векторов, для которых соответствующий ряд сходится цри фиксированном 6 > 0, будем обозначать и- (А).

Представление ^ ^ ос. > Т (зс) называется интегрируемым, если оно является дифференциалом некоторого унитарного представления It группы (у .

Заметим, что так как построение по представлению его дифференциала проводится локально, то вместо ZC достаточно рассматривать его сужение на любую окрестность единицы в G, т. е. представление локальной группы.

Существование плотной инвариантной области оцределенжя.

О — НШ (Т (Х<),., Т (Х")) является не только необходимым, но и достаточным условием однозначной (с точностью до унитарной эквивалентности) интегрируемости представления Т (теорема Нельсона [ 80 ], см. также [ 3 J). Однако даже в коммутативном случае $ = Ж2 это требование уже не сводится к существенной самосопряженности операторов Aj -7(1,0) и А&- = 7(0,1) (пример Нельсона [80 ] - см. также 153 ]).

Более просто проверяемое условие интегрируемости представления Т дает теория, построенная Флато, Симоном, Снеллманом и Стернгеймером ([71, 72. 86 ]) — для однозначной интегрируемости представления Т достаточно, чтобы существовала плотная инвариантная область определения.

С с П П" (7(Хк)).

Более того, достаточно, чтобы область Ю состояла из аналитических векторов для операторов представления образующих алгебры Ли % .

Пусть теперь ^ - бесконечномерная вещественная алгебра Ли (т.е. бесконечномерное вещественное линейное топологическое пространство с непрерывной по обеим переменным скобкой Ли). В этом случае, вообще говоря, нет хорошего соответствия между алгебрами Ли и группами Лее или хотя бы локальными группами Ли. Такое соответствие можно установить для отдельных классов алгебр Ли: например, банаховых, индуктивных пределов конечномерных, нильпотентных. Более общо это делается в [ 67 ] .В этой работе определяется класс полных локально выпуклых алгебр, топология которых обеспечивает хорошие свойства сходимости степенных рядов: для каждого степенного ряда определяется его радиус сходимости^ ряд с ненулевым радиусом, сходимости в некоторой окрестности нуля сходится равномерно и абсолютно. Такие алгебры носят название АЕ-алгебр (алгебры с асимптотической оценкой). Вследствие того, что ряд Кэмпбела-Хаусдорфа является степенным рядом с ненулевым радиусом сходимости, построение по АЕ-алгебре Ли локальной группы Ли вполне аналогично конечномерному случаю. Расширение же локальной группы до настоящей группы Ли не всегда возможно.

Класс АЕ-алгебр достаточно широк: в него входят, например, конечномерные и банаховы алгебры Ли, их индуктивные пределы, алгебры Ли быстроубывающих и финитных токов, нильпотентные и квазинильпотентные алгебры Ли.

Будем называть представление алгебры Ли интегрируемым, если оно является дифференциалом некоторого представления соответствующей локальной группы Ли.

Основным результатом § 1.1 является достаточное условие интегрируемости представлений АЕ-алгебр Ли.

Теорема I.I.2. Пусть X •—>- Т (^) — представление АЕ-алгебры Ли % кососимметричными операторами в гильбертовом пространстве Я с областью определения ?) , — плотное множество в %. Для однозначной интегрируемости представления достаточно, чтобы все операторы представления были в существенном кососамосопряжены на Ю, и для любого ос. е &-С множество Л^ТСх)) П © было плотно в Н .

В § 1.2 рассматриваются алгебры Ли 564,5⁷*) гладких токов — функций на открытом множестве A cEw со значениями в конечномерной вещественной алгебре Ли %, топология в которых вводится с помощью системы весовых функций Г (см. 18, 67 ]), а скобка Ли определяется поточечно. Алгебра S (A,#, Т) отождествляется с алгеброй % ® S (.A, Т) со скобкой.

Ли Хгв$г0)] (?¦&)(•).

Примерами таких алгебр Ли являются алгебры быстроубывающих и финитных токов S (R') и 9 *, где S (MО и ?) (Rj) — пространства Шварца.

Алгебры 5 (А, являются АЕ-алгебрами, более того, соответствуюпще им локальные группы расширяются до настоящих групп Ли, являющихся группами токов.

Пусть {Xd,., Хп] - базис в %, <�§ - плотное множество в 3(АЖ, Т).

Рассмотрим представление ос. Т (х) алгебры Ли S (A,%, T) кососимметричными операторами в гильбертовом пространстве Я с областью определения ©. Следующий результат является усилением теоремы I.I.2 в применении к алгебре.

Теорема 1.2.4. Для однозначной интегрируемости представления Т достаточно, чтобы:

1) все операторы представления были в существенном кососа-мосопряжены на © ;

2) множества (c)^(76*0) = Ha (T0*O) (] <2> были плотны в Я для всех X = Xj, ® .

Приводимые в начале § I.I и 1.2 определения и свойства АЕ-алгебр Ли и алгебр Ли токов даются в удобной для дальнейшего изложения форме, следуя 67 ] .

Заметим, что доказательство некоторых промежуточных результатов этих параграфов непосредственно обобщается с конечномерной ситуацией. Однако эти доказательства приводятся для полноты изложения.

§ 1.3 посвящен изучению бесконечномерных разрешимых алгебр Ли. Напомним, что конечномерная алгебра Ли? называется разрешимой, если существует последовательность вложенных подалгебр

0} = Ус.. С Vя-'а ?т — 7 таких, что для любого к «0,1,., nt-i идеал в if^** и факторалгебра коммутативна.

Выбирая в Хы ] с: Л.О. {X, Xfr ] .

Такой базис будем называть допустимым.

В работе под бесконечномерной разрешимой алгеброй Ли понимается полная локально выпуклая алгебра, удовлетворяющая приведенному определению, однако подалгебры могут быть бесконечномерными. Далее дается определение допустимого тотального множества в <Х, аналогичное определению допустимого базиса, но с дополнительными ограничениями на количество и рост ненулевых структурных констант (в конечномерном случае эти ограничения выполняются автоматически). Разрешимыми алгебрами с допустимым тотальным множеством являются, например, алгебры токов со значениями в разрешимой конечномерной алгебре Ли (как рассмотренные выше алгебры S (ArTfld, Г *), так и другие, например, алгебра тригонометрических токов if ® C (~L,, где ^ *) — пространство полиномов Лорана от i.).

Примеры разрешимых алгебр Ли, являющихся также АЕ-алгебра-ми — это разрешимые алгебры jf ® S (A,]R*T) и нильпотентные алгебры Ли, в частности, алгебра тригонометрических токов со значениями в нильпотентной конечномерной алгебре Ли и алгебра Гейзенберга канонических коммутационных соотношений с бесконеч-ныь'1 числом степеней свободы.

Рассмотрим теперь вещественную разрешимую АЕ-алгебру Ли ^ с допустимым тотальным множеством?. Для представлений таких алгебр справедлив результат, являющийся усилением теоремы I.I.2.

Теорема 1.3.3. Для однозначной интегрируемости представления # э ос Т (ос) косоеимметричными операторами в гильбертовом пространстве Я с областью определения СО достаточно выполнения одного из следующих условий:

1) все операторы представления в существенном кососамосо-пряжены на Я, и множество плотно в И ;

2) # - ?, и множество /О*5* плотно в И ;

3) множество .Е является базисом в, ряд из координат любого элемента У абсолютно сходится и для некоторого € > О множество = Л (ТС*)) П © плотно в .

Кроме вопроса об интегрируемости представлений, в параграфе рассматривается связь между раздельной и совместной аналитичностью. Вообще говоря, даже в конечномерной ситуации неизвестно, является ж вектор, аналитический для всех представителей произвольного базиса алгебры Ли, их совместным аналитическим вектором (ом. [ 71 ]). Однако для представителей допустимого базиса разрешимой алгебры Ли эти понятия совпадают. Для интегрируемых представлений конечномерных алгебр Ли это доказано Р. Гудманом [ 75 ]. Развивая его технику, получим следующий результат:

Теорема 1.3.2. Пустьх «—" — Т (эс) — представление вещественной разрешимой алгебры Ли ^ с допустимым тотальным множеством JE кососимметричными операторами в гильбертовом пространстве Н с областью определения Ю, <р е 2) -аналитический вектор для всех представителей Ж. Тогда:

1) если Ed — конечное подмножество Е, то у — совместный аналитический вектор для представителей 'Е1 ;

2) если ос. е л. о.? , то ср — аналитический вектор для оператора Т (х) ;

3) если множество Е является базисом в $, ряд из координат любого элемента ^ абсолютно сходится, и ср е: JD ** при некотором е ^ О, то <р — аналитический вектор для всех операторов представления.

Заметим, что полученные в этой главе достаточные условия интегрируемости представлений для некоторых классов алгебр Ли являются и необходимыми ([ 43 — 46]).

Вторая глава посвящена некоммутативному аналогу проблемы моментов. Если одним из аспектов классической теории вероятностей является изучение мер, или, что-то же самое, положительно определенных функций на линейных пространствах, то некоммутативная теория вероятностей изучает положительно определенные функции (состояния) на С* -алгебрах, или (в случае групповой С*-алгебры) на группах. Вследствие конструкции Гельфанда-Наймарка-Сигала (ГНС) каждая непрерывная положительно определенная функция на группе Ли G имеет вид = f где ^ I—" — Щ) — циклическое унитарное представление G в гильбертовом пространстве Я с фиксированным циклическим вектором Q. Пару будем называть «некоммутативной мерой» на G, а функцию pC (f) — ее характеристической функцией.

Проводя эту аналогию дальше, будем говорить, что «некоммутативная мера» на локально компактной вещественной группе Ли G имеет все моменты, если Q принадлежит области определения дифференциала представления ZC, и функционал на комплексной универсальной обертывающей алгебре ее алгебры Ли называть моментным функционалом пары .

Если {^Xi, Хп } - базис в У, функционал S можно задать набором чисел.

ЧК — •. • моментами пары.

Классическая степенная проблема моментов Гамбургера (см., напр., [1,4]) состоит в определении условий, при которых заданная последовательность комплексных чисел {^&bdquo-&bdquo-лЗТ k о является набором моментов некоторой вероятностной борелевской меры ft на Л*0 :

Ч.к. — 5 ^.

Ж*.

Аналогично, некоммутативная проблема моментов (- проблема моментов) состоит в отыскании условий, при которых числа Sh и являются моментами некоторой «некоммутативной ме.

К1,, НЦ, ры" на группе Ли (т, им, эквивалентно, функционал на обертывающей алгебре, заданный соотношениями.

S (Xd ' Хц,) = $L L имеет вид 5 (ос) — Q)^ .

Существуют различные подходы к решению классической проблемы моментов. Выделим два из них.

Первый принадлежит М. Риссу и основан на следующем факте: линейный функционал, заданный на подпространстве оС линейного пространства /ШС и положительный на конусе 1R., можно продолжить на все /ЖС с сохранениемположительности.

Пусть теперь аС — алгебра полиномовtv вещественных переменных с комплексными коэффициентами. Зададим на бС линейный функционал ?>, положив, S (х*1 — - =? ki,. 7 = 0, i7 2-, ,.. Выбрав в качестве конуса ffL множество всех положительных полиномов, а в качестве ffitпространство непрерывных функций, получим следующий результат см., напр., [ I J): проблема моментов разрешима тогда и только тогда, когда функционал? № -положителен.

Условие ^ -положительности функционала 5, вообще говоря, трудно проверяемо. Заметим, что конус № содержит все полиномы вида «Р*Р Р£ .

Положительная определенность 5 уже не является достаточным условием разрешимости проблемы моментов, однако операторный подход к этой задаче позволяет доказать, что если кроме того имеют место аналитические (или, более общо, квазианалитические) оценки на рост моментов, то проблема моментов однозначно разрешима (см., напр. Д4, 54]).

Впервые некоммутативная проблема моментов рассматривалась на алгебре Гейзенберга канонических коммутационных соотношений с конечным числом степеней свободы (квантовая проблема моментовсм. 82, 91 ]). В этих работах обобщался метод Рисса. В качестве оС выбиралась алгебра дифференциальных операторов с полиномиальными коэффициентами в пространстве Шварца быстро-убывающих функций, и критерием разрешимости проблемы моментов оказывается положительность функционала? на положительных операторах.

Дальнейшее развитие метода Рисса и применение его к некому мутативной проблеме моментов на произвольной вещественной конеч номерной алгебре Ли было проведено в работах [84, 87] .

В некоммутативной ситуации, возможно применение и второго подхода к проблеме моментов, позволяющего получить достаточные условия ее однозначной разрешимости (Ю.С.Самойленко ^ 55 ]). Использование ГНС-конструкции и теории интегрирования представлений конечномерных алгебр Ли (§ 2.1) приводит к следующему результату.

Теорема 2,1,1. Пусть G — локально компактная вещественная группа Ли, — ее алгебра Ли, {X/ ,., — набор образующих^, Для однозначной разрешимости ^ -проблемы моментов достаточно, чтобы:

1) функционал 5 был положительно определен наалгебре ;

2) имели место оценки.

5(х£)| ^ СМ*к! к* 0,1,2,. — т, где С и Ai — некоторые постоянные.

Следующим естественным шагом является рассмотрение некоммутативной проблемы моментов на АЕ-алгебрах Ли. Постановка задачи, в сущности, аналогична конечномерной. Для вещественной АЕ-алгебры ^ определим * -алгебру о^ как множество полиномов от элементов % с комплексными коэффициентами, про-факторизованное по идеалу, порожденному элементами вида и считая элементы ^ кососамосопряженными. Задача заключается в следующем: при каких условиях функционал 5 на оС^ имеет вид 3 (ос) = (dtCCoc)^, Q, где.

— циклическое унитарное представление соответствующей локальной группы (теос, Q — его фиксированный циклический вектор.

Бесконечномерное обобщение классической проблемы моментов было рассмотрено Ю. М. Березанским и С. Н. Шифриным [ 7 J. Ставилась следующая задача. Пусть Ф — сепарабельное ядерное пространство, = I ~ набор линейных непрерывных симметричных функционалов на тензорных степенях Ф^ пространства Ф При каких условиях эти функционалы задаются интегралами.

— ® = j (ъЛУ-. • ф' где ju — некоторая борелевская вероятностная мера на Ф, < •, • > - спаривание между Ш и W' ?

Одним из результатов этой работы является достаточное условие однозначной разрешимости Фпроблемы моментов: I) положительная определенность последовательности 1 для любого набора { А*и любых и п. = л ¦ - т J в.

22 h As.®) > 0 ;

2) квазианалитическая оценка на рост моментов: для любого ze W ®sc)| ^ С*, л ж- 0,1, I где EZ *Гт= = с" .

VW.

Заметим, что задание последовательности [s^.}^^ эквивалентно заданию жнейного функционала 5 на комплексной обертывающей алгебре С * СРе > фге *. хф^х .

— комплексификация Ф) коммутативной алгебры Ли fl?, и условие I) означает его положительную определенность.

В § 2.2 диссертации доказываются достаточные условия однозначной разрешимости некоммутативной проблемы моментов на вещественной сепарабельной АЕ-алгебре Ли. Если для решения этой задачи в конечномерном случае использовалась классическая теория интегрируемости представлений, то в этом случае используем условия интегрируемости представлений АЕ-алгебр Ли, доказанные в главе I.

Итак, пусть — вещественная сепарабельная АЕ-алгебра.

Ли, S — линейный функционал на, удовлетворяющий условиям:

1) функционал ?> положительно определен;

2) функционалы непрерывны по .

Пусть, кроме того, выполняется одно из следующих требовании:

3.1) для любого х е VC, где &-С — плотное множество в ^ «имеет место оценка lS (x*)|* (0.D где и М — некоторые постоянные, и для любого ос. е: одномерная проблема моментов, порожденная последовательностью однозначно разрешима;

3.2) SСА, Г) — алгебра токов со значениями в конечномерной вещественной алгебре Ли Ж, Хп } - баг-зис в 'R., d — тотальное множество в (c)=5(А, КЛ, Г)" Для любого, fe= i,., Яимеет место оценка (0.1), и для любого x=Tir (<)Xk, ye. Ф однозначно разрепшма одномерная проблема моментов (0.2);

3.3)? — разрешимая АЕ-алгебра,? — допустимое тотальное множество, $ = л. о, TL, и на «Е имеет место оценка (0.1);

3.4) % - разрешимая АЕ-алгебра, К — допустимый базис такой, что ряд из координат любого элемента абсолютно сходится, и оценка (0.1) выполняется на Ж равномерно.

Теорема. Для однозначной разрешимости # -проблемы моментов достаточно, чтобы выполнялись условия I), 2) и одно из условий 3.1), 3.2), 3.3), 3.4).

Заметим, что для однозначной разрешимости одномерной проблемы моментов (0.2) достаточны квазианалитические оценки на последовательность, более слабые, чем оценка (0.1).

В § 2.3. рассматривается пример «некоммутативной меры», однозначно восстанавливаемой по своим моментам — гауссовское представление канонических коммутационных соотношений (ССВ), некоммутативный аналог гауссовой меры.

Пусть & - группа Гейзенберга-Вейля с конечным числом степеней свободы: G = Z * К 1, где 2 = ]Rzmf ос-<�х'+ (о.з) где Ъ — косо симметричная невырожденная билинейная форма на 2″. Пусть (z, ос) I—*- унитарное представление.

G такое, что 1. Такое представление и называется представлением CCR. Иными словами, представление ССВ — это сильнонепрерывное семейство операторов V (&), Z? Zj, удовлетворяющих коммутационному соотношению.

V (*)V (z') = e|B (X, Z,> V (z<-z').

Циклическое представление CCR У с циклическим вектором Q будем называть гауссовским, есж его характеристическая функция pcfo-CVfc) ca, Q) =е" |А (г, 2), (0.4) где, А — невырожденная билинейная форма на Z .

В § 2.3 вычисляются моменты таких представлений. Пусть <�р2м } - базис в Z такой, в котором кососимметрич-ная форма 3 имеет канонический вид.

Справедливы следующие формулы для моментов: ос. *<¦!-кг> R3 f-}KZtt~ 2п< и, следовательно,.

Таким образом, по теореме 2.I.I гауссовское представление CCR однозначно восстанавливаются по своим моментам.

В третьей главе рассматриваются гауссовские представления ССЕ с бесконечным числом степеней свободы в форме Гординга-Вайтмана.

Пусть Сг = Z * К — ядерная группа Гейзенберга-Вейля, т. е. Z" - (Р* Ф, где Ф — ядерное пространствопредположим, что форма 3 в соотношении (0.2) имеет вид в ((<�р, у), <�у, у)) = V) — в/"р", где — симметричная билинейная форма на ф (в конечномерном случае этого всегда можно добиться выбором соответствующего базиса). Тогда можно построить оснащенное гильбертово пространство фсН С Ш' такое, что В (<�р,^/)= <<�р, у> спаривание между ДО и Q?' «совпадающее со скалярным произведением в Я).

Рассмотрим представление CCR с бесконечным числом степеней свободы.

G эСс^.оО — V0, v,°0, V (0,0,<*)" е’к2 ,.

Коммутативные семейства операторов t (C.

W (Y)fK*) = ^.

Здесь р<�рО) — плотность, соответствующая сдвигу на (р, ос^О) — измеримая, равная по модулю 1 функция, удовлетворяющая уравнению.

V.

Таким образом, представление CCR можно задать с помощью меры и коциклаэквивалентные меры и коциклы порождают унитарно эквивалентные представления. Существование в бесконечномерном случае не эквивалентных коциклов (примеры коциклов см. в [ 41, 55 ]) и не эквивалентных Шквазиинвариантных мер приводит к существованию не эквивалентных представлений CCR (в конечномерном случае имеет место теорема единственности Стоуна-фон Нейманасм., напр. [ 55 ]).

Если представление CCR V гауссовское (см. соотношение (0.4)), то JUгауссова мера в (В, а в качестве коцикла можно рассматривать функцию с 41 2+ € у где С 5 Ф «—ф' - симметричный линейный оператор (всякий ли коцикл гауссовского представления CCR имеет такой вид, неизвестно). Коцикл оС^СО будем называть гауссовским.

Описанная конструктивная форма задания гауссовских представлений CCRпозволяет использовать при их исследовании свойства гауссовых мер в бесконечномерных пространствах (свойства гауссовых мер см., напр., в работах I 27, 59, 92 ]).

Первые два параграфа главы посвящены изучению коммутативного семейства. В § 3.1 рассматривается случай о^(зс)= {. Первым результатом параграфа является признак Шквазиинвариантности гауссовой меры на с корреляционным оператором В: Ш •—Ш', выраженный в терминах несимметричного корня из оператора «В, действующего в цепочке пространств, А А*.

V CL ФаН cijp' О. F' в где J* - некоторое жнейное топологическое пространство. Представим сужение оператора Б на F в виде.

Btr — кк, где A'" F И И А*Н «—* F' - непрерывные невырожденные операторы.

Пространство J* и оператор, А можно выбирать по-разному. Можно, например, ограничиться цепочкой Ш, а И, а Ш ', и, рассматривая 3 как непрерывный оператор из некоторого гильбертового пространства Н+ в Я, положить, А = Vtf’B^T #, где СГ — изометрия между Н и Я+. В случае, когда ф — ядерное пространство с базисом, можно, ортогонализуя этот базис в И, рассмотреть цепочку к7 <=• Ф с 4 с W «= и матрицу Bf-poe представить в виде Ъ f тооо = А*А «гДе.

Л имеет верхнетреугольную форму, А* - транспонированная матрица.

Теорема 3.I.I. ТоГо, &trade-бн мера fc «няа Wквазиинвариантна, необходимо и достаточно, чтобы ф с: АХИ).

В этом случае отображение Щ э ср и-«- ^р^ (ос) е. Lz (fP[ (dxj) непрерывно в нуле.

Если условие (0.5) выполнено, то можно рассматривать представление пространства Ф операторами вида — <р* ® действующими в Z*2 ((б/х)) .

Рассмотрим оператор 5 = (А*) * 0 '• Ш 1—Я, где 0 — вложение Ш в Г*' • Если выполнено условие (0.5), оператор S непрерывен.

Спектральные свойства представления бс^ описывает следующая теорема.

Теорема 3.1.2. Если множество плотно в И, представление имеет простой спектр. В противном случае спектр #® счетнократен. Спектральная мера представления, построенная по вектору максимального спектрального типа является гауссовской мерой в (c)', характеристическая функция которой имеет вид, .. где 3 i = 5*5 .

В § 3.2 рассматривается семейство с гауссовским коциклом. В начале параграфа показано, что функция ос ^ :

Ф С1 измерима, и отображение 5? эср «—) е е^в (с/х)) непрерывно в нуле тогда и только тогда, когда С (Ш) с: КА, где Ид — пополнение пространства Т в норме [ • |(д = | А' || н и оператор С: ф •—К^ непрерывен. Если эти условия выполнены, можно рассматривать представление пространства W операторами в Lz JB Сс/хУ). В этом случае рассмотрим оператор

АСА* • К4 •—- Я, где 5(0?).

Теорема 3.2.1. Если плотно в Ц, и оператор

АСА* в существенном самосопряжен, представление ZC имеет простой спектр. В этом случае его спектральная мера является гауссовской мерой в Ш, характеристическая функция которой имеет вид хор) е.

-£<(В +С*ВС)ср, ф>

В § 3.3 даются условия эквивалентности гауссовских представлений CCR. V и Vi, порожденных коциклами.

Ci и t fy^j соответственно, в терминах операторов в, Б i, c, cl.

Теорема 3.3.1. Представления V и Y^ эквивалентны тогда и только тогда, когда:

D BJT-A*(bK)A, где К — оператор Гильберта-Шмидта в Н ;

2) оператор A (C-Ci)A* • 5(<р) «—Н является оператором Гильберта-Шмидта (SOP) — замыкание множества в Н).

Основные результаты работы докладывались на семинарах по гармоническому анализу, операторам математической физики и теории случайных процессов в Институте математики АН УССР, в ХУТ Воронежской зимней математической школе (1982 г.), на Координационных совещаниях по теории многокомпонентных случайных систем (Тюмень, 1980 г.- Ташкент, 1982 г.), на конференции по дифференциальных уравнениям и комплексному анализу (Черноголовка, 1985 г.) и опубликованы в [ 24 — 27 ].

Автор выражает глубокую благодарность своему учителю Юрию Стефановичу Самойленко за постоянное внимание и помощь в работе.

1. Ахиезер Н. И. Классическая проблема моментов и некоторые вопросы анализа, связанные с нею.- М.: Физматгиз, 1961. 310 с.

2. Ахиезер Н. И., Глазман И. М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве.- Вшца школа, 1978, т.2. 288 с.

3. Барут А., Рончка Р. Теория представлений и ее приложения.- М.: Мир, 1980, — т.1. 455 е.- т.2. 395 с.

4. Березанский Ю. М. Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов.- Киев: Наук. думка, 1965. 800 с.

5. Березанский Ю. М. Самосопряженные операторы в пространствах функций бесконечного числа переменных.- Киев: Наук. думка, 1978. 360 с.

6. Березанский Ю. М. Проекционная спектральная теорема.-УМН, 1984, 39, вып.4 (238), с.3−52.

7. Березанский Ю. М., Шифрин С. Н. Обобщенная степенная симметрическая проблема моментов.- Укр.мат.журн., 1971, 23, № 3, с.291−306.

8. Булдыгин В. В. Сходимость случайных элементов в топологических пространствах.- Киев: Наук. думка, 1980. 240 с.

9. Бурбаки Н. Топологические векторные пространства.- М.: Изд-во иностр. литер., 1958. 410 с.

10. Вахания Н. Н., Тариеладзе В. И., Чобанян С. А. Вероятностные распределения в банаховых пространствах.- М.: Наука, 1985.368 с.

11. Вершик A.M. Метагональная и метапликтическая бесконечномерные группы.- В кн.: Дифференциальная геометрия, группы Ли и механика. УМ.: Наука, 1983, с.3−35.

12. Вершик A.M., Гельфанд И. М., Граев М. И. Представление группы > гДе ^ «кольцо функций.- УМН, 1973, 28, вып.5, с.83−128.

13. Вершик A.M., Гельфанд И. М., Граев М. И. Неприводимые представления группы икогомологии.- Функц. анализ и его прил., 1974, 8, вы.2, с.67−69.

14. Вершик A.M., Гельфанд И. М., Граев М. И. Замечания о представлениях группы функций со значениями в компактной группе Ли.-М.:1975. 36 с. (Препринт/АН СССР. Ин—т прикл. математики17).

15. Вершик A.M., Гельфанд И. М., Граев М. И. Представления группы диффеоморфизмов.- Успехи мат. наук, 1975, 30, вып.6,с.3−50.

16. Вершик A.M., Гельфанд И. М., Граев М. И. Коммутативная модель представления группы токов 5/, (2,Я)х, связанных с унипотентной подгруппой.- Функц. анализ и его прилож., 1981, 15, вып. 4, с.16−27.

17. Гельфанд И. М. Об однопараметрических группах операторов в нормированном пространстве.- Докл. АН СССР, 1939, 25, В 9, с.711−716.

18. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Обобщенные функции. Вып.2,3.-М.: Физматгиз, 1958. 308 е.- 1959. 472 с.

19. Гельфанд И. М., Виленкин Н. Я. Обобщенные функции.Вып.4.-М.:Физматгиз, 1961. 472 с.

20. Гельфанд И. М., Наймарк М. А. Нормированные кольца с инволюцией и их представления.- Изв. АН СССР. Сер.мат., 1948, 12, № 5, с.445−480.

21. Гихман И. И., Скороход А. В. Теория случайных процессов. T.I.- М.: Наука, 1971. 664 с.

22. Далецкий А. Ю. Представление группы финитных сдвигов в пространстве функций счетного числа переменных.- В кн.: Математические модели статистической физики.- Тюмень, I982, c. I48-I5I.

23. Далецкий А. Ю. Представление группы сдвигов ядерного пространства.- Докл. АН УССР, 1982, II 12, с.9−11.

24. Далецкий А. Ю. Проблема моментов на конечномерных алгебрах Ли.- В кн.: Спектральная теория операторов в задачах математической.физики. Киев: Ин-т математики АН УССР, 1983, с.93−97.

25. Далецкий А. Ю. О квантовой проблеме моментов.- Теория вероятностей и мат. статистика, 1984, & 31.

26. Далецкий А. Ю. Интегрирование представлений ядерных алгебр Ли гладких токов.- В кн.: Спектральная теория операторови бесконечномерный анализ. Киев: Ин-т математики АН УССР, 1984, с.77−92.

27. Далецкий Ю. Л., Фомин С. В. Меры и дифференциальные уравнения в бесконечномерных линейных пространствах.- М.: Наука, 1983. 384 с.

28. Исмагилов Р. С. Об унитарных представлениях группы диффеоморфизмов окружности.- Функц. анализ и его прилож., 1971, 5, вньЗ, с.45−53.

29. Исмагилов Р. С. Об унитарных представлениях группы диффеоморфизмов компактного многообразия.- Функц. анализ и его прилож., 1972, 6, выт1, с.79−80.

30. Исмагилов Р. С. Об унитарных представлениях группы диффеоморфизмов компактного многообразия.- Изв. АН СССР. Сер.мат., 1972, 36, № I, с. 180−208.

31. Исмагилов Р. С. Об унитарных представлениях группы диффеоморфизмов пространства К*, к. ^ 2 .- Функц. анализ и его прилож., 1975, 9, вып.2, с.71−72.

32. Исмагилов Р. С. Об унитарных представлениях группы (X, (?) Мат.сб., 1976, 100, А I, с.117−131.

33. Исмагилов Р. С. Унитарные представления групп диффеоморфизмов, сохраняющих меру.- Функц. анализ и его прилож., 1977, II, вып. З, с.80−81.-по.

34. Исмагилов Р. С. О представлениях группы глудких отображений отрезка в компактную группу Ли.- Фунвд. анажз и его при-лож., 1981, 15, вып.2, с.73−74.

35. Кириллов А. А. Элементы теории представлений.- М. :Наука, 1972. 336 с.

36. Кириллов А. А. Представления бесконечномерной унитарной группы.- Докл. АН СССР, 1973, 212, № 2, с.228−290.

37. Кириллов А. А. Унитарные представления группы диффеоморфизмов и некоторых ее подгрупп. М., 1974. 40 с. (Препринт/ АН СССР. Ин-т прикладной математикиВ 82).

38. Кириллов А. А. Представления некоторых бесконечномерных групп Ли.- Вестн. Моск. ун-та, 1974, № I, с.75−83.

39. Кириллов А. А. Метод орбит и представления бесконечномерных групп Ли.- В кн.: Геометрия и топология в глобальных нелинейных задачах. Воронеж: Гос. университет, 1984, с.49−68.

40. Кириллов А. А. 0 тождествах в алгебре Ли гамильтоновых векторных полей на плоскости.- Препринт Ин-та прикл.математ. АН СССР, 1983, В 121. 20 с.

41. Коломыцев В. И., Самойленко 10.С. 0 счетном наборе коммутирующих самосопряженных операторов и канонических коммутационных соотношениях.- В кн.: Методы функционального анализа в задачах математической физики. Киев, 1978, с.115−128.

42. Коломыцев В. И., Самойленко Ю.С.О счетном наборе коммутирующих самосопряженных операторов и алгебре локальных наблюдаемых.- Укр.мат.журн., 1979, 31, № 4, с.365−371.

43. Косяк А. В. Область Гординга для представлений канонических коммутационных соотношений.- Укр.мат.журн., 1984, 36, J6 6, с.709−715.

44. Косяк А. В. Продолжение унитарных представлений грушш финитных верхнетреугольных матриц бесконечного порядка.- В кн.:-IllСпектральная теория операторов и бесконечномерный анализ. Киев: Ин-т математики АН УССР, 1984, с.102−111.

45. Косяк А. В., Самойленко Ю. С. О семействах коммутирующих самосопряженных операторов.- Укр.мат.журн., 1979, 31, Л 5, с.555−558.

46. Косяк А. В., Самойленко Ю. С. Область Гординга и целые векторы для индуктивных пределов локально компактных групп. -Укр.мат.журн., 1982, 35, № 4, с.427−434.

47. Любич Ю. И. О спектре представления топологических абеле-вых групп.- Докл. АН УССР, 1971, 200, В 4, с.777−779.

48. Ольшанский Г. И. Унитарные представления бесконечномерных классических групп UL feoo), S0o (p,), $р (р, и соответствующих групп движений.- Докл. АН СССР, 1978, 238, $ 6, с.1295−1298.

49. Ольшанский Г. И. Унитарные представления бесконечномерных классических групп %0о (р, 5о©-) и соответствующих групп движений.- Функц. анализ и его прилож., 1978, 12, вып. З, с.32−44.

50. Ольшанский Г. И. Конструкция унитарных представлений бесконечномерных классических групп.- Докл. АН СССР, 1980, 250, Л 2, с.284−288.

51. Ольшанский Г. И. Описание унитарных представлений со старшим весом для групп ИСр,^) Функц. анализ и его прилож., 1980, 14, вып. З, с.32−44.

52. Постников М. М. Группы и алгебры Ли.- М.: наука, 1982.447 с.

53. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. I. Функциональный анализ.- М.: Мир, 1977. 357 с.

54. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. 2. Гармонический анализ. Самосопряженность.- М.: Мир, 1978.-395 с.

55. Самойленко Ю. С. Спектральная теория наборов самосопряженных операторов.- Киев: Наук. думка, 1984. 232 с.

56. Самойленко Ю. С. О счетных семействах самосопряженных операторов.- В кн.: Спектральная теория операторов и бесконечномерный анализ. Киев: Ин-т математики АН УССР, 1984, с. 132−137.

57. Скороход А. В. Конструктивные методы задания случайных процессов.- УМН, 1965, 20, вып. З, с.67−87.

58. Скороход А. В. О допустимых сдвигах мер в гильбертовом пространстве.- Теория вероятн. и ее примен., 1970, 15, вып.4, с.577−598.

59. Скороход А. В. Интегрирование в гильбертовом пространстве.- М.: наука, 1975. 231 с.

60. Холево А. С. О квантовых характеристических функциях.-Проблемы передачи информации, 1970, 6, вып.4, с.42−48.

61. Холево А. С. Обобщенно свободные состояния С*-алгебры соотношений коммутации. I, П, — Те орет. мат. физика, 1971, 6, 1 I, с.3−20- 1971, 6, № 2, с.145−150.

62. Холево А. С. Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории.- М.: Наука, 1980. 320 с.