Системы счисления. 
Физические и цифровые основы компьютера

Информация для хранения и передачи должна быть представлена в определенной форме и зафиксирована на каком-нибудь материальном носителе (например, звуки речи фиксируются в виде букв и слов, т. е. кодируются).

Кодирование — представление дискретной информации в стандартной символьной форме.

Декодирование — обратный процесс.

Системы кодирования чисел называются системами счисления. Суть — каждому числу соответствует свое кодовое обозначение. Простейшее кодирование использует только один символ: например, 3=III — длина числа зависит от его величины.

Позиционная система счисления — это система, в которой значение символа зависит от его положения в записи, т. е. его позиции (символ имеет различный «вес») весовая система. Используемые символы называются алфавитом системы счисления, а их количество — основанием системы счисления.

Любое число N в позиционной системе счисления можно представить суммой произведений целых однозначных коэффициентов а_i, взятых из алфавита системы, на последовательные степени основания S.

Позиции цифр a_i называются разрядами, причем старшие разряды — обычно слева, а младшие — справа.

Десятеричная система Алфавит: 0,1,2…9.

Основание: S = 10.

Вес — целочисленные степени 10.

Появилась в Европе приблизительно в 1200 г. н.э., изобретена арабами в 825 г. Автор — Аль Хорифми. Он также сформулировал правила выполнения четырех основных арифметических действий (вычисление столбиком). С его именем связано понятие алгоритм.

Алгоритм — любая последовательность элементарных действий над исходными данными любой задачи, которая приводит к определенному решению.

Причины использования в ЭВМ двоичной системы.

Для физического представления чисел (хранения и передачи информации) необходимы элементы (устройства), способные находиться в одном из нескольких устойчивых состояний, причем число таких состояний должно быть равно основанию принятой системы счисления.

В случае десятеричной системы счисления это трудно реализовать, поэтому в ЭВМ наибольшее распространение получила двоичная система счисления с S = 2. Ее преимущества:

• 1. Высокая помехозащищенность;
• 2. Простота реализации запоминающих устройств (ЗУ);
• 3. Совместимость с логическими операторами (ДА — НЕТ)

Недостатком же является то, что двоичное представление числа, по сравнению с десятичным, требует большего числа разрядов (для многоразрядного числа? в 3,3 раза).

Двоичная система Алфавит — 0 и 1.

Основание S = 2.

Вес — целочисленные степени 2.

Существуют также восьмеричная и шестнадцатеричная системы, однако области их применения гораздо уже вышеупомянутых.

Восьмеричная система Алфавит — 0, 1,2, 3,4, 5, 6, 7.

Основание S = 8.

Вес — целочисленные степени 8.

Шестнадцатеричная система Алфавит — 0−9, A, B, C, D, E, F.

Основание S = 16.

Вес — целочисленные степени 16.

Для того чтобы отличить записи числа в различных системах счисления, основание системы счисления указывается в конце записи числа в виде нижнего индекса.

Пример:

215₁₀ =327₈ =D7₁₆

Перевод чисел в разные системы счисления.

1. Перевод целых чисел в десятеричную систему счисления.

Производится при помощи формулы из предыдущего параграфа и, как правило, не вызывает особых трудностей. Например,.

• 1010₂=1· 8+0·4+1·2+0·1=10₁₀
• 268₈=2· 8²+6·8¹+3·1=179₁₀.

Напомним только о необходимости корректной записи числа, в какой либо системе счисления, например 296₈ не будет числом в восьмеричной системе, т.к. 9 не входит в ее алфавит.

2. Перевод целых чисел из десятеричной системы.

Правило. Перевод целого числа из системы счисления с основанием S в другую систему с основанием q осуществляется последовательным делением его на основание q новой системы счисления до тех пор, пока не получится частное, меньшее q.

Число в новой системе запишется в виде остатков деления, начиная с последнего. Деление выполняется в исходной системе счисления.

Пример: из 10-ой в 2-ую Проверка: 2⁴+0· 2³+0·2²+1·2¹+1·2⁰=16+2+1=19.

Пример: из 10-ой системы в 8-ую:

• 19₁₀=23₈
• 3. Правильная дробь

Перевод правильной дроби из одной системы счисления в другую осуществляется ее последовательным умножением на основание новой системы счисления. При этом перемножаются только дробные части. Дробь в новой системе записывается в виде целых частей полученных произведений, начиная с первого.

Примеры:

0,75₁₀

0,75Ч2=1,5.

0,5Ч2=1,0.

0,6875₁₀

0,6875Ч2=1,3750 1.

0,3750Ч2=0,7500 0.

0,7500Ч2=1,5 1.

0,5Ч2=1,0 1.

4. Неправильная дробь Перевод неправильной дроби выполняется отдельно для целой и дробной части. Например, 19,6875₁₀ = 10 011,1011₂

Арифметические действия в двоичной системе счисления.

• 1. Сложение
• 0+0 = 0;
• 0+1 = 1;
• 1+0 = 1;
• 1+1 = 0 плюс единица переноса в старший разряд

Пример:

здесь и далее в скобках приведена проверка операции в десятичной системе.

• 2. Вычитание
• 0−0 = 0;
• 1−0 = 1;
• 1−1= 0;
• 10−1=1

Замена единицы в ближайшем значащем старшем разряде дает в данном младшем разряде 2 единицы (аналог 10−1=1) и единицы во всех нулевых разрядах, стоящих между ними.

Пример:

3. Умножение При умножении действуют следующие правила:

• 0· 0 = 0;
• 0· 1= 0;
• 1· 0 = 0;
• 1· 1= 1

Пример:

4. Деление Пример:

• 1) Нетрудно заметить, что операции умножения и деления в двоичной системе счисления реализуются путем сдвига и алгебраического сложения операндов. Поэтому в ЭВМ в качестве счетных используются арифметические устройства, выполняющие в основном только операцию сложения. Операции умножения, деления и возведения в степень и т. п. выполняются только программным путем.
• 2) Сдвиг бинарного числа на одну позицию влево приводит к его удвоению, на одну позицию вправо — делит его пополам.